Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?

Clemens Simmer

Meteorologisches Institut

Was sind die

meteorologischen

Grundgleichungen?

2

1. Einleitung

2. die meteorologischen Basisvariablen

3. die meteorologischen Grundgleichungen 4. Skalenanalyse der meteorologischen

Grundgleichungen

Gliederung

Zur Bestimmung der

sieben grundlegenden meteorolog. Variablen:

Wind (3) Luftdruck

Lufttemperatur Luftdichte

Luftfeuchtigkeit ...

...benötigen wir

die sieben meteorologische Grundgleichungen:

Bewegungsgleichung (3) Kontinuitätsgleichungen

1. Hauptsatz der Wärmelehre Wasserdampfbilanzgleichung Zustandsgleichung der Luft.

Sechs der meteorologischen Grundgleichungen sind Differentialgleichungen u.a. der Zeit

-> (Wetter)Vorhersagen sind möglich!

1 Einleitung

4

2 Die meteorologischen

Basisvariablem (und ihre Messung)

1. Windgeschwindigkeit 2. Luftdruck und Dichte 3. Temperatur

4. Feuchte

5. …

• Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und ihre Richtung

• Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik).

z

i 

x (Ost)

y (Nord)

 j

k 

v  h





v 

w

v u

2 2

2

cos

sin sin

cos sin

w v

u v

k w j

v i

u v

v w

v v

v u





















 

 

















Dabei ist λ die Winkelabweichung von der Ostrichtung, und φ die Winkelabweichung von der Vertikalen.

2.1 Windgeschwindigkeit

6

Horizontale Windgeschwindigkeit

vh

36

27 9

18

W O

S N

Für große Skalen (lange Zeitmittelung (mehrere

Minuten) oder Mittelung über viele Kilometer gilt u~v>>w.

2

2 v

u v

j v i

v u v u

h h







 



 



 





 

2.2 Luftdruck und Luftdichte

• Was ist Luftdruck?

• Luftdruckgradient und Bewegungsantrieb (Kraft)

• Luftdruckmessung

8

Was ist Luftdruck?

• (Luft-)Druck ist Kraft/Fläche

• Luftdruck hat keine ausgezeichnete Richtung.

• Luftdruck wird erzeugt durch die Impulsumkehr von Luftmolekülen an einer Wand (Molekularkinetik).

• Luftdruck ist daher

– proportional zur Dichte der Luft (mehr Moleküle→mehr Impulse), und

– proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Luftmoleküle, denn

• Impuls =mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und

• Häufigkeit des Auftreffens auf die Wand ~ v.

• Luftdruck bezeichnet die Flussdichte der Impulse der Luftmoleküle, denn

Druck = Kraft / Fläche = kg x m/s

/ m

= (kg x m/s) / (m

s)

= Impuls / (Fläche x Zeit)

9

Warum erzeugen

Luftdruckgegensätze Bewegung (1)?

t=t _o

t=t _o +Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden.

Ist die Impulsdichte (=Druck) an beiden Enden gleich, so ändert sich der Gesamtimpuls des Volumens nicht. Also keine

Beschleunigung!

1 0

Warum erzeugen

Luftdruckgegensätze Bewegung (2)?

t=t _o

t=t _o +Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) als links durch höhere Temperatur (T~v²).

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links

erfahren. Es wird also nach links beschleunigt!

1

Warum erzeugen

Luftdruckgegensätze Bewegung (3)?

t=t _o

t=t _o +Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle.

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach

links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt.

1 2

2.3 Temperatur

• Was ist Temperatur?

• Temperatur und Wärmeenergie

• Temperaturmessung

1

Was ist Temperatur?

T k m v

2 B

3 2

2 



Die Temperatur hängt mit der mittleren kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der einzelnen Moleküle zusammen:

Konstante -

Boltzmann J/K

10 1.3806

Moleküls

eines or

gkeitsvekt Geschwindi

Moleküls eines

Masse

mit

23





k v m 

Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der Moleküle (also z.B. von der Dichte) ab!

