Was und wie zählt man im Alltag und in der modernen Mathematik?

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Was und wie zählt man im Alltag und in der modernen

Mathematik?

Wolfgang Lück (Bonn)

Münster Juni 2014

(2)

Hinweis

I

Dies ist keine Vorlesung.

I

Dies ist ein interaktiver Vortrag.

I

Mitmachen und

Mitdenken erwünscht.

(3)

Hinweis

I

Dies ist keine Vorlesung.

I

Dies ist ein interaktiver Vortrag.

I

Mitmachen und

Mitdenken erwünscht.

(4)

Ziel

I

Obwohl es um Mathematik geht,

soll jeder mindestens die Hälfte

verstehen und dabei auch noch

Spaß haben und sich angeregt

fühlen.

(5)

Ziel

I

Obwohl es um Mathematik geht,

soll jeder mindestens die Hälfte

verstehen und dabei auch noch

Spaß haben und sich angeregt

fühlen.

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Ziel

I

Obwohl es um Mathematik geht,

soll jeder mindestens die Hälfte

verstehen und dabei auch noch

Spaß haben und sich angeregt

fühlen.

(7)

Zählen kann jeder von uns

I Wieviele Smileys sehen Sie?

1 2

3 4

(8)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(9)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(10)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(11)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(12)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(13)

Zählen kann jeder von uns

1

2 3 4

(14)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(15)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3

4

(16)

Zählen kann jeder von uns

1 2

3 4

(17)

I Die Art der Objekte spielt keine Rolle

1 2 ♠

3 4

(18)

1 2 ♠

3 4

(19)

1 2

♠

3 4

(20)

1 2

♠

3 4

(21)

1 2

♠

3 4

(22)

1

2

♠

3 4

(23)

1 2 ♠

3 4

(24)

1 2 ♠

3

4

(25)

1 2 ♠

3 4

(26)

I Die Reihenfolge beim Zählen spielt auch keine Rolle

2 4 ♠

1 3

(27)

2 4

♠

1 3

(28)

2 4

♠

1

3

(29)

2

4

♠

1

3

(30)

2

4

♠

1 3

(31)

2 4 ♠

1 3

(32)

Was ist eigentlich Zählen?

I Wikipedia-Eintrag:

I Zählen ist eine Handlung zur Ermittlung der Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge von gleichwertigen Objekten. Das Zählen erfolgt in Zählschritten, oft in

Einerschritten, wobei die entsprechende Zahlenfolge, als Folge von Zahlwörtern, zum Beispiel eins, zwei, drei oder zwei, vier, sechs, sieben durchlaufen wird. Bei einer aufsteigenden Folge wird vorwärts gezählt, bei einer absteigenden Folge rückwärts.

(33)

Was ist eigentlich Zählen?

(34)

Was ist eigentlich Zählen?

(35)

I Versuchen wir mal, das etwas genauer zu verstehen.

I Eine Menge ist eine wohlbestimmte

Kollektion von Objekten, die man Elemente der Menge nennt.

I Beispiele:

I Die Menge alle Leute in diesem Raum.

I Die Menge der Leute in diesem Raum, die verheiratet und älter als 40 Jahre sind.

I Die Menge aller Menschen auf dem Mars

I Die Menge aller Atome im Weltall

I Die Menge der natürlichen Zahlen N={0,1,2, . . .}.

I Die Menge der rationalen ZahlenQ.

I Die Menge der reellen ZahlenR.

I Die Menge{•,♣,}.

(36)

I Eine Mengeist eine wohlbestimmte

I Beispiele:

(37)

I Eine Mengeist eine wohlbestimmte

I Beispiele:

(38)

I Eine Abbildung von Mengen f: M → N ist eine Zuordnung, die jedem Elementx ∈ M der Menge M genau ein Element f(x) der MengeN assoziiert.

I Beispiele

I Die Abbildung von der Menge der Leute in diesem Raum in die MengeN, die jedem Element sein Alter zuordnet.

I Die Abbildung von der Menge der

Fussballvereine in der Bundesliga in die Menge N, die jedem Verein seinen Tabellenplatz am Ende der Saison 2012/2013 zuordnet.

