QUANTENTHEORIE II

QUANTENTHEORIE II

Skriptum zur Vorlesung von

Professor Karsten Held

Institut für Festkörperphysik

Technische Universität Wien

Vorwort der Autoren

Wir haben dieses Skriptum im Rahmen einer Projektarbeit erstellt. Der Inhalt umfasst den von Professor Held im Sommersemester 2009 vorgetragenen Sto aus der Vorlesung Quantentheorie II.

Unser Ziel war es euch die Vorbereitung auf die Prüfung durch eine möglichst ausführliche Beschreibung der einzelnen Herleitungen zu erleichtern. Zusätzlich haben wir auf Anregung von Professor Held die Ziele der einzelnen Kapitel, Ender- gebnisse, sowie wichtige Bemerkungen farblich hervorgehoben. Auÿerdem wurden bei manchen Ableitungen Farben verwendet um Zusammmenhänge hervorzuhe- ben und euch so beim Nachrechnen Zeit zu ersparen.

In diesem Sinn wünschen wir euch viel Erfolg bei der Prüfung und im weite- ren Studium.

Laura Leber, Stefan Danner, Adrian Girschik

Vorwort des Vortragenden

Zunächst einmal möchte ich mich ganz herzlich bei Frau Leber, Herrn Danner und Herrn Girschik für das Verfassen des Skriptums bedanken. Sie haben Ih- ren Kolleginnen und Kollegen hiermit einen groÿen Dienst erwiesen, den Sto der Quantentheorie II Vorlesungen besser zu begreifen und die Vorlesung nach- zuarbeiten. Den Vorlesungsbesuch ersetzen kann und will das Skriptum nicht.

Auch danken möchte ich Herrn Wissgott, der derzeit seine Diplomarbeit über Thermoelektrika anfertigt und das Titelbild zur Verfügung gestellt hat.

Von den Axiomen bis zur 2. Quantisierung und den Feynmanschen Pfadinte- gralen werden in der Vorlesung viele spannende (und in der Forschung wichtige) Konzepte und Ideen der Quantentheorie vorgestellt. Um den Stoumfang nicht ausufern zu lassen, habe ich andererseits versucht, mich auf das wesentliche zu beschränken, und einige wichtigere (aber sich wiederholende) Anwendungsbei- spiele werden in den Übungen durchgerechnet.

In diesem Sinne hoe ich, dass Vorlesung und Skriptum Ihnen helfen, die Quantentheorie in Ihrer ganzen Breite zu verstehen und die Prüfung erfolgreich abzuschlieÿen.

Wien, im Juli 2009 Karsten Held

P.S.: Da dies die 1. Version des Skriptums ist, haben sich sicherlich noch einige Fehler und Typos eingeschlichen (bitte an held@ifp.tuwien.ac.at).

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellungstheorie der Quantenmechanik 5

1.1 Dirac-Notation . . . 6

1.1.1 Impulsdarstellung der Schrödingergleichung . . . 10

1.2 Heisenbergsche Matrizenmechanik . . . 12

1.3 Bilder der Zeitentwicklung . . . 14

1.3.1 Das Schrödingerbild . . . 14

1.3.2 Das Heisenbergbild . . . 16

1.3.3 Das Wechselwirkungsbild . . . 20

2 Störungstheorie und Variationsverfahren 23 2.1 Zeitunabhängige Störungstheorie . . . 23

2.2 Entartete Störungstheorie . . . 28

2.3 Anwendungsbeispiele der Störungstheorie . . . 29

2.3.1 Stark-Eekt . . . 29

2.3.2 Relativistische Korrekturen . . . 36

2.4 Ritzsches Variationsprinzip . . . 42

2.5 Zeitabhängige Störungstheorie . . . 44

2.5.1 Fermis goldene Regel . . . 45

2.5.2 Sudden Approximation und adiabatische Näherung . . . 50

3 Messprozess, Dichteoperator und Axiome 53 3.1 Messprozess für einen reinen Zustand . . . 53

3.2 Messprozess für einen gemischten Zustand, Dichteoperator . . . . 57

3.2.1 Eigenschaften des Dichteoperators . . . 62

3.2.2 Zeitentwicklung des Dichteoperators . . . 64

3.3 Axiome der Quantenmechanik . . . 65

4 Streutheorie 67 4.1 Asymptotik, dierentieller Wirkungsquerschnitt . . . 67

4.2 Lippmann-Schwinger-Gleichung . . . 72

4.3 Bornsche Näherung . . . 76

4.4 Partialwellenentwicklung und Streuphase . . . 84

5 Relativistische Quantenmechanik 97 5.1 Lorentz-Transformation, Minkowski-Metrik und Viererschreibweise 97 5.2 Quantisierung der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung . . . 99

