Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?

Clemens Simmer

Meteorologisches Institut

Was sind die

meteorologischen

Grundgleichungen?

2

1. Übersicht

2. die meteorologischen Basisvariablen und ihre Verknüpfung

3. die Bewegungsgleichung 4. Zusammenfassung

Gliederung

Zur Bestimmung der sieben grundlegenden

meteorologischen Variablen:

Wind (3) Luftdruck

Lufttemperatur Luftdichte

Luftfeuchtigkeit ...

...benötigen wir

die sieben meteorologische Grundgleichungen:

Bewegungsgleichung (3) Kontinuitätsgleichung

1. Hauptsatz der Wärmelehre Wasserdampfbilanzgleichung Zustandsgleichung der Luft.

Sechs der meteorologischen Grundgleichungen betreffen zeitliche Ableitungen der meteorologischen Variablen

-> (Wetter)Vorhersagen sind möglich!

1 Übersicht

4

2 Die meteorologischen Basisvariablem und ihre Verknüpfungen

1. Druck, Dichte und Temperatur

 Zustandsgleichung für ideale Gase

 statische Grundgleichung

 1. Hauptsatz der Wärmelehre

2. Wind

 Kontinuitätsgleichung

3. Feuchte

 Kontinuitätsgleichung für Wasserdampf

2.1 Druck, Dichte und Temperatur

• Was ist Temperatur?

• Was ist Luftdruck?

• Wie erzeugt Luftdruck Luftbewegung?

• Die Gleichung für ideale Gase

• Die statische Grundgleichung

• Der erste Hauptsatz der Wärmelehre

6

Was ist Temperatur?

• Die Temperatur hängt mit der mittleren kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der einzelnen Moleküle zusammen:

• Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der Moleküle (also z.B.

von der Dichte) ab! (siehe Ausdehnung ins Vakuum)

• Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer: Definition der inneren Energie E) ist proportional zu Temperatur T und zur Wärmekapazität bei kontantem Volumen C_V ([C_V]=J/K)

Konstante -

Boltzmann J/K

10 1.3806

Moleküls

eines or

gkeitsvekt Geschwindi

Moleküls eines

Masse

mit

23

 -





B B

k v m T

k mv





2 3 2

2

J/(kgK) mit

;

   717



 _{V v} c_VT c_v

m e E

T mc T

C E

Was ist Luftdruck?

• Luftdruck ist auf molekularer Ebene die Flussdichte der Impulse der Luftmoleküle, denn

Druck = Kraft / Fläche = kg x m/s² / m²

= (kg x m/s) / (m² s)

= Impuls / (Fläche x Zeit)

• Luftdruck ist daher

– proportional zur Dichte der Luft (mehr Moleküle→mehr Impulse), und

– proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Luftmoleküle, denn

• Impuls =mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und

• Häufigkeit des Durchfliegens eine Fläche ~ v.

• Bei ruhender Luft ist die Impulsflussdichte durch eine Fläche unabhängig von der Orientierung (Druck ist kein Vektor!)

• Warum bewegen Druckunterschiede die Luft?

8

Warum bewegen Druckunterschiede die Luft ? (1)

t=t_o

t=t_o+Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) als links durch höhere Temperatur (T~v²).

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt!

Warum bewegen Druckunterschiede die Luft ? (1)

t=t_o

t=t_o+Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle.

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt.

1 0

• Offensichtlich beschleunigt der Druckgradient dp/dx (x beliebige Raumkoordinate) Luft zum niedrigeren Druck.

