HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN
Klausur WS 2016/7
Modul P2.2 “Elektrodynamik”
3. M¨ arz 2017
Prof. Dr. J. Plefka
Name : Matrikel-Nr. :
maximale erreichte Aufgabe Punktzahl Punktzahl
K.1-5 20
A.1 20
A.2 20
A.3 15
A.4 20
Total 95
Note :
Erlaubte Hilfsmittel: Selbsterstellte Formelsammlung (2 DIN-A4 Bl¨atter). Zum Bestehen der Klausur sind 45 Punkte erforderlich. Sie haben 180 Minuten Bearbeitungszeit.
Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Kurzaufgabe K1: (6 Punkte)
Formulieren Sie die Maxwell-Gleichungen (homogen und inhomogen) einmal in relativistisch kova- rianter Form und einmal in nichtrelativistischer Schreibweise (di↵erentielle Form) f¨ur den Fall von Ladungen und Str¨omen im Vakuum. Geben Sie das benutzte Einheitensystem an. Leiten Sie dann aus den Maxwell-Gleichungen die Kontinuit¨atsgleichung her.
2
Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Kurzaufgabe K2: (8 Punkte)
Zeigen Sie, dass im quellenfreien Fall (keine Str¨ome oder Ladungen) aus den Maxwell-Gleichungen die Kontinuit¨atsgleichungen der EnergiedichteW = 8⇡1 (E~2+B~2) und des Poynting-VektorsS~ = 4⇡c (E~⇥B~) folgen, d.h. das
@
@tW +r~ ·S~ = 0 gilt. (Alle Gr¨oßen hier im CGS System)
4
Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Kurzaufgabe K3: (6 Punkte)
Uberpr¨ufen Sie, dass die Lorenz-Eichung (¨ r~ ·A~+ 1c@t = 0) nach einer Eichtransformation ( ,A)~ ! ( 0,A~0) erreicht wird, wenn dabei die Eichfunktion ⇤ so gew¨ahlt wird, dass
⇤⇤=r~ ·A~+ 1 c@t
gilt.
6
Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Aufgabe A.1: – Potential einer homogen polarisierten Kugel (7+10+3= 20 Punkte)
In einem Dielektrikum seine die freie Ladungsdichte ⇢frei(~x) und die Polarisation P~(~x) gegeben. Die makroskopische Maxwellgleichung im SI-System lautet divD~ = div(✏0E~ +P~) =⇢frei.
Die Aufgaben a sowie (b,c) k¨onnen unabh¨angig voneinander gel¨ost werden.
a) Zeigen Sie, dass das elektrostatische Potential (~x) gegeben durch (~x) = frei(~x) + ind(~x) =
Z d3x0 4⇡✏0
⇢frei(~x0)
|~x ~x0|+
Z d3x0 4⇡✏0
P~(~x0)·(~x ~x0)
|~x ~x0|3 (1)
die makroskopische Maxwellgleichung l¨ost.
Hinweis: Wenden Sie hierf¨ur den Di↵erentialoperator4x =r~x
2 auf den oberen Ausdruck an und nutzen Sie aus, dass 4(|~x1~x0|) = 4⇡ (3)(~x ~x0) ist. Weiterhin gilt nat¨urlich E~ = r~ .
b) Wir betrachten nun den Fall einer dielektrischen Kugel vom Radius R im Vakuum. Diese sei homogen polarisiert
P~(~x) =
(P~0 =P0~ez f¨ur r < R 0 f¨ur r > R
Die Dichte der freien Ladungen sei Null. Berechnen Sie das skalare Potential (~x) mithilfe von Glg. (1) innerhalb und außerhalb der Kugel!
Hinweis:
Z
|~x0<R
d3x0 1
|~x ~x0| = 4⇡
(1
2R2 16r2 (r < R)
1
3rR3 (r > R) mit r =|~x|. c) Wie lautet die elektrische Feldst¨arke innerhalb und außerhalb der Kugel?
8
A1
Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Aufgabe A.2: – Feld eines gleichf¨ormig bewegten magnetischen Dipols (5+7+8=20 Punkte)
0 x1
x2
x3
vt
m
a
3
Ein Teilchen, das in seinem Ruhesystem das magnetische Dipolmoment m~ =m~e1 besitzt, fliegt mit konstanter, relativistischer Geschwindigkeitv entlang der x1-Achse. In der x2-x3 Ebene befindet sich eine kreisf¨ormige Leiterschleife (Radiusa, Mittelpunkt im UrsprungO) aus d¨unnem Draht. Die Schleife besitzt den WiderstandR.
a) Im Ruhesystem⌃0 des magnetischen Dipols lauten die Potentiale (in SI-Einheiten) A~0(~x0,t0) = µ0
4⇡
~ m⇥~x0
|~x0|3 , 0(~x0,t0) = 0.