I Die Abbildung von der Menge der Fussballvereine in der Bundesliga in die Menge{1,2, . . . ,18}, die jedem Verein seinen Tabellenplatz am Ende der Saison 2012/2013 zuordnet.

(39)

I Eine Abbildung von Mengen f: M → N ist eine Zuordnung, die jedem Elementx ∈ M der Menge M genau ein Element f(x) der MengeN assoziiert.

I Beispiele

I Die Abbildung von der Menge der Leute in diesem Raum in die MengeN, die jedem Element sein Alter zuordnet.

Fussballvereine in der Bundesliga in die Menge N, die jedem Verein seinen Tabellenplatz am Ende der Saison 2012/2013 zuordnet.

I Die Abbildung von der Menge der Fussballvereine in der Bundesliga in die Menge{1,2, . . . ,18}, die jedem Verein seinen Tabellenplatz am Ende der Saison 2012/2013 zuordnet.

(40)

I Die Abbildung{•,♣,} → {A,B,C}, die • und auf A und ♣ auf B abbildet.

• ^//A

♣ ^//B

66

C

(41)

I Die Abbildung{•,♣,} → {A,B,C}, die • und auf A und ♣ auf B abbildet.

• ^//A

♣ ^//B

66

C

(42)

I Die Abbildung{•,♣,} → {A,B,C}, die • auf A, ♣ aufB und auf C abbildet.

• ^//A

♣ ^//B

^//C

I Die AbbildungQ → Q, die einem Element x seine dritte Potenz x³ zuordnet.

I Die AbbildungR →R, die einem Element x seine dritte Potenz x³ zuordnet.

(43)

• ^//A

♣ ^//B

^//C

(44)

• ^//A

♣ ^//B

^//C

(45)

I Eine Abbildungf : M → N heißt injektiv, wenn für zwei Elemente x,y ausM mit f(x) =f(y) bereits x = y folgt.

I Eine Abbildungf : M → N heißt surjektiv, wenn für jedes Elementz ausN ein Element x mit f(x) = z existiert.

I Eine Abbildungf : M → N heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

I Eine Abbildungf : M → N ist genau dann bijektiv, wenn es zu jedem z ∈ N genau ein x ∈ M mit f(x) = z gibt.

I Eine bijektive Abbildung besitzt eine Umkehrabbildungf⁻¹: N →M.

(46)

I Eine Abbildungf : M → N heißt surjektiv, wenn für jedes Elementz ausN ein Element x mit f(x) =z existiert.

(47)

(48)

(49)

(50)

I Welche der oben genannten Abbildungen sind injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

I Die Abbildung von der Menge der Leute in diesem Raum in die Menge N, die jedem Element sein Alter zuordnet.

Antwort: Weder injektiv noch surjektiv.

(51)

(52)

(53)

Fussballvereine in der Bundesliga in die MengeN, die jedem Verein seinen

Tabellenplatz am Ende der Saison 2012/2013 zuordnet.

Antwort: injektiv, aber nicht surjektiv.

Fussballvereine in der Bundesliga in die Menge{1,2, . . . ,18}, die jedem Verein seinen Tabellenplatz am Ende der Saison 2013/2014 zuordnet.

Antwort: bijektiv.

(54)

Antwort: bijektiv.

(55)

Antwort: bijektiv.

(56)

Antwort: bijektiv.

(57)

I Die Abbildung

• ^//A

♣ ^//B

66

C

(58)

I Die Abbildung

• ^//A

♣ ^//B

66

C Antwort: Weder injektiv noch surjektiv.

(59)

I Die Abbildung

• ^//A

♣ ^//B

^//C

Anwort: bijektiv

(60)

I Die Abbildung

• ^//A

♣ ^//B

^//C

Anwort: bijektiv

(61)

Antwort: bijektiv

(62)

Antwort: bijektiv

(63)

Antwort: bijektiv

(64)

Antwort: bijektiv

(65)

I Wir setzen die Menge der natürlichen ZahlenN = {0,1,2,3. . .}als gegeben voraus.

I Zwei Mengen M and N heißen bijektiv, wenn es eine bijektive Abbildung f: M −→^∼⁼ N gibt.