5.2.1 Widersprüche . . . 100

5.2.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . 101

5.2.3 Dirac-Gleichung . . . 102

5.3 Lösung der Dirac-Gleichung für ein ruhendes Elektron . . . 105

5.4 Dirac-Fermi-See . . . 107

5.5 Lorentz-invariante Form der Dirac-Gleichung . . . 108

5.6 Nicht-relativistischer Grenzfall: Pauli-Gleichung . . . 110

5.7 Physik Nobelpreis 2010: Graphen . . . 114

6 Symmetrien 120 6.1 Diskrete Symmetrien der Dirac-Gleichung . . . 121

6.1.1 Parität P . . . 122

6.1.2 Zeitumkehr T . . . 124

6.1.3 Ladungskonjugation C . . . 125

6.2 Kontinuierliche Symmetrien . . . 126

6.2.1 Zeit- und Raumtranslationen . . . 126

6.2.2 Galilei- bzw. Lorentz-Transformation . . . 126

6.2.3 Rotationen . . . 127

6.2.4 Lorentz-Invarianz . . . 131

6.3 Eichinvarianz . . . 132

6.3.1 Aharonov-Bohm-Eekt . . . 133

7 Vielteilchensysteme - Quantentheorie identischer Teilchen 135 7.1 Bosonen und Fermionen . . . 136

7.2 Hartree- und Hartree-Fock-Approximation . . . 141

7.3 Besetzungszahlformalismus und zweite Quantisierung . . . 148

7.3.1 Besetzungszahlformalismus . . . 148

7.3.2 Zweite Quantisierung . . . 150

7.3.3 Anwendungsbeispiel: H₂-Molekül . . . 163

8 Feynmansche Pfadintegrale 173 8.1 Motivation . . . 174

8.2 Übergang zur klassischen Mechanik . . . 177

8.3 Tatsächliche Berechnung des Pfadintegrals . . . 179

8.4 Äquivalenz von Pfadintegralmethode und Schrödinger-Glg. . . 182

8.5 Anwendungsbeispiel: Aharonov-Bohm-Eekt . . . 185

Kapitel 1

Darstellungstheorie der Quantenmechanik

Der quantenmechanische Formalismus beruht im Wesentlichen auf den Arbeiten dreier Physiker. So konnte der Deutsche Werner Heisenberg in Zusammenarbeit mit Born und Jordan 1928 als erster quantenmechanische Phänomene in Form der Heisenberschen Matrizenmechanik beschreiben. Heisenberg wurde 1932 hier- für mit dem Nobelpreis ausgezeichnet. Erwin Schrödinger formulierte 1928 eine nichtrelativistische Wellengleichung zur Beschreibung quantenmechanischer Sys- teme, nachdem er zuerst an der Interpretation der negativen Energieeigenwer- te eines relativistischen Ansatzes gescheitert war. Da die Physiker damals sehr

Abbildung 1.1: Werner Heisenberg (1901-1976), Erwin Schrödinger (1887-1961) und Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)

vertraut im Umgang mit Dierentialgleichungen waren, erwies sich Schrödingers Wellenmechanik als groÿer Erfolg unter den Wissenschaftlern. Schrödinger erhielt 1933 zusammen mit Dirac, der 1928 eine relativistische Gleichung der Quanten-

mechanik aufstellte, den Nobelpreis.

In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Darstellung der Schrödingergleichung in verschiedenen Basissystemen beschäftigen. Weiters wollen wir den Transfer der Zeitabhängigkeit von der Wellenfunktion zum Operator besprechen. Dabei werden wir die verschiedenen Bilder (Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwir- kungsbild), sowie die Heisenbergsche Bewegungsgleichung kennen lernen.

1.1 Dirac-Notation

Unser Ziel ist eine basisunabhängige Notation der Schrödingergleichung. Aus- gangspunkt unserer Überlegungen ist die zeitabhängige Schrödingergleichung:

i~

∂

∂tψ(~r, t) =H(~r)ψ(~r, t) =

− ~²

2m∆+V(~r)

ψ(~r, t). (1.1) Betrachten wir diese Gleichung genauer, so stellen wir uns die Frage, warum in der Schrödingergleichung, im Gegensatz zur analytischen Mechanik, nur ~r und nicht p~auftritt:

H(~r,~p)→H(~r),

~ p→ ~

i

∇~ .

Grund dafür ist, dass die Wellenfunktion ψ(t) ein Vektor in einem linearen Vek- torraum, dem Hilbertraum H, ist:

ψ(t)∈ H;

ψ(~r, t) und H(~r) sind dagegen lediglich die Darstellungen dieses Vektors in der Ortsraum-Basis. Dies lässt sich mit einem Vektor ~v ∈ R³ vergleichen, dessen Komponenten sich je nach gewählter Basis unterscheiden.

Basis 1:~v = Σ_iv_ie~_i Basis 2:~v = Σ_iv⁰_ie~⁰_i

Man erhält die Komponenten des Vektors durch die Bildung des Skalarproduktes:

v_i =e~_i^T~v = (e~_i, ~v) = Σ_j(~e_i, ~e_j)

| {z }

δi,j

(e~_j, ~v).

ψ(~r, t) entspricht also den Komponenten v_i für einen xen Zeitpunkt t. In der Dirac Notation entspricht |ψ(t)i (sprich ket ψ(t)) dem Vektor ~v. Das Skalar- produkt wird durch Anwenden von h~r|(sprich bra ~r) gebildet:

h~r||ψ(t)i= Z

d³r⁰ h~r|~r⁰ihr~⁰|ψ(t)i=ψ(~r, t).

Die Bezeichnungen bra und ket kommen vom englischen Ausdruck für Klammer (=bracket).

Darstellung des Impulsoperators im Ortsraum

Wir gehen von der Eigenwertgleichung für die Eigenfunktion |ψ_~ki ≡ |~ki des Impulsoperators p~in der Dirac Notation aus:

~p|ψ~ki=~~k|ψ~ki. (1.2) Beachte: ~p auf der linken Seite ist ein Operator, genauer gesagt drei Opera- toren: p_x, p_y und p_z. ~~k auf der rechten Seite sind dagegen drei Zahlen, die Eigenwerte ~k_x, ~k_y und ~k_z.

Wir multiplizieren diese Eigenwertgleichung nun von links mit dem bra-Vektor h~r| um die Gleichung in die Ortsdarstellung zu bringen:

h~r|~p|ψ_~ki=~~kh~r|ψ_~ki

| {z }

ψ~k(~r,t)

.