• Ein Dimensionsanalyse des Druckgradienten ergibt, dass sich die Druckgradientbeschleunigung durch Division mit der Dichte ergibt

• In der Vertikalen wird die Druckgradientbeschleunigung mit sehr guter Näherung durch die Schwerebeschleunigung g=9,81 m/s² kompensiert – es folgt die statische Grundgleichung:

Statische Grundgleichung

 

gung Beschleuni

Dichte

/

2 3

2 2

s m m

kg m

m kgms

dx

dp  



 ^

dz g

dp  

 1

1

Zustandsgleichung für ideale Gase

• Druck (p), Temperatur (T) und Partikelanzahl (n= Anzahl der Mole des Gases im Volumen) sind verknüpft durch:

• Luft ist ein Gasgemisch; die spezifische Gaskonstante ergibt sich aus einem mittleren Molekulargewicht

→ RM=RL=R/ML=const mit ML=28,965 kg/kmol, RL=287 J/(kg K)

• Üblicherweise nutzen wir in der Meteorologie die Formulierung mit der Dichte

(kg) Gases

des Masse die

ist m

Gases des

ewicht Molekularg

M

te Gaskonstan

spezielle

mit

te Gaskonstan

allgemeine

K) J/(kmol

8314,4 R

mit

R/M R

T mR M T

m R M RT

pV m

nRT pV

M

M 











T R T

V R

p  m _M   _M

1 2

Analyse von pV=nRT

p

V

T=const warm

kalt

p

T

V=const

groß

klein V

T

p=const

hoch niedrig

V

T

V=const ^p=const

 

T V nR

p _{* const} 1

 ^T

V p nR

const



 



  ^* T

p V nR

const



 



  ^*

1

1. Hauptsatz der Wärmelehre (1)

Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit auch die Temperatur im Volumen.

Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine

geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist,

nimmt die Temperatur im Volumen ab.

Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur Abnahme der Temperatur des Gases.

Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit (→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

1 4

1. Hauptsatz der Wärmelehre (2)

• Diese Ausdehnungsarbeit muss also auf Kosten der inneren Energie des Gases gehen, also pΔV=-mc_VΔT.

• Nun könnte aber das Gas durch andere Wärmeströme ΔQ zusätzlich erwärmt oder abgekühlt werden (über die Wände, Kondensation von Wasserdampf), also ΔQ = pΔV+mc_VΔT

• Das ganze differentiell nach Division durch m mit α=1/ρ und c_p=c_v+R_L

V

p ΔV =

→ V + ΔV

(Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = A (Arbeit)

dp dT

c dq

pd dT

c

dq  _V   oder  _p 

1

1. Hauptsatz der Wärmelehre (3)

• Lässt man weder Kondensation noch andere Wärmeflüsse zu (sogenannte adiabatische Veränderungen) so gilt

• Wendet man die statische Grundgleichung auf dp an, so gibt sich für vertikale adiabatische Bewegungen

• Ohne externe Wärmezufuht kühlt sich Luft beim Aufsteigen um ca 1 K/ 100m Höhenunterschied ab

p L c R

p L p

L

p p

p T

T p

dp c

R T

dT p

c T R c

dp

dT 



 



 











0 0



m c K

g dz

gdz dT dp

dT c

p

p         0,98 /100

1 6

2.2 Wind

• Wind als Vektor

• Konvergenz und Massenänderungen

• Kontinuitätsgleichung

1

• Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und ihre Richtung

• Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik).

z

i 

x (Ost)

y (Nord)

j

k

vh





v 

w

v u

2 2

2

cos

sin sin

cos sin

w v

u v

k w j

v i

u v

v w

v v

v u





















 

 

















Dabei ist λ die Winkelabweichung von der Ostrichtung, und φ die Winkelabweichung von der Vertikalen.

Wind als Vektor

1 8

36

27 9

18

W O

S N

Horizontale Windgeschwindigkeit

Für große Skalen (lange

Zeitmittelung (mehrere Minuten) oder Mittelung über viele Kilometer gilt u~v>>w.

2

2 v

u v

j v i

v u v u

h h







 



 



 





 

Achtung: Die übliche Windrichtungsangabe ist dem Windvektor entgegengesetzt.

Merksatz: Strom: wohin er geht, Wind: woher er weht.

1 9

Divergenz der Windgeschwindigkeit

y v x

v u v

div

z w y

v x

u u v

v div

H H

i i



 



 









 



 



 











 



 



x

< 0 > 0 < 0

t=0 t=t₁

• Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der

Zusammenhang zwischen Strömungsfeld und Divergenz unmittelbar deutlich.