I Falls die MengenM₁ und M₂ und die

MengenM₂ und M₃ bijektiv sind, dann sind auch die Mengen M₁ und M₃ bijektiv.

(66)

I Wir definieren folgende Mengen:

[0] = leere Menge ∅;

[1] = {1};

[2] = {1,2};

[3] = {1,2,3};

...

I Fakt: Seien m,n ∈ N gegeben. Dann gibt es genau dann eine bijektive Abbildung f: [m] −→^∼⁼ [n], wenn m = n gilt.

(67)

I Eine MengeM heißt endlich, wenn sie zu [n] für eine natürliche Zahl n bijektiv ist.

I WennM endlich ist, gibt es genau eine natürliche Zahl n ∈ Nmit dieser

Eigenschaft.

I Man nenntn = |M| dieMächtigkeit oder die Anzahl der Elementevon M.

I Das Zählen der Elemente einer Menge ist nun einfach die Angabe einer Bijektion [n] → M.

(68)

I Früheres Beispiel:

1 2 ♠

3 4

(69)

1 2

♠

3 4

(70)

1

2

♠

3 4

(71)

1 2 ♠

3 4

(72)

1 2 ♠

3

4

(73)

1 2 ♠

3 4

(74)

I Das ist die Angabe einer Bijektion [4] = {1,2,3,4} −→ {^∼⁼ ,♠, , }

1 ^//

2 ^//♠

3 ^//

4 ^//

(75)

I Das ist die Angabe einer Bijektion [4] = {1,2,3,4} −→ {^∼⁼ ,♠, , }

1 ^//

2 ^//♠

3 ^//

4 ^//

(76)

Unendliche Mengen

I Nicht alle Mengen sind endlich, z.B. Q und Rsind unendlich.

I Man nennt zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie bijektiv sind.

I Eine Menge heißtabzählbar, wenn sie bijektiv zu N ist.

I Qist abzählbar, R ist nicht abzählbar.

(77)

Unendliche Mengen

I Nicht alle Mengen sind endlich, z.B. Q und Rsind unendlich.

I Man nennt zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie bijektiv sind.

I Eine Menge heißtabzählbar, wenn sie bijektiv zu N ist.

I Qist abzählbar, R ist nicht abzählbar.

(78)

Macht der Zahlen

I Unbestritten ist das Zählen eine

unverzichtbare Fähigkeit für Mitglieder unserer Gesellschaft.

I Zahlen sind die Grundlage für Vergleiche und die daraus resultierenden

Entscheidungsprozesse.

I Man kann natürlich Zahlen fälschen und damit Schaden anrichten.

I Können aber Zahlen selber lügen?

I Die Zahlen selber nicht, wohl aber die Menschen, die sie benutzen.

I Das geht auch und ist viel subtiler, wenn man die Zahlen selber nicht fälscht.

(79)

Macht der Zahlen

I Unbestritten ist das Zählen eine

unverzichtbare Fähigkeit für Mitglieder unserer Gesellschaft.

I Zahlen sind die Grundlage für Vergleiche und die daraus resultierenden

Entscheidungsprozesse.

I Man kann natürlich Zahlen fälschen und damit Schaden anrichten.

I Können aber Zahlen selber lügen?

I Die Zahlen selber nicht, wohl aber die Menschen, die sie benutzen.

I Das geht auch und ist viel subtiler, wenn man die Zahlen selber nicht fälscht.

(80)

Ein paar Statistiken zum Mitdenken

I

Die folgenden Statistiken sind korrekt.

I

Frage: Was ist Ihr spontaner

Gedanke?

(81)

Ein paar Statistiken zum Mitdenken

I

Die folgenden Statistiken sind korrekt.

I

Frage: Was ist Ihr spontaner

Gedanke?

(82)

I

Lebenspartner

I

Geschiedene Leute haben eine höhere

Lebenserwartung.

(83)

I

Lebenspartner

I

Geschiedene Leute haben eine höhere

Lebenserwartung.

(84)

I

Karriere

I

Leute in Führungspositionen

haben größere Füße.

(85)

I

Karriere

I

Leute in Führungspositionen

haben größere Füße.

(86)

I

Religion

I

Mehr als siebzig Prozent aller Verbrecher in Bayern sind

katholisch.

