Links‐ und Rechts‐Rotation

(1)

Logischer Links‐ und Rechts‐Shift

Links‐ und Rechts‐Shift am Beispiel von 8‐Bit‐Zahlen:

0 1 0 0 1 1 1 1 << 1 = 0 0 1 1 1 1 0 0 << 2 = 0 1 0 0 1 1 1 1 >> 1 = 1 1 1 1 0 0 0 0 >> 2 = Logischer Links‐Shift „b << x“:

Verschiebe Bits in b nach links, um den angegebenen Wert x.

Die neuen leeren Stellen werden mit 0 aufgefüllt.

Logischer Rechts‐Shift „b >> x“:

Verschiebe Bits nach rechts, um den angegeben Wert x.

Die neuen leeren Stellen werden mit 0 aufgefüllt.

(2)

Was bedeutet Shift um i?

Links‐Shift:

Rechts‐Shift:

(3)

Links‐ und Rechts‐Rotation

Links‐ und Rechts‐Rotation am Beispiel von 8‐Bit‐Zahlen:

Links‐Rotation um 2 Stellen:

0 1 0 0 1 1 1 1 -->

Rechts‐Rotation um 2 Stellen:

1 1 1 1 0 0 0 1 -->

Links‐Rotation von b um x Stellen:

Verschiebe Bits in b nach links, um den angegebenen Wert x.

Die leeren Stellen werden mit den herausgeschobenen aufgefüllt.

Rechts‐Rotation von b um x Stellen:

Die leeren Stellen werden mit den herausgeschobenen aufgefüllt.

(4)

Addition, Subtraktion und negative Zahlen

(5)

Addition und Subtraktion von binären Zahlen

Beispiel C = A + B:

(Carry) 1 1 1 0 1 0 (A)

+ 1 0 1 0 1 1 (B) ---

= (C)

Beispiel C = A – B:

1 1 1 0 1 0 (A) - 1 0 1 0 1 1 (B)

(Carry) ---

= (C)

(6)

Darstellung von negativen binären Zahlen

Beobachtung für eine beliebige Binärzahl B, z.B. B=110010:

B

+ NOT(B)

---

= B + NOT(B) 1

+ (Carry)

---

Also gilt:

Bezeichnung: B = Einerkomplement, B+1 = Zweierkomplement

(7)

Quiz

Was ist die Dezimalzahl –7 als Binärzahl B in Zweierkomplement?

Zweierkomplement‐Binärzahl B=...1111011 als Dezimalzahl?

(8)

Subtraktion von binären Zahlen nochmal

Beispiel C = A – B:

1 1 1 0 1 0 (A) - 1 0 1 0 1 1 (B)

Bestimme Zweierkomplement zu B, also –B:

Also ist C:

(Carry) 1 1 1 0 1 0 (A)

+ ... 1 1 0 1 0 1 0 1 (-B) ---

= (C)

(9)

N‐Bit binäre Zahlen (signed)

n‐Bit‐Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär‐Zahl

…0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6

…1111111111111111111111111111111111111111111111111101 = -3

MSB bestimmt das Vorzeichen. MSB=0 bedeutet nicht‐negativ, MSB=1 bedeutet negativ.

Beispiel: 16‐Bit

Beispiel vorzeichenbehaftete 8‐Bit‐Binärzahlen:

0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 = -128 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 = -127 0 0 0 0 0 0 1 0 = 2 1 0 0 0 0 0 1 0 = -126

. .

0 1 1 1 1 1 0 1 = 125 1 1 1 1 1 1 0 1 = -3 0 1 1 1 1 1 1 0 = 126 1 1 1 1 1 1 1 0 = -2 0 1 1 1 1 1 1 1 = 127 1 1 1 1 1 1 1 1 = -1

(10)

Nicht‐vorzeichenbehaftete Zahlen (unsigned)

n‐Bit‐Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär‐Zahl

…0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6

…0000000000000000000000000000000000001111111111111101 = 65533

MSB bestimmt das Vorzeichen nicht. Zahl ist immer nicht‐negativ.

Beispiel: 16‐Bit

Beispiel nicht‐vorzeichenbehaftete 8‐Bit‐Binärzahlen:

0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 = 128 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 = 129 0 0 0 0 0 0 1 0 = 2 1 0 0 0 0 0 1 0 = 130

. .