Im nächsten Schritt schieben wir eine vollständige Eins 1=R

d³r⁰|r~⁰ih~r⁰|ein:

h~r|~p|ψ~ki= Z

d³r⁰h~r|~p|~r⁰i hr~⁰|ψ~ki

| {z }

ψ~k(r~⁰,t)

. (1.3)

Nun betrachten wir im Integral über r~⁰ das Matrixelement h~r|~p|r~⁰i genauer und schieben dazu zwei vollständige Einsen in k und k⁰ ein:

h~r|~p|~r⁰i= Z

d³k Z

d³k⁰h~r|~kih~k|~p|k~⁰ihk~⁰|r~⁰i.

Im nächsten Schritt verwenden wir folgende Denitionen aus der Vorlesung Quan- tentheorie 1:

h~r|~ki= 1

√2π³

e^i~k~r hk~⁰|~r⁰i= 1

√2π³

e^{−i ~k0r~0}.

Auÿerdem kennen wir das Matrixelement h~k|~p|k~⁰i:

h~k|~p|k~⁰i=~k~⁰h~k|k~⁰i=~k~⁰ δ(~k−k~⁰).

Setzen wir diese Terme in das Integral ein, so erhalten wir:

Z d³k

Z

d³k⁰h~r|~kih~k|~p|k~⁰ihk~⁰|~r⁰i

= Z

d³k Z

d³k⁰ 1

(2π)³e^i~k~re^{−i ~k0r~0}~k~⁰δ(~k−k~⁰)

= Z

d³k~~k e^{i~k(~r−r~0)} (2π)³ .

Der letzte Ausdruck kann auch durch Anwendung des Gradienten und anschlie- ÿender Multiplikation mit ^~_i erhalten werden:

Z

d³k~~k e^{i~k(~r−r~0)} (2π)³ =

Z

d³k ~

i ∇~ e^{i~k(~r−r~0)} (2π)³ = ~

i ∇~ Z

d³ke^{i~k(~r−r~0)} (2π)³

| {z }

δ(~r−r~⁰)

.

Hierbei und im Folgenden bezeichnet∇~ den Gradienten bzgl.~r. Deshalb können wir das betrachtete Matrixelement h~r|~p|r~⁰ischreiben als:

h~r|~p|~r⁰i= ~ i

∇~ δ(~r−~r⁰).

Jetzt setzen wir dieses Matrixelement wieder in die ursprüngliche Gleichung (1.3) ein und erhalten durch Auswertung der δ-Funktion:

h~r|~p|ψ_~ki= Z

d³r⁰h~r|~p|~r⁰iψ_~k(r~⁰, t)

= Z

d³r⁰ ~ i

∇~ δ(~r−r~⁰)ψ_~k(~r⁰, t) = ~ i

∇~ ψ_~k(~r, t).

Wir können die Eigenwertgleichung für den Impulsoperator in Ortsdarstellung also angeben als:

~

i ∇~ ψ_~k(~r) = ~~k ψ_~k(~r). (1.4)

Abstrakte, basisunabhängige Darstellung der Schrödin- gergleichung

Aus unseren Überlegungen bezüglich der Eigenwertgleichung für den Impulsope- rator haben wir gesehen, dass man die Gleichung im Ortsraum durch eine ent- sprechende Projektion (Multiplikation mith~r|von links) einer basisunabhängigen

Ähnlich stellen wir jetzt eine abstrakte, basisunabhängige Schrödingergleichung in der Dirac-Notation auf:

i~ ∂

∂t|ψ(t)i=H|ψ(t)i. (1.5)

Darstellung der Schrödingergleichung im Ortsraum

Wir schreiben nun die abstrakte, basisunabhängige Schrödingergleichung (1.5) in denOrtsraumum. Dazu gehen wir von der Gleichung (1.5) aus und projizieren sie in den Ortsraum indem wir diese von links mit h~r| multiplizieren. Auÿerdem schieben wir eine vollständige Eins inr⁰ ein. Dah~r|nicht zeitabhängig ist, können wir schreiben:

h~r|i~∂

∂t|ψ(t)i=i~∂

∂th~r|ψ(t)i

| {z }

ψ(~r,t)

= Z

d³r⁰h~r|H|r⁰ihr~⁰|ψ(t)i. (1.6)

Im nächsten Schritt setzen wir für den HamiltonoperatorH = _2m^~p2 +V(~r)ein und verwenden, dass der Impulsoperator in Ortsdarstellung durchh~r|~p|r~⁰i= ^~_i∇δ(~~ r− r~⁰) gegeben ist:

(1.6) = Z

d³r⁰h~r|~p²

2m +V(~r)|r⁰iψ(r~⁰, t)

= Z

d³r⁰ h~r|~p²

2m|~r⁰i

| {z }

−_2m^~2∆δ(~r−r~⁰)

+h~r|V(~r)|~r⁰i

| {z }

V(~r)δ(~r−r~⁰)

ψ(~r⁰, t). (1.7)

Beachte: Während der Potentialoperator V(~r) des Hamiltonoperators H =

~ p²

2m +V(~r) vom Ortsoperator ~r abhängig ist, ist V(~r) nach Anwendung des bra-Vektors h~r| und des ket-Vektors |r~⁰i auf den Potentialoperator V(~r)ein Erwartungswert (also eine Zahl), die vom Vektor ~r im Ortsraum abhängig ist.