(87)

I

Religion

I

Mehr als siebzig Prozent aller Verbrecher in Bayern sind

katholisch.

(88)

Intermezzo: Zählen

(89)

Intermezzo: Zählen

(90)

Intermezzo: Unendlich

(91)

Intermezzo: Unendlich

(92)

Intermezzo: Imaginär

(93)

Intermezzo: Imaginär

(94)

Intermezzo: Mathematik rettet Leben

(95)

Intermezzo: Mathematik rettet Leben

(96)

Intermezzo: Entscheidung

(97)

Intermezzo: Entscheidung

(98)

Topologen, Donuts und Kaffeetassen

I Häufig zitierte Phrase:

Ein Topologe ist jemand, der einen Donut nicht von einer Kaffeetasse unterscheiden kann.

I Schon besser:

Ein Topologe ist jemand, der einen Donut von einer Kaffeetasse unterscheiden kann, aber nicht unbedingt will.

(99)

Topologen, Donuts und Kaffeetassen

I Schon besser:

(100)

Topologen, Donuts und Kaffeetassen

I Schon besser:

(101)

I Noch besser:

Topologen hatten die geniale Einsicht, dass in einem gewissen Sinn das geometrische Gebilde, das einen Donut beschreibt,

dasselbe ist wie das geometrische Gebilde, das eine Kaffeetasse beschreibt.

(102)

Homöomorphie

I Seien M und N zwei geometrische Gebilde.

I Sie heißen homöomorph, wenn es eine bijektive Abbildungenf : M → N derart gibt, dass f und f⁻¹ stetig sind.

I Anschaulich bedeutet dies, dass man durch Ziehen und Zerren ein Gebilde in das

andere überführen kann, ohne dass man zwischenzeitlich etwas aufschneidet oder zerreißt und wieder zusammenfügt.

(103)

Homöomorphie

(104)

Homöomorphie

(105)

Homöomorphie

(106)

I Eine Kugel vom Radius 1m und eine Kugel vom Radius 1 km sind homöomorph.

I Eine Kugel und ein Würfel sind homöomorph.

I Eine Kaffeetasse und ein Donut sind homöomorph.

I Eine Kugel und ein Donut sindnicht homöomorph.

(107)

(108)

(109)

(110)

Flächen

I Eine Flächeist ein geometrisches geschlossenesTeilgebilde im

drei-dimensionalen Raum, das lokal homöomorph zum zwei-dimensionalen Raum ist.

I Theorem: Jede Fläche ist zu genau einer Standardfläche vom Geschlecht g

homöomorph.

(111)

Flächen

homöomorph.

(112)

Flächen

homöomorph.

(113)

I

Fläche vom Geschlecht g .

(Das Geschlecht ist die Anzahl

der Löcher).

(114)

I

Die folgenden Bilder zeigen Objekte, deren Oberfläche eine Fläche

beschreibt.

I

Frage: Was ist ihr Geschlecht?

(115)

I

Die folgenden Bilder zeigen Objekte, deren Oberfläche eine Fläche

beschreibt.

I

Frage: Was ist ihr Geschlecht?

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

Euler-Charakteristik

I Man kann jede Fläche mit Vielecken so überdecken, dass zwei Vielecke sich gar nicht berühren oder ihr Durchschnitt genau aus einer Kante besteht.

(125)

Euler-Charakteristik

I Man kann jede Fläche mit Vielecken so überdecken, dass zwei Vielecke sich gar nicht berühren oder ihr Durchschnitt genau aus einer Kante besteht.

(126)

(127)

I Die Euler-Charakteristik χ so einer Überdeckung ist definiert als

χ = E −K +F

wobei E, K und F die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen ist.

I Theorem: Die Euler-Charakteristik hängt nicht von der Wahl der Überdeckung ab.

(128)

I Die Euler-Charakteristik χ so einer Überdeckung ist definiert als

χ = E −K +F

wobei E, K und F die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen ist.

I Theorem: Die Euler-Charakteristik hängt nicht von der Wahl der Überdeckung ab.

(129)

I Zwei Flächen sind genau dann homöomorph, wenn sie dieselbe

Euler-Charakteristik haben, denn es gilt χ(F_g) =2−2g,

I Also zählt die Euler-Charakteristik Löcher.