• Die ∂ (sprich „del“) bezeichnen partielle Ableitungen (d.h. hier wird z.B. die Zeit konstant gehalten)

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.

2 0

Divergenz und Massenerhaltung

Dichte und

Masse mit

) (

Volumen, festen

einem aus

nfluss Nettomasse

 

 m

V t t

V t

M m

kg/s [M]

M



 

 



 

 







V,m,ρ=m/V M_i

heraus aus

Fluss wenn

x zu senkrecht Randfläche

eine durch

s Massenflus

V

ρ F v M

, M

x F x

x

x  0

 _

 , ˆ

, ˆ ˆ

hen Doppelfläc zwei

anderen die

für auch dann

gilt Das

. x x

M - M Mˆ

z.B also

anderen zu

Stirnseite einer

M von Änderung die

nur aber rt

interessie Es

V x

x x

x

z V M w

y V M v

x V M u

x F ρ v x

M

z y

x

x

x Fx



 



 



 

 

 

 

 





 









 

  _ ^v

dt v d

t

V z v

w y

v x

M u M

M t V

M _{x y z}

 

 

 















 







 



 







 



 



 





 

 



 

 

 







oder

h schließlic und

ˆ V ˆ

ˆ

sich ergibt Zusammen

Beweisohne

2

2.3 Feuchte

• Feuchtemaße

• Kontinuitätsgleichung für Wasserdampf

2 2

Feuchtemaße

 w absolute Feuchte [kg m^-3]

• e Partialdruck des Wasserdampfs [hPa]

• T_d Taupunkt [K]

Abkühlung auf Taupunkt führt zur Kondensation

• q spezifische Feuchte [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der feuchten Luft

• m Mischungsverhältnis [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der trockenen Luft

• f relative Feuchte [%] =e/es mit es

Sättigungsdampfdruck

2

Auswirkungen der Feuchte

• Gaskonstante für Luft R_L aber auch die spezifischen Wärmekapazitäten von Luft (cV und cp) sind leicht vom Wasserdampfgehalt abhängig

• Gegenüber der Masse der „trockenen“ Luft bleibt die Masse des Wasserdampfes nicht konstant (Kondensation, Verdunstung).

• Entsprechend muss die „Kontinuitätsgleichung“ für Wasserdampf Quellen und Senken enthalten.

• Schließlich muss der 1. Hauptsatz bei der externen Wärmezufuhr die Umwandlungswärmen enthalten.

t.

beeinhalte Wasser

von

ndlungen Phasenumwa

alle wobei

schreiben wir

müssen

Anstatt

W W

dt v d

dt v d

w w    

 



















 

 

2 4

3 Die Bewegungsgleichung

• Die Bewegungsgleichung im Inertialsystem

• Auswirkung der rotierenden Erde – Bewegung in einem rotierenden Koordinatensystem

• Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

– geostrophische Approximation – hydrostatische Approximation

2

Die Bewegungsgleichung im Inertialsystem

• In einem Inertialsystem gelten die Newtonschen Axiome, insbesondere

– N2: Greift eine Kraft an einem Körper an, so reagiert der mit einer Beschleunigung in Richtung der Kraft mit einem Betrag umgekehrt zu seiner trägen Masse

– N4: Greifen mehrere Kräfte an, müssen diese vektoriell addiert werden.

• In der Erdatmosphäre gilt insgesamt mit sehr guter Näherung

fR

aft Reibungskr

, k -g g

t Schwerkraf

entkraft Druckgradi

mit

Kraft ifische

massenspez

eit schwindigk Absolutge

mit

,





 



 







 

 

 

3 2

1 3

1

1 f f

ρ p - f

f f

f v m f

K dt

v K d

dt v m d

i i

a a

a















a p gk fR

dt v

d    











 

1

2 6

Auswirkung der rotierenden Erde –Bewegung in einem rotierenden Koordinatensystem

• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.

• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im

Inertialsystem beizubehalten.

• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als

Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert werden (Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung).