(1.7) = Z

d³r⁰

− ~²

2m∆ +V(r~⁰)

δ(~r−r~⁰)ψ(~r⁰, t) =

− ~²

2m∆ +V(~r)

ψ(~r, t). Auf diesem Weg haben wir die bekannte Form der Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung erhalten:

i~∂

∂tψ(~r, t) =

−~²

2m∆ +V(~r)

ψ(~r, t). (1.8)

1.1.1 Impulsdarstellung der Schrödingergleichung

Als nächstes wollen wir die basisunabhängige Schrödingergleichung (1.5) in den Impulsraum umschreiben. Zur Projektion auf den Impulsraum multiplizieren wir die basisunabhängige Schrödingergleichung mit h~k|. Zusätzlich schieben wir auf der rechten Seite der Gleichung eine vollständige Eins in k~⁰ ein. Analog zur Ab- leitung der Schrödingergleichung im Ortsraum dürfen wir die Zeitableitung und h~k| vertauschen, da h~k| nicht zeitabhängig ist. Es ergibt sich somit:

i~∂

∂th~k|ψ(t)i

| {z }

ψ(~k,t)

= Z

d³k⁰h~k|H|k~⁰ihk~⁰|ψ(t)i

= Z

d³k⁰h~k|~p²

2m +V(~r)|k~⁰ihk~⁰|ψ(t)i.

Im nächsten Schritt wollen wir nun das Matrixelement h~k|_2m^~p2 +V(~r)|k~⁰iberech- nen:

h~k|~p²

2m +V(~r)|k~⁰i=h~k|~p²

2m|k~⁰i+h~k|V(~r)|k~⁰i.

Wir verwenden die Eigenwertgleichung p|~k~⁰i=~k~⁰|k~⁰i und erhalten für das Ele- ment h~k|_2m^~p2|k~⁰i sofort:

h~k|~p²

2m|k~⁰i= (~k~⁰)²

2m δ(~k−k~⁰).

Ein wenig aufwendiger ist die Berechnung des Matrixelements h~k|V(~r)|k~⁰i. Dazu schieben wir zwei vollständige Einsen in~r und ~r⁰ ein:

h~k|V(~r)|k~⁰i= Z

d³r Z

d³r⁰h~k|~rih~r|V(~r)|~r⁰ihr~⁰|k~⁰i. (1.9) Wir verwenden die Identitäten h~k|~ri= ^e√−i~k~r

2π³, h~r⁰|k~⁰i = ^{ei ~r}

0k~0

√2π³ und h~r|V(~r)|~r⁰i= V(~r)δ(~r−r~⁰). Damit erhalten wir folgenden Ausdruck:

(1.9) = Z

d³r Z

d³r⁰ 1

(2π)³ e^−i~k~re^i~r0k~0V(~r)δ(~r−~r⁰)

= 1

(2π)³ Z

d³r V(~r)e^{−i(~k−k~0)~r} = ˜V(~k−k~⁰).

Beachte: V˜(~k−k~⁰) stellt die Fouriertransformierte des Potentials in Ortsdar- stellung V(~r) dar:

V˜(~k−k~⁰) = 1 Z

d³r V(~r)e^{−i(~k−k~0)~r} . (1.10)

Das Matrixelement h~k|_2m^~p2 +V(~r)|k~⁰i ergibt sich also zu:

h~k|~p²

2m +V(~r)|k~⁰i= (~k~⁰)²

2m δ(~k−k~⁰) + ˜V(~k−k~⁰). Damit können wir die Schrödingergleichung im Impulsraum anschreiben:

i~∂

∂tψ(~k, t) =Z d³k⁰

"

(~k~⁰)²

2m δ(~k−k~⁰) + ˜V(~k−k~⁰)

#

ψ(k~⁰, t).

Dieser Ausdruck, lässt sich durch Anwendung der Delta-Funktion noch vereinfa- chen und wir erhalten die Schrödingergleichung im Impulsraum:

i~∂

∂tψ(~k, t) = (~~k)²

2m ψ(~k, t) +Z

d³k⁰V˜(~k−k~⁰)ψ(k~⁰, t). (1.11) Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung. Das heiÿt die Integralgleichung ist linear in ψ(~k, t) und besitzt konstante Integrationsgrenzen [−∞..∞].

Die Schrödingergleichung im Impulsraum (1.11) kann auch auf folgende Form gebracht werden:

i~

∂

∂tψ(~k, t) = (~~k)²

2m ψ(~k, t) + V(−1 i

∇~~k)ψ(~k, t). (1.12) Dies wird in den Übungen aus Quantentheorie 2 bewiesen.

Die Schrödingergleichung ist in der Impulsdarstellung im Allgemeinen kompli- zierter, da V(~r) in der Regel verschiedene Potenzen von~r enthält.

Die Impulsdarstellung führt in der Festkörperphysik zu einer vereinfachten Dar- stellung, da man es in diesem Fall mit periodischen PotentialenV(~r) = V(~r+R)~ zu tun hat.

Beispiel: Harmonischer Oszillator in einer Dimension

Der harmonische Oszillator stellt einen Spezialfall dar, der sowohl in der Orts- als auch in der Impulsdarstellung zu einer gleichwertigen Rechnung führt.

Die aus der klassischen Mechanik bekannte Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators lautet:

H(x, p) = p² 2m +1

2mω²x² .

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung für den harmonischen Oszillator ergibt sich im Impulsraum also zu:

Eψ(~k) =

p² 2m + 1

2mω²x²

ψ(~k)

Imp.Darst.

=

"

p²

2m − ~²mω² 2

∂

∂p 2#

ψ(~k).