Leiten Sie die magnetische InduktionB~0(~x0) und das elektrische Feld E~0(~x0) in ⌃0 her.
b) Transformieren Sie das elektrische Feld in das Laborsystem ⌃ und zeigen Sie, dass es sich auf die Form
E(~~ x,t) = 3µ0 4⇡
v c
2(x1 vt) m~ ⇥~x
p 2
(x1 vt)2+x22+x235 bringen l¨asst.
c) Bestimmen Sie den Strom I(t), der in der Leiterschleife induziert wird!
Hinweis: F¨ur einen Boost mit~v lauten die Lorentztransformationen der Felder E~0(x0) = ⇣
E(x) +~ 1c(~v⇥B(x)~ ⌘ 2
c2(1+ )
⇣
~v·E(x)~ ⌘
~v B~0(x0) = ⇣
B~(x) 1c(~v⇥E(x)~ ⌘ 2
c2(1+ )
⇣~v·B(x)~ ⌘
~
v mit = 1
q 1 vc22
. (2)
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Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Aufgabe A.3:– Elektromagnetische Welle (3+3+3+6=15 Punkte) Betrachten Sie eine elektromagnetische Welle im Vakuum, gegeben durch
E(~~ x,t) = Re(E~0ei(~k·~x !t)), B(~~ x,t) = Re(B~0ei(~k·~x !t)), wobeiE~0 und B~0 komplexe Gr¨oßen sind.
a) Leiten Sie zun¨achst allgemein aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum (keine Ladungen und keine Str¨ome) die homogene (oder freie) Wellengleichung f¨ur die Felder E(~~ x,t) und B(~~ x,t) her.
b) Zeigen Sie, dass die oben angegebene Form f¨ur E(~~ x,t) und B(~~ x,t) die homogene Wellengleichung l¨ost. Welche Bedingungen m¨ussen~k und ! erf¨ullen?
c) Zeigen Sie, dass die Welle transversal ist, d.h. E~ ?~k, B~ ?~k, E~ ? B. Dr¨ucken Sie~ B~0 durch E~0
aus!
d) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte EnergiedichteW(~x,t) und den zeitlich gemittelten Poynting- Vektor S~ der elektromagnetischen Welle. Schreiben Sie das Ergebnis als Funktion vonE~0.
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Scanned by CamScanner
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Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
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Klausur P2.2 Elektrodynamik WS 2016/17
Aufgabe A.4:– Geladener Draht vor kugelf¨ormigen Leiter (4+6+8+2=20 Punkte) In der Ebene z = 0 befindet sich ein kreisf¨ormiger Draht mit dem Radius a. Der Draht ist homogen mit der Gesamtladung Q geladen.
0 y
x
z
a
Q
2
a) Bestimmen Sie das auf derz-Achse herrschende elektrische Feld E(x~ = 0,y = 0,z)!
0 y
x
z
a
r0
Q
1
b) Im Mittelpunkt des Drahtkreises werde nun ein kugelf¨ormiger, geerdeter Leiter vom Radiusr0 mit r0 < a platziert. Zeigen Sie zun¨achst, dass die Green’sche Funktion f¨ur dieses Problem (Dirichlet Randbedingung auf der Kugeloberfl¨ache) durch
GD(~x,~x0) = 1 4⇡|~x ~x0|
r0
|~x0|
4⇡ ~x |~xr020|2~x0
gegeben ist. D.h. ¨uberpr¨ufen Sie, dass die definierende partielle Di↵erentialgleichung und die Rand- bedingung erf¨ullt sind.
c) Nutzen Sie nun diese Green’sche Funktion, um das Potential (~x) im Außenraum der Kugel in Form eines eindimensionalen Integrals anzugeben. Berechnen Sie (x = 0,y = 0,z) entlang der z-Achse.
d) Bestimmen Sie sodann das elektrische Feld E(x~ = 0,y = 0,z) entlang der z-Achse außerhalb der Leiterkugel.
20
