Dann ist A genau dann kompakt, wenn die Eigenwerte λi nach Null konvergieren

Ubungen zur Funktionalanalysis¨ Blatt 5

1 Prove that the limit in (6.6.3) exists and that ˆdis a metric. 2 2 Let K be the metric completion of Q. Prove that the field structure of Q can be

naturally extended toK. 2

3 LetEbe a normed space,F a Banach space, andA∈L(E, F). ThenAcan be extended to the completion ˆE ofE. IfA is compact, then the extension is also compact. 4 4 Sei (en)_n∈Neine Orthonormalfolge in einem Hilbertraum, so konvergieren dieenschwach

nach Null. 2

5 SeiH ein unendlich dimensionaler, separabler Hilbertraum,A∈L(H) und (ei)_i∈Neine ONB, die aus Eigenvektoren von A besteht, so daß sich A als Diagonalmatrix (λiδ_i^j) darstellen l¨aßt. Dann ist A genau dann kompakt, wenn die Eigenwerte λi nach Null

konvergieren. 6

6 Eine AbbildungA∈L(H) ist genau dann kompakt, wenn die zuAgeh¨orende Sesquili- nearform

(0.1) a(u, v) =hAu, vi

kompakt ist, d.h., wenn die Folgen (u_n),(v_n) schwach nachubzw. vkonvergieren, dann gilt

(0.2) a(un, vn)→a(u, v).

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