Dabei wird xin der Impulsdarstellung eingesetzt x→ −^~_i∂p^∂. Zusammenfassung

h~k|~ri= 1

p(2π)³e^−i~k~r h~r|~ki= 1

p(2π)³e^i~k~r

Ortsdarstellung Impulsdarstellung Orthogonalität h~r|~r⁰i=δ(~r−~r⁰) h~k|k~⁰i=δ(~k−k~⁰) Vollständigkeit R

d³r |~rih~r|=1 R

d³k |~kih~k|=1 Ortsoperator ~r h~r|~r|r~⁰i=~rδ(~r−~r⁰) h~k|~r|k~⁰i=i ~∇_~kδ(~k−k~⁰) Impulsoperator ~p h~r|~p|r~⁰i= ^~_i∇δ(~~ r−r~⁰) h~k|~p|k~⁰i=~~kδ(~k−k~⁰)

Schrödingerglg. i~_∂t^∂h~r|ψ(t)i= i~_∂t^∂h~k|ψ(t)i=R d³k⁰ _−~²

2m∇~² +V(~r)

h~r|ψ(t)i _~²_k^~02_δ(^~_k−k~⁰)

2m + ˜V(~k−k~⁰)

hk~⁰|ψ(t)i

Wellenfunktion ψ(~r, t) =h~r|ψ(t)i ψ(~k, t) =h~k|ψ(t)i

1.2 Heisenbergsche Matrizenmechanik

Wir bilden nun die basisunabhängige Schrödingergleichung (1.5) auf ein diskre- tes vollständiges Orthonormalsystem (VONS) {|φni}n∈N ab. Weiters wollen wir uns damit beschäftigen, wie die Transformation zwischen verschiedenen VONS abläuft. Ein derartiges vollständiges Orthonormalsystem erhält man durch die Bestimmung der Eigenbasis zu einem Operator A. Es gilt:

A|φ_ni=a_n|φ_ni. (1.13)

Um die Projektion durchzuführen, multiplizieren wir die basisunabhängige Schrö- dingergleichung (1.5) von links mit einem Vektor hφ |. Weiters schieben wir auf

der rechten Seite eine vollständige Eins in φ_m, 1 = P

m|φ_mihφ_m|, ein. Dabei ist zu beachten, dass |φ_ni und |φ_mi unterschiedliche Zustände der selben Basis sind.

i~∂

∂t hφ_n|ψ(t)i

| {z }

≡ψ(n,t)=ψn(t)

=X

m

hφ_n|H|φ_mi

| {z }

Hnm

hφ_m|ψ(t)i

| {z }

≡ψ(m,t)

. (1.14)

Wir erhalten somit die Heisenbergsche Matrizendarstellung der Schrödingerglei- chung:

i~∂

∂tψ(n, t) = X

m

H_nmψ(m, t). (1.15)

Nun wollen wir zeigen, dass eine Basistransformation U, zwischen zwei vollstän- digen Orthonormalsystemen unitär ist:

U U^† =U^†U =1. (1.16)

Sei {|φ˜_n⁰i}_n⁰∈N ein anderes vollständiges Orthonormalsystem. Dann gilt:

i~∂

∂thφ˜_n⁰|ψ(t)i=X

m⁰

hφ˜_n⁰|H|φ˜_m⁰ihφ˜_m⁰|ψi=X

m⁰

H˜_n⁰_m⁰hφ˜_m⁰|ψ(t)i. In der Folge wollen wir das Matrixelement hφ˜_n⁰|H|φ˜_m⁰i = ˜H_n⁰_m⁰ betrachten.

Dazu schieben wir zwei vollständige Einsen der alten Basis ein:

H˜_n⁰_m⁰ =X

n

X

m

hφ˜_n⁰|φ_ni

| {z }

U_n0n

hφ_n|H|φ_mi

| {z }

Hnm

hφ_m|φ˜_m⁰i

| {z }

U_mm0

. (1.17)

Wir führen U_mm⁰ als

U_mm⁰ ≡ hφ_m|φ˜_m⁰i= Z

d³rhφ_m|~ri

| {z }

φ^∗_m(~r)

h~r|φ˜_m⁰i

| {z }

φ˜_m0(~r)

ein. Weiters gilt:

hφ˜_n⁰|φ_ni= (hφ_n|φ˜_n⁰i)^∗ ≡(U_nn⁰)^∗ = (U)^†_n0n .

Nun können wir zeigen, dass der OperatorU der Basistransformation einunitärer Operator ist:

U U^†

nm =X

n⁰

U_nn⁰U_n^†0m =X

n⁰

hφ_n|φ˜_n⁰ihφ˜_n⁰|φ_mi=hφ_n|φ_mi=δ_nm .

Beachte:Statt einem diskrekten vollständigen Orthonormalsystem ist auch ein kontinuierliches vollständiges Orthonormalsystem möglich:

n↔~r X

n

↔ Z

d³r .

Man kann H˜ vereinfacht auch als Matrixgleichungangeben:

H˜ =U^†HU . (1.18)

Hat man es mit einem zeitunabhängigen Problem zu tun, so ergibt sich die Schrödingergleichung zu:

X

m

δ_nmEΨ_m =X

m

H_nmΨ_m, bzw. in der Matrixschreibweise:

(H−E·1) Ψ = 0.

Man erhält also die Eigenwerte der Schrödingergleichung durch das Lösen von:

det(H−E·1) = 0.

1.3 Bilder der Zeitentwicklung

In diesem Abschnitt werden wir die verschiedenen Bilder der Zeitentwicklung besprechen. Man unterscheidet zwischen dem Schrödinger-, dem Heisenberg- und demWechselwirkungsbild. Im Schrödingerbild steckt die Zeitabhängigkeit in den Zuständen und die Operatoren sind zeitunabhängig. Im Heisenbergbild ist es genau umgekehrt. Beim Wechselwirkungsbild sind sowohl die Zustände als auch die Operatoren zeitabhängig.