I Die Euler-Charakteristik der Kugeloberfläche F₀ ist 2.

I Die Euler-Charakteristik der Oberfläche eines Donuts F₁ ist 0.

I Die Euler-Charakteristik der Oberfläche einer Kaffeetasse ist auch 0.

(130)

I Die Euler-Charakteristik der Kugeloberfläche F₀ ist 2.

(131)

I Die Euler-Charakteristik der KugeloberflächeF₀ ist 2.

(132)

Platonische Körper

I Ein Platonischer Körperist ein konvexer Körper im Raum, der durch

deckungsgleiche regulären-Ecke derart begrenzt wird, dass jede Kante zu genau zwei regulärenn-Ecken gehört und an jeder Ecke genaum Kanten zusammenstoßen.

I Platonische Körper sind konvexe Körper mit größtmöglicher Symmetrie.

(133)

Platonische Körper

I Ein Platonischer Körperist ein konvexer Körper im Raum, der durch

deckungsgleiche regulären-Ecke derart begrenzt wird, dass jede Kante zu genau zwei regulärenn-Ecken gehört und an jeder Ecke genaum Kanten zusammenstoßen.

I Platonische Körper sind konvexe Körper mit größtmöglicher Symmetrie.

(134)

Tetraeder

11.06.08 23:45 Tetrahedron.svg

Seite 1 von 1 file:///Users/lueck/Desktop/Tetrahedron.svg

(135)

Hexaeder

11.06.08 23:58 Hexahedron.svg

Seite 1 von 1 file:///Users/lueck/Desktop/Hexahedron.svg

(136)

Oktaeder

12.06.08 00:00 Octahedron.svg

Seite 1 von 1 file:///Users/lueck/Desktop/Octahedron.svg

(137)

Dodekaeder

12.06.08 00:00 POV-Ray-Dodecahedron.svg

Seite 1 von 1 file:///Users/lueck/Desktop/POV-Ray-Dodecahedron.svg

(138)

Ikosaeder

12.06.08 00:10 Icosahedron.svg

Seite 1 von 1 file:///Users/lueck/Desktop/Icosahedron.svg

(139)

I Obwohl es beliebig viele regelmäßige Vielecke gibt, existieren nur fünf

regelmäßige Körper:

Tetraeder,

Hexaeder(oder Würfel), Oktaeder,

Dodekaeder, Ikosaeder.

(140)

I Das wollen wir mit Hilfe der Euler-Charakteristik beweisen.

I Die Oberfläche eines Platonischen Körpers ist zu der Kugeloberfläche homöomorph.

I Also gilt

E −K +F = 2.

I Offensichtlich gilt auch mE = 2K und

nF = 2K

I Daraus folgt die Gleichung 1

m + 1

n = 1 K + 1

2.

(141)

I Also gilt

E −K +F = 2.

nF = 2K

m + 1

n = 1 K + 1

2.

(142)

I Also gilt

E −K +F = 2.

nF = 2K

m + 1

n = 1 K + 1

2.

(143)

I Also gilt

E −K +F = 2.

nF = 2K

m + 1

n = 1 K + 1

2.

(144)

I Aus der letzten Gleichung folgt 1

2 < 1 m + 1

n

I Offensichtlich mussm,n ≥ 3 gelten.

I Also ist nur möglich

m = 3 n = 3; m = 4 n = 3; m = 3 n = 4; m = 3 n = 5; m = 5 n = 3.

(145)

2 < 1 m + 1

n

m = 3 n = 3; m = 4 n = 3; m = 3 n = 4; m = 3 n = 5; m = 5 n = 3.

(146)

2 < 1 m + 1

n

m = 3 n = 3;

m = 4 n = 3;

m = 3 n = 4;

m = 3 n = 5;

m = 5 n = 3.

(147)

m n E K F

3 3 6 4 4

3 4 12 8 6

4 3 12 6 8

3 5 30 20 12

5 3 30 12 20

(148)

m n E K F Körper

3 3 6 4 4 Tetraeder

3 4 12 8 6 Hexaeder

4 3 12 6 8 Oktaeder

3 5 30 20 12 Dodekaeder

5 3 30 12 20 Ikosaeder

(149)

Ausblick

I Im Allgemeinen ist Zählen eine Art

Messvorgang, der nicht unbedingt Werte in Nliefert.

