Maximalflussproblem als LP
Man f¨uhre f¨ur jede gerichtete Kante (v
,w)
2Eeine Variable
xvwein.
Damit erh¨alt man das LP
max
X(s,w)2E
x
swX
(w,s)2E
x
wsunter den Nebenbedingungen
x
vw c (v
,w ) f¨ur alle (v, w )
2E
X(w,v)2E
x
wvX
(v,w)2E
x
vw= 0 f¨ur alle v
2V
\ {s
,t
}sowie Vorzeichenbedingungen
x
vw0 f¨ur alle (v, w )
2E
Beispiel 1.25
Gegeben Sei das Flussnetzwerk
Das LP f¨ur das Maximalflussproblem lautet dann
max x
sa+ x
sbFortsetzung Beispiel.
unter den Nebenbedingungen
x
sa 3 x
sb 2 x
ac 1 x
bc 3 x
bd 1 x
ct 3 x
dt 2 x
sax
ac= 0 x
sbx
bcx
bd= 0 x
ac+ x
bcx
ct= 0 x
bdx
dt= 0 und Vorzeichenbedingungen
x
sa,x
sb,x
ac,x
bc,x
bd,x
ct,x
dt0
LP-Formulierung f¨ur GLPK: siehe Homepage
Maximalfluss:
Koeffizientenmatrix in Normalform
F¨ur jede Strukturvariable x
vwwird eine Schlupfvariable s
vweingef¨uhrt.
F
=
0 BB BB BB BB BB BB BB@
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 CC CC CC CC CC CC CC A
=
✓ E E A0 0
◆
Satz 1.26
Die Koeffizientenmatrix
Feines Maximalflussproblems in Normalform ist total unimodular.
Beweis.
Die Matrix
A0ist eine Teilmatrix der Inzidenzmatrix von G (es fehlen die Zeilen f¨ur s und t).
Weil eine Inzidenzmatrix total unimodular ist, ist auch jede Teilmatrix total unimodular. Also ist
A0total unimodular.
Jede quadratische Untermatrix mit Spalten nur aus der linken H¨alfte (Strukturvariablen) und genau einer Zeile aus der oberen H¨alfte (Kapazit¨atsrestriktionen) ist total unimodular.
Begr¨undung: Man entwickle nach der Zeile aus der oberen H¨alfte.
Mit Induktion folgt: Jede quadratische Untermatrix mit Spalten nur aus
der linken H¨alfte ist total unimodular.
Fortsetzung Beweis.
Jede quadratische Untermatrix mit genau einer Spalte aus der rechten H¨alfte (Schlupfvariablen) ist total unimodular.
Begr¨undung: Man entwickle nach dieser Spalte.
Mit Induktion folgt:
Fist total unimodular.
Folgerung 1.27
F¨ur ganzzahlige Kapazit¨aten liefert der Simplexalgorithmus stets einen
ganzzahligen Maximalfluss als optimale L¨osung.
K¨urzeste Wege
Beispiel 1.28 F¨ur das Netzwerk
soll ein k¨urzester Weg von a nach d ermittelt werden.
Wir f¨uhren f¨ur jede gerichtete Kante e = (v, w ) eine Variable x
vwein.
Dann lautet das LP:
min x
ab+ 3x
ac+ x
bc+ 3x
bd+ x
cdFortsetzung Beispiel.
unter den Nebenbedingungen
x
abx
bcx
bd= 0 x
ac+ x
bcx
cd= 0 x
abx
ac= 1 x
bd+ x
cd= 1 und
x
ab,x
ac,x
bc,x
bd,x
cd 2{0,1}
bzw. f¨ur das relaxierte LP
0
x
ab,x
ac,x
bc,x
bd,x
cd 1 Lemma 1.29
Das relaxierte LP zur Ermittlung eines k¨urzesten Weges hat unabh¨angig
von den Kantengewichten ausschließlich ganzzahlige Ecken.
Transport- und Zuordnungsproblem revisited
Die Matrix
A0der Nebenbedingungen eines relaxierten
Zuordnungsproblems entspricht der Inzidenzmatrix eines vollst¨andigen bipartiten Graphen
Kn,n.
Damit ist die Matrix
A0total unimodular.
F¨ur die Beschr¨ankungen
xij 1 werden zus¨atzliche Schlupfvariablen ben¨otigt.
Insgesamt entsteht eine totale unimodulare Matrix in der gleichen Form wie beim Maximalflussproblem:
✓ E E A0 0
◆