• Die Zentrifugalbeschleunigung führt zur Erdabplattung, die sich so einstellt, dass die Summe aus Zentrifugalbeschleunigung und Erdanziehung normal zur Erdoberfläche sind.

• Sie „verschwindet“ in g.

gN

gz

g

2

Coriolisbeschleunigung - anschaulich (1) -

• Ein von P (fest auf der Scheibe) nach Q geworfener Körper hat auch eine x-

Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der u-Bewegung von P.

• Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach

Q‘zurückgelegt haben.

• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘

verlagert, durch die kleinere Entfernung von der Drehachse.

• Der Körper hat sich relativ zur

Scheibenoberfläche nach rechtsbewegt.

• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.

t₀

t+Δt

P P‘

Q

Q‘‘

Q‘

2 8

Coriolisbeschleunigung - anschaulich (2) -

• Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit.

• P wirft nach Q (blauer Vektor).

• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).

• Die Summe ist der grüne Vektor.

• Beachte die Position des

Körpers Q‘‘ in Relation zu Q‘, dem Ort, an dem der

Zielpunkt nach der zeitspanne ist.

 Rechtsablenkung P

P‘

P P‘

Q‘ Q

Q Q‘

Q‘‘

Q‘‘

2

Bewegung in einem rotierenden Koordinatensystem

• Eine formale Ableitung liefert für die

Coriolisbeschleunigung , wobei Ω der Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung ist

(=2π/60x60x24 s^-1)

• Offensichtlich (Rechte-Hand-Regel) zeigt diese

Beschleunigung auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach links.

• Insgesamt haben wir dann (v ist hier die Geschwindigkeit in einem Koordinatensystem, das fest auf der Erde verankert ist)

fR

v k

g dt p

v

d      















 1 2



v f_C  







 2

3 0

Bewegung in einem rotierenden Koordinatensystem

fR

v k

g dt p

v

d      















 1 2



komponentenweise

 

z R

y R

x R

f -g

z u p dt

dw

f y v

p dt

dv

f w

x v p dt

du

, , ,

cos

sin

cos

sin





 

 







 

 









 

 



 

 



 

1 2 1 2 1 2

gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung

3

Skalenanalyse (1)

- synoptische Systeme der mittleren Breiten -

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)

-> statische Grundgleichung

• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind)

-> der geostrophische Wind

3 2

Skalenanalyse (2)

- charakteristische synoptische Größen -

• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s

• Vertikalgeschw. W ~ 10^-2 m/s

• Länge L ~ 10⁶ m (1000 km)

• Höhe H ~ 10⁴ m (10 km)

• Luftdruckvariat. P ~ 10³ Pa (10 hPa)

• Zeit L/U = T ~ 10⁵ s (ca. 1 Tag)

• Coriolisparam. f = 2sin~ 10^-4 s^-1

• Luftdichte  ~ 1 kg/m³

• Luftdruck am Boden po ~ 10⁵ Pa (1000 hPa)

3

synoptische Skalenanalyse (3)

– horizontale Bewegungsgleichung -

x

FFr

w x v

p dt

du

) ,

cos sin

(

1  2  



 

  



y

FFr

y u p dt

dv

,

sin

1 2





 

 

 



U/T 1/ p/L fU fW -

10^-4 10^-3 10^-3 10^-6 - m/s²

...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

p p 3 p p 2 p

p 1 p

F F _{P , H}

C , H

v_g

T

H

3 4

synoptische Skalenanalyse (5)

- 3. Bewegungsgleichung -

z

f

u z g

p dt

dw

cos 





 

 

 

 ²

1

W/T 1/ p_o/H g fU -

10^-7 10 10 10^-3 - m/s²

z g

p   





3

4 Zusammenfassung

T R p   _L

 







 v W

dt d

w

w  

 

 

 H

c dt

dp c

dt dT

p p

 1 dt v

d    

 

FFr

g v

dt p v

d      















 1 2



6 prognostische Gleichungen

1 diagnostische Gleichung

für sieben meteorologische Basisvariablen

Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander gekoppelt.

Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für die Zukunft lösen

Wetter und Klimavorhersage ist möglich!