1.3.1 Das Schrödingerbild

Im Schrödingerbild erhält man den Zustand |ψ(t)i zum Zeitpunkt t indem man den Zustand |ψ(t = 0)izum Zeitpunkt t= 0 mit Hilfe des Zeitentwicklungsope- rators U(t) entwickelt:

|ψ(t)i=U(t)|ψ(t= 0)i. (1.19)

ψ(t= 0) ψ(t)

Re(ψ) Im(ψ)

e^−~iHt

Abbildung 1.2: Teilchenzahlerhaltung bei der Zeitentwicklung.

Den Zeitentwicklungsoperator U(t) erhält man indem man Gleichung (1.19) in die basisunabhängige Schrödingergleichung (1.5) einsetzt:

i~∂

∂tU(t)|ψ(t = 0)i=H U(t)|ψ(t= 0)i. Diese Gleichung muss für alle |ψ(t= 0)igelten. Daher gilt:

i~∂

∂tU(t) = H U(t).

Aus dieser Dierentialgleichung ergibt sich der Zeitentwicklungsoperator U(t) zu:

U(t) =e^−~iHt . (1.20) Der Zeitentwicklungsoperator U(t) muss unitär sein, da die Aufenthaltswahr- scheinlichkeit1 = R

d³r ψ^∗(~r, t)ψ(~r, t)für alle Zeiten erhalten bleibt (siehe Abb.

1.2).

Beweis:

U^†U =e^~iH†te^−~iHt =1, wegen H =H^†, da der Hamiltonoperator hermitesch ist.

Beachte: Die Exponentialfunktion eines Operators können wir als Taylorreihe denieren:

U(t) = e^−~iHt =X

n

1 n!(−i

~Ht)ⁿ.

1.3.2 Das Heisenbergbild

Im Heisenbergbild sind die Zustände |ψ_Hi zeitunabhängig und stimmen mit

|ψ(t = 0)i im Schrödingerbild überein:

|ψH(t)i≡U⁻¹(t)|ψ(t)i=U^†U|ψ(t = 0)i=|ψ(0)i≡|ψHi. (1.21) Wir erhalten die zeitabhängigen Operatoren A_H(t) des Heisenbergbildes über die Forderung, dass die Erwartungswerte in beiden Bildern gleich sein müssen (physikalische Messergebnisse hängen nicht von der Wahl der Darstellung ab):

hψ(t)|A|ψ(t)i=hψ_H|A_H(t)|ψ_Hi. (1.22) Wir schieben jetzt auf der linken Seite von Gleichung (1.22) zwei vollständige Einsen 1=U U^† ein:

hψ(t)|U

| {z }

hψ_H|

U^†AU

| {z }

AH(t)

U^†|ψ(t)i

| {z }

|ψ_Hi

=hψ_H|A_H(t)|ψ_Hi.

Damit ergibt sich für den Operator im Heisenbergbild:

A_H(t)=U^†(t)AU(t) = e^~iHtAe^−~iHt . (1.23) Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung

Zur Ableitung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung bilden wir die totale Zeitableitung von A_H(t), wobei wir Gleichung (1.23) für A_H(t) einsetzen und beachten, dass [H, U] = 0 gilt:

d

dtAH(t)= d dt

U^†(t)A U(t)

= d dt

h

e^~iHtA e^−~iHt i

= ∂

∂te^~iHt

A e^−~iHt+e^~iHt ∂

∂tA

e^−~iHt

| {z }

≡_∂t^∂AH(t)

+e^~iHtA ∂

∂te^−~iHt

= i

~

H e^~iHtA e^−~iHt

| {z }

AH(t)

+∂

∂tA_H(t)− i

~

e^~iHtA e^−~iHt

| {z }

AH(t)

H

= 1

i~[AH(t)H−HAH(t)]

| {z }

[AH(t),H]

+∂

∂tAH(t)

= 1

[A_H(t), H] + ∂

A_H(t).

Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit i~und erhalten die allgemeine Form der Heisenbergschen Bewegungsgleichung:

i~d

dtA_H(t)=

A_H(t), H

+i~∂

∂tA_H(t). (1.24) Der letzte Term tritt nur dann auf, wenn der OperatorAim Schrödingerbild zeit- abhängig ist. Da wir uns aber meist mit Problemen mit einem zeitunabhängigen Operator beschäftigen, vereinfacht sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung in der Regel zu:

i~d

dtA_H(t)=

A_H(t), H

. (1.25)

Energieerhaltung

Wir betrachten nun einen im Schrödingerbild zeitunabhängigen Hamiltonoperator und erhalten mit Gleichung (1.23):

H_H(t)=e^~iHtH e^{−~iHt [H,U]=0}= e^~iHte^−~iHt

| {z }

1

H =H .

Der Hamiltonoperator im Heisenbergbild ist in diesem Fall ebenfalls zeitunabhän- gig und gleich dem Hamiltonoperator im Schrödingerbild. Der Erwartungswert der Energie ist also zeitlich konstant:

E =hH_H(t)i=hψ_H|H_H(t)|ψ_Hi=hψ_H|H|ψ_Hi=const.. Erhaltungsgröÿen

Allgemein ergibt sich aus der Heisenbergschen Bewegungsgleichung (1.25), dass der Erwartungswert vonA_H(t)immer dann eine Erhaltungsgröÿe ist, wennA_H(t) mit dem Hamiltonoperator vertauscht, also [A_H(t), H] = 0 :

i~ d

dtA_H(t)= [A_H(t), H] = 0.