0 1 1 1 1 1 0 1 = 125 1 1 1 1 1 1 0 1 = 253 0 1 1 1 1 1 1 0 = 126 1 1 1 1 1 1 1 0 = 254 0 1 1 1 1 1 1 1 = 127 1 1 1 1 1 1 1 1 = 255

(11)

Signed‐N‐Bit Binär in Dezimal umrechnen

Beispiel 8‐Bit‐Binärzahl B:

1 1 1 1 1 1 0 1 binär ist dezimal:

Beobachtung für folgende 8‐Bit‐Zahl C (Erinnerung: 10000000 binär ist –128):

1 0 0 0 0 1 0 1

Also für signed n‐Bit‐Binärzahl b = b_n‐1 b_n‐2 ... b₀ gilt:

Beobachtung für folgende 8‐Bit‐Zahl C (Erinnerung: 10000000 binär ist –128):

1 0 0 0 0 1 0 1

Also für signed n‐Bit‐Binärzahl b = b_n‐1 b_n‐2 ... b₀ gilt:

(12)

Sign‐Extension

Gegeben 6 und –3 in 16‐Bit‐Darstellung.

Wie sieht die 32‐Bit‐Binärdarstellung aus?

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 6 in 16‐Bit‐Binärdarstellung

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 –3 in 16‐Bit‐Binärdarstellung

6 in 32‐Bit‐Binärdarstellung?

–3 in 32‐Bit‐Binärdarstellung?

Erinnerung: n‐Bit‐Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär‐Zahl

…0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6

…1111111111111111111111111111111111111111111111111101 = -3

(13)

Arithmetischer Rechts‐Shift

Arithmetischer Rechts‐Shift am Beispiel von 8‐Bit‐Zahlen:

Arithmetischer Rechts‐Shift um 2 Stellen:

0 1 0 0 1 1 1 1 -->

Arithmetischer Rechts‐Shift um 2 Stellen:

1 1 1 1 0 0 0 1 -->

Arithmetischer Rechts‐Shift von b um x Stellen:

Die neuen leeren Stellen werden mit dem Sign‐Bit aufgefüllt.

(14)

Overflow

Einschränkung auf n‐Bit kann einen Overflow bei Addition erzeugen:

(Carry) (A)

+ (B) ---

= (C) 0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 1

Addition von negativer und nicht‐negativer Zahl. Overflow möglich?

Overflow erfordert, dass mindestens gilt:

Also Overflow in diesem Fall nicht möglich.

(15)

Overflow

Subtraktion von zwei negativen Zahlen x und y. Overflow möglich?

Der Fall „zwei nicht‐negativen Zahlen“ ist analog.

Also: Overflow in diesem Fall nicht möglich.

Zusammenfassung: Wann kann ein Overflow eintreten?

Operation Operand A Operand B Ergebnis welches Overflow anzeigt

A+B ≥ 0 ≥ 0 < 0

A+B < 0 < 0 ≥ 0

A–B ≥ 0 < 0 < 0

A–B < 0 ≥ 0 ≥ 0

(16)

Randbemerkung

Andere Darstellungsformen für negative Binärzahlen:

• Einerkomplement: Negativer Wert von B ist NOT(B)

• Sign‐and‐Magnitude: MSB ist das Vorzeichen. Rest ist der Wert.

• Biased‐Notation (Beispielsweise mit 0 auf 1000...0000):

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 = kleinster negativer Wert 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 = kleinster negativer Wert + 1

...

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 = ‐1 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 = 0 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 = 1

...

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 = größter positiver Wert ‐1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 = größter positiver Wert

(17)

Logische Bausteine

(18)

Logische Bausteine

Kombinatorische Schaltungen

(19)

Gatter

Funktion Eingabe Symbol Ausgabe

AND

OR

NOT

Und‐Gatter

Oder‐Gatter

Inverter

Verallgemeinerung auf n Eingänge

Und‐Gatter mit n Eingängen A AND B

B

A B

A A

A OR B

NOT A

A₁ A₂

A_n

A₁ A₂

A_n

A₁ AND A₂... AND A_n

A₁ OR A₂... OR A_n

Oder‐Gatter mit n Eingängen

(20)

Kombinatorische Schaltungen

Jede boolesche Funktion (gegeben als logischer Ausdruck) wie z.B.

f(A,B) = NOT( NOT(A) OR B)

Lässt sich als kombinatorische Schaltung realisieren. Das Beispiel:

Inverter werden häufig abgekürzt dargestellt. Das Beispiel:

(21)

Wahrheitstabellen

Jede boolesche Funktion lässt mit einer Wahrheitstabelle darstellen.

Beispiel: f(A,B,C) = A AND NOT(B OR C) als Wahrheitstabelle

A B C B OR C NOT(B OR C) f(A,B,C)=A AND NOT(B OR C) 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1