(siehe Ausdehnung ins Vakuum)

1 4

Temperatur und Wärmeenergie

T m c

e E T

mc T

C

E 



;  

Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer: Definition der inneren Energie E) ist proportional zu Temperatur T und zur Wärmekapazität bei kontantem Volumen C

([C

]=J/K)

Die (massen-)spezifische (pro kg!) Wärmekapazität c

eines idealen

Gases hängt nur von der Anzahl der Bewegungsfewegungsfreiheitsgrade f der Moleküle (3 Translationsrichtungen + n Rotationsrichtungen) ab.

Für „trockene“ Luft gilt mit f=5 c

= 717 J/(kg K)

da 2-atomige Moleküle (N

, O

) vorherrschen.

1

2.4 Feuchte

• Feuchtemaße

1 6

Feuchtemaße



-

absolute Feuchte [kg m

]

f -

relative Feuchte [%]

mit e

Sättigungsdampfdruck e -

Partialdruck des Wasserdampfs [hPa]

T

-

Taupunkt [K]

Abkühlung auf Taupunkt führt zur Kondensation q -

spezifische Feuchte [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der feuchten Luft m -

Mischungsverhältnis [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der trockenen Luft

m > q

T

-

Feuchttemperatur [K]

Messgröße beim Psychrometer

e

f  100  e

1

3 die meteorologischen Grundgleichungen

- Primitive Equations -

3.1 Bewegungsgleichung

-> Wind 3.2 Kontinuitätsgleichung

-> Luftdichte

3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre -> Lufttemperatur

3.4 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes -> Luftfeuchte, Wolken 3.5 Zustandsgleichung der Luft

-> Luftdruck

1 8

3.1 Bewegungsgleichung

= Impulserhaltung

2 1

-

2 - 1

-

2 3

m/s ,

g , s ,

m/s g, chleunigun Schwerebes

g s Erde, der

ektor Rotationsv

) s kg/(m Pa

Luftdruck,

kg/m ,

Luftdichte

s

Zeit,

m/s r,

Windvekto

mit

Reibung

g chleunigun Schwerebes

ng schleunigu Coriolisbe

unigung entbeschle

Druckgradi

els Luftpartik eines

gung Beschleuni

81 9 10

292 86164 7

2 2

1 2

5







































 



 

 

 

s rTag

siderische

p t v

F g v dt p

v d

Fr









1

Kräfte

g 

) , ( r t v  

v 

 



 2

F  Fr ^ _ ^{1   p}

 

2 0

3.2 Kontinuitätsgleichung

= Massenerhaltung

Volumen im

Luftstroms des

Divergenz

el Luftpartik bewegenden

sich einem

in rung Dichteände









 v

dt

d 

 

2

3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre

= Energieerhaltung

s)

J/(kg

Reibung

und gänge

Phasenüber Strahlung,

durch Erwärmung

K) J/(kg 1004

Druck, konstantem

bei Wärme

e spezifisch c

K

atur, Lufttemper

mit

zufuhr Strahlungs

externe

und ung

Druckänder

els Luftpartik bewegenden

sich eines

änderung Temperatur

p













H T

c H dt

dp c

dt dT

p p

 1

2 2

3.4 Haushaltsgleichung für Wasserdampf

= Massenerhaltung von Wasserdampf

) s kg/(m

ndlungen, Phasenumwa

durch rdampf

Wasse

von ngsrate

Vernichtu oder

- s Produktion

kg/m

pfes,

Wasserdam des

Dichte

mit

ng Verdunstu und

on Kondensati

Volumen im

ng Luftströmu der

Divergenz

el Luftpartik bewegenden

sich im

erung fdichteänd

Wasserdamp

3 3

















W

W dt v

d

w w w



  ^ _

2

3.5 Zustandsgleichung für Luft

= ideale Gasgleichung

pfes Wasserdam

des te

Gaskonstan

K) J/(kg ,

) kg/(ms Pa

pfes, Wasserdam

des ck

Partialdru

pf Wasserdam für

ng Gasgleichu ideale

pf Wasserdam ohne

Luft der

te Gaskonstan

K) J/(kg ,

mit

,

2 w

52 461

05 287

378 0

1

1









 



 



 





w

w L

L L

R e

T R e

R

T R p T

R e p







2 4

Zusammenfassung

T R p  









 v W

dt d

w

w

 

 



 H

c dt

dp c

dt dT

p p

 1 dt v

d     

 

F

g v

dt p v

d      















 1 2



6 prognostische Gleichungen

1 diagnostische Gleichung für sieben meteorologische Basisvariablen

Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander gekoppelt.

Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für die Zukunft lösen

Wetter und Klimavorhersage ist möglich!

2

4 Skalenkonzept

4.1 Grundthesen

4.2 Skalendiagramm

4.3 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

2 6

4.1 Grundüberlegungen

• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).

• Wir unterscheiden Skalen, mit denen wir messen (Maßstäbe) und Skalen die typisch für meteorologische Phänomene sind

(Größenordnung).

• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische Längen- und Zeitskalen (z.B. Wolken, Hurrikane,

Zyklonen).

• Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a.

die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu.

• Beobachtung: In der Atmosphäre haben bestimmte meteorologische Phänomene (z.B. Tornados, Wolken,

Tiefdruckgebiete) immer nur einen beschränkten Bereich von

Ausdehnungen und Lebensdauern, also Skalenbereiche

2

Skalendiagramm

2 8

4.4 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

• Auftrennung in die drei Komponenten

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)

-> statische Grundgleichung

• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind)

-> der geostrophische Wind

2

Bewegungsgleichung in Komponenten

- Navier-Stokes-Gleichung -

F Fr

v g

dt p v

d      















 1 2



x

F

w x v

p dt

du

)

cos sin

(  



 

 

  

 ²

1

y

F Fr

y u p dt

dv

sin  ,



 

 

 

 ²

1

z

F

u z g

p dt

dw

cos 





 

 

 

 ²

1

3 0

Skalenanalyse – Tiefdruckgebiet

- charakteristische Größen -

• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s

• Vertikalgeschw. W ~ 10

m/s

• Länge L ~ 10

m (1000

km)

• Höhe H ~ 10

m (10 km)

• Luftdruckschwank. P ~ 10

Pa (10 hPa)

• Zeit L/U = T ~ 10

s (ca. 1 Tag)

• Coriolisparam. f = 2sin ~ 10

s

• Luftdichte  ~ 1 kg/m

• Luftdruck am Boden p

~ 10

Pa (1000 hPa)

3

Skalenanalyse Tiefdruckgebiet

- statische Grundgleichung -

z

F Fr

u z g

p dt

dw

cos  ,





 

 

 

 ²

1

W/T 1/ p _o /H g fU -

10 ^-7 10 10 10 ^-3 - m/s ²

z g

p   



 ...Schwerebeschleunigung und

Druckgradientbeschleunigung

heben sich gegenseitig auf!

3 2

Skalenanalyse Tiefdruckgebiet

- geostrophischer Wind -

x

F Fr

w x v

p dt

du

) ,

cos sin

(  



 

 

  

 ²

1

y

F Fr

y u p dt

dv

,

sin 



 

 

 

 ²

1

U/T 1/ p/L fU fW -

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-3 10 ^-6 - m/s ²

...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

y fu p

x fv p



 





 





1

1

3

Geostrophischer Wind

x p v f

y p u f

g g



 



 





 1 1 :

: k p

v  _g  f     _H

 : 1

p

p p

p p

p p











 2 3

v  g ^{F p H    H p}

 

 1

,

g H

C f k v

F   





, 

3 4

Geostrophischer Wind - Beispiel -

m/s 100

 

T

99 0 98 0 10 00

1000 km

m Pa

kg/m

3 1

4

1 10

10 1

10 1

1

1







 



s

y p u _g f



 

 

: 1

3

Geostrophischer Wind

... „weht“ parallel zu Isobaren mit niedrigem Druck links (auf SH rechts), ... ist proportional zur Stärke des Druckgradienten,

... ist eine gute Approximation des wahren Windes in der freien Atmosphäre,

... nimmt zu niedrigen Breiten bei gleichem Druckgradienten zu, ... verliert seine Gültigkeit mit Annäherung an den Äquator, da

Coriolisbeschleunigung dann abnimmt.