Quantenmechanische Version der klassischen Hamiltonschen Bewe- gungsgleichungen

Wir betrachten den Orts- und den Impulsoperator in einer Dimension. Es han- delt sich dabei um zwei kanonisch konjugierte Operatoren. Dies können wir zum Beispiel in der Ortsdarstellung (x→x, p_x → ^~_i∂x^∂) zeigen:

[p, x]→ ~

i

∂

∂x, x

= ~ i ( ∂

∂xx

|{z}

(_∂x^∂ x)+x_∂x^∂

− x ∂

∂x ) = ~ i ( ∂

∂xx)

| {z }

1

= ~ i ,

[p, x] = ~

i . (1.26)

Wir stellen nun die Heisenbergsche Bewegungsgleichung (1.25) für den Impuls- operator auf, wobei wir gleich auf beiden Seiten mit _i¹_~ multiplizieren:

d

dt p_H(t)= 1

i~[p_H, H] . (1.27)

Für diese Gleichung existiert ein Analogon in der klassischen Mechanik:

˙

p={p, H}, (1.28)

wobei {p, H} die Poissonklammer darstellt.

Beachte: Die Poissonklammern der klassischen Mechanik entsprechen den quantenmechanischen Kommutatoren.

Da wir nun diese Anologie zwischen klassischer Mechanik und Quantenmecha- nik gefunden haben, wollen wir im nächsten Schritt auch ein Analogon zu den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik suchen. Dazu berechnen wir den in Gleichung (1.27) auftretenden Kommutator für einen allge- meinen Hamiltonoperator, in dem p^m undxⁿ mit beliebigen Potenzen n, m∈N auftreten.

Der p-abhängige Teil des Hamiltonoperators vertauscht mit p:

[p, p^m] = 0 . (1.29)

Für den x-abhängigen Teil berechnen wir uns den Kommutator [p, xⁿ] in Orts- darstellung (die Beziehung folgt aber auch aus [p, x] = ^~_i via vollständiger In- duktion):

[p, xⁿ]→ ~

i

∂

∂x, xⁿ

= ~ i( ∂

∂xxⁿ−xⁿ ∂

∂x) = ~ i( ∂

∂xxⁿ) = ~

inxⁿ⁻¹ , [p, xⁿ] = ~

inxⁿ⁻¹ = ~ i

∂

∂xxⁿ . (1.30)

Mit diesen Ergebnissen gehen wir nun in die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für den Impulsoperator (1.27) ein, wobei wir p_H im Kommutator mit Gleichung (1.23) umschreiben und [H, U] = 0 verwenden:

d

dt p_H(t)= 1 i~

[p_H, H(x, p)] = 1 i~

U^†pU, H(x, p)

= 1 i~

U^†[p, H(x, p)]U =− ∂

∂x_HH(x_H, p_H).

Um eine Analogie mit den klassischen Gleichungen herstellen zu können, bilden wir den Erwartungswert:

d

dthp_H(t)i=

− ∂

∂xH

H(x_H,p_H)

. (1.31)

Wir haben für den Impulsoperator pdie quantenmechanische Version d

dthp_H(t)i= 1

i~[p_H, H] =

− ∂

∂x_HH(x_H,p_H)

(1.32) der klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichung

˙

p={p, H}=− ∂

∂xH(x,p) gefunden.

Für den Ortsoperator xergibt sich nach einer analogen Rechnung:

d

dthx_H(t)i= 1 i~

[x_H, H] = ∂

∂pH

H(x_H,p_H)

, (1.33)

als quantenmechanische Version der klassischen Hamiltonschen Bewegungsglei- chung:

˙

x={x, H}= ∂

∂pH(x,p). Ehrenfestsches Theorem

Das Ehrenfestsche Theorem besagt, dass die klassischen Bewegungsgleichungen für die quantenmechanischen Erwartungswerte für PotentialeV(x) mit dem Po- lynomgrad 62 in x gelten.

Im Allgemeinen folgen die quantenmechanischen Erwartungswerte nicht den klassischen Bewegungsgleichungen.

Um das Ehrenfestsche Theorem zu beweisen, nehmen wir einen Hamiltonopera- tor an, der neben der kinetischen Energie ein allgemeines Potential mit Termen bis zur Ordnung x² enthält:

H(x_H, p_H) = p²_H

2m +αx_H + β 2x²_H .

Mit diesem allgemeinen Hamiltonoperator gehen wir jetzt in Gleichung (1.33) und erhalten:

d

dthxHi= ∂

∂p_H p²_H

2m +αxH + β 2x²_H

=p_H m

.

Wir formen dieses Ergebnis auf hp_Hi = m_dt^dhx_Hi um und erkennen, dass eine Übereinstimmung mit dem klassischen Ausdruck p = m v = mx˙ gegeben ist.

Nun verwenden wir Gleichung (1.32):

d

dthp_Hi=

− ∂

∂x_H p²_H

2m +αx_H +β 2x²_H

=−α−βhx_Hi.

Setzen wir α = 0 so haben wir mit dieser Gleichung das Hooke'sche Gesetz

˙

p=F =−βx erhalten.

Die quantenmechanischen Erwartungswerte stimmen also in diesem einfachen Beispiel mit den klassischen Bewegungsgleichungen überein. Sobald aber im Po- tential ein höherer Term als x² auftritt, ist diese Übereinstimmung nicht mehr gegeben.

Als einfaches Beispiel nehmen wir ein Potential an, das zusätzlich noch einen Term der Ordnung x³ enthält. Gleichung (1.32) ergibt:

d

dthp_Hi=

− ∂

∂x_H p²

2m +αx_H + β

2x²_H + γ 3x³_H

=−α−βhx_Hi −γhx²_Hi. Beachte: Im Allgemeinen gilt: hx²_Hi 6=hx_Hi².

Daher folgen die quantenmechanischen Erwartungswerte für Potentiale mit hö- heren Termen als x² nicht den klassischen Bewegungsgleichungen.