I Beispiel: Distanz zweier Punkte,

Flächeninhalt einer Figur, Volumen eines Körpers. Diese nehmen Werte in Ran.

I Die Additivität ist dabei eine entscheidende Eigenschaft.

I Für die Anzahl von Elementen von endlichen Mengen gilt

|M ∪N| = |M|+ |N| − |M ∩ N|.

(150)

Ausblick

|M ∪N| = |M|+ |N| − |M ∩ N|.

(151)

Ausblick

|M ∪N| = |M|+ |N| − |M ∩ N|.

(152)

Ausblick

|M ∪N| = |M|+ |N| − |M ∩ N|.

(153)

Ausblick

|M ∪N| = |M|+|N| − |M ∩ N|.

(154)

I Für die Euler Charakteristik von endlichen CW-Komplexen gilt

χ(X ∪Y) = χ(X) +χ(Y)−χ(X ∩Y).

I Oftmals liegen die Werte, die man Elementen zuordnet, in allgemeineren Objekten, wie zum Beispiel abelschen Gruppen.

I Beispielsweise misst die projektive

KlassengruppeK₀(R) eines Ringes R die Menge der stabilen Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln.

(155)

χ(X ∪Y) = χ(X) +χ(Y)−χ(X ∩Y).

(156)

χ(X ∪Y) = χ(X) +χ(Y)−χ(X ∩Y).

(157)

I Dabei wird die Additivität zu der Bedingung, dass

[P₁] = [P₀] + [P₂] gilt, falls es eine exakte Sequenz 0 →P₀ → P₁ → P₂ → 0 gibt.

I Die Berechnung der Gruppe K₀(R) selber ist ein fundamentales Problem.

(158)

I Dabei wird die Additivität zu der Bedingung, dass

[P₁] = [P₀] + [P₂] gilt, falls es eine exakte Sequenz 0 →P₀ → P₁ → P₂ → 0 gibt.

I Die Berechnung der Gruppe K₀(R) selber ist ein fundamentales Problem.

(159)

I Im Idealfall kann man geometrischen Objekten eine berechenbare Invariante in einer abelschen Gruppe zuordnen, die genau dann den Wert Null hat, wenn das geometrische Objekt eine gewünschte Eigenschaft hat.

I Beispielsweise hat eine Mannigfaltigkeit genau dann Euler-Charakteristik Null, wenn sie ein nirgends verschwindendes

Vektorfeld besitzt.

(160)

I Im Idealfall kann man geometrischen Objekten eine berechenbare Invariante in einer abelschen Gruppe zuordnen, die genau dann den Wert Null hat, wenn das geometrische Objekt eine gewünschte Eigenschaft hat.

I Beispielsweise hat eine Mannigfaltigkeit genau dann Euler-Charakteristik Null, wenn sie ein nirgends verschwindendes

Vektorfeld besitzt.

(161)

I In der modernen Mathematik ist der

Übergang von geometrischen Objekten zu algebraischen Objekten ein extrem

erfolgreiches Konzept.

I Die Zuordnung, die einer Fläche ihre Euler-Charakteristik zuordnet, ist ein klassisches Paradebeispiel.

I Allgemeiner kann man beispielsweise einer Mannigfaltigkeit ihre Fundamentalgruppe zuordnen.

I Borel-Vermutung: Zwei asphärische Mannigfaltigkeiten sind genau dann homöomorph, wenn ihre

Fundamentalgruppen isomorph sind.

(162)

(163)

(164)

(165)

Zugabe: Unberechenbar

(166)

Zugabe: Unberechenbar

(167)

Zugabe: Mathematik in der Steinzeit

(168)

Zugabe: Mathematik in der Steinzeit

(169)

Zugabe: Mathematik als Waffe

(170)

Zugabe: Mathematik als Waffe

(171)

Zugabe: Kurvendiskussion

(172)

Zugabe: Kurvendiskussion

(173)

Zugabe: Was

Mathematik-Professoren so tun

(174)