1.3.3 Das Wechselwirkungsbild

Das Wechselwirkungsbild eignet sich bei Problemen mit einem zeitabhängigen Hamiltonoperator H(t). Dieser Hamiltonoperator lässt sich in einen zeitunab- hängigen Teil H0 und einen zeitabhängigen Teil V(t) zerlegen:

H =H₀ +V(t). (1.34)

Wir denieren die Zeitentwicklung bezüglich H₀:

U₀(t)≡e^−~iH0t, (1.35) welche in die Operatoren einieÿen soll:

AI(t)≡U₀^†AU0 . (1.36)

Um die Zustände des Wechselwirkungsbildes zu erhalten fordern wir wieder, dass die Erwartungswerte im Wechselwirkungsbild und im Schrödingerbild gleich sein müssen:

Einsetzen von Gleichung (1.36) ergibt:

hψ(t)|A|ψ(t)i=hψI(t)|U₀^†

| {z }

hψ(t)|

A U0|ψI(t)i

| {z }

|ψ(t)i

.

Für den Zustand |ψ_I(t)i im Wechselwirkungsbild ergibt sich:

|ψ_I(t)i=U₀^†(t)|ψ(t)i. (1.38) Der Index I steht für den englischen Begri interaction.

Die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild erfolgt über den entsprechenden Zeitentwicklungsoperator des Wechselwirkungsbildes U_I(t):

|ψ_I(t)i=U_I(t)|ψ_I(0)i

| {z }

|ψ(0)i

=U_I(t)|ψ(0)i. (1.39) Einsetzen von (1.38) in (1.39) und Umformen nach |ψ(t)i liefert:

|ψ(t)i=U₀(t)U_I(t)

| {z }

U(t)

|ψ(0)i. (1.40)

Obige Gleichung (1.40) sorgt durch Vergleich mit der Zeitentwicklung im Schrö- dingerbild laut (1.19) für den Zusammenhang der Zeitentwicklungsoperatoren aus Schrödinger- und Wechselwirkungsbild:

U(t)=U₀(t)U_I(t). (1.41) Durch eine analoge Rechnung wie bei der Herleitung der Heisenbergschen Be- wegungsgleichung, wobei an die Stelle von U(t)→ U₀(t) und an die Stelle von H → H₀ treten, ergibt sich für die Operatoren des Wechselwirkungsbildes fol- gende Gleichung:

i~ d

dtA_I(t)=

A_I(t), H₀

. (1.42)

Nun fehlt uns noch die Gleichung für die Zeitentwicklung des Zustandes im Wechselwirkungsbild. Dazu gehen wir von der abstrakten, basisunabhängigen Schrödingergleichung (1.5) aus. Wir multiplizieren Gleichung (1.38) mit U0(t) von links und erhalten dadurch |ψ(t)i=U₀(t)|ψ_I(t)i :

i~ ∂

∂t|ψ(t)i= H|ψ(t)i i~ ∂

∂tU₀(t)|ψ_I(t)i= H U₀(t)|ψ_I(t)i i~ ∂

∂tU₀(t)

| {z }

−ⁱ

~H0U0(t)

|ψ_I(t)i+U₀(t) ∂

∂t|ψ_I(t)i

= [H₀+V(t)]U₀(t)|ψ_I(t)i.

Der Term H₀U₀(t)|ψ_I(t)i tritt auf beiden Seiten auf und kann daher gekürzt werden. Damit ergibt sich:

i~U₀(t) ∂

∂t|ψ_I(t)i=V(t)U₀(t)|ψ_I(t)i. Nun multiplizieren wir die Gleichung mit U₀^†(t) von links:

i~U₀^†(t)U₀(t)

| {z }

1

∂

∂t|ψ_I(t)i=U₀^†(t)V(t)U₀(t)

| {z }

VI(t)

|ψ_I(t)i.

Die Zustandsgleichung des Wechselwirkungsbildeslautet also:

i~ ∂

∂t|ψ_I(t)i=V_I(t)|ψ_I(t)i. (1.43)

Kapitel 2

Störungstheorie und Variationsverfahren

Die Schrödingergleichung ist im Prinzip nur für wenige Fälle analytisch lösbar.

Insbesondere sind dies:

• (stückweise) konstante Potentiale,

• ¹_r-abhängige Potentiale (Wasserstoproblem),

• das harmonische Oszillatorpotential.

Für alle anderen Probleme benötigt man Näherungsverfahren zur approximativen oder zur numerischen Lösung der Schrödingergleichung. Erstere werden in die- sem Kapitel besprochen.

Wir werden mit der zeitunabhängigen Störungstheorie (für nicht-entartete und entartete Eigenwerte)beginnen, für welche einige Beispiele kurz vorgeführt wer- den. Anschlieÿend wird das Ritzsche Variationsprinzip vorgestellt und besprochen.

Zu guter Letzt widmen wir uns der zeitabhängigen Störungstheorie.

2.1 Zeitunabhängige Störungstheorie

In der zeitunabhängigen Störungstheorie wird der Hamiltonoperator H in einen exakt lösbaren AnteilH₀und eine StörungλV zerlegt, wobei für die Herleitungen angenommen wird, dass der Parameter λ 1. H hängt hierbei nicht explizit von der Zeit t ab (wie der Name des Kapitels schon suggeriert):

H(λ) =H₀+λ V . (2.1)

Hierbei wird die Schrödingergleichung für den ungestörten Anteil H₀ bereits als gelöst angesehen:

H₀|ψ_n⁽⁰⁾i=_n|ψ⁽⁰⁾_n i. (2.2) Das Einschalten der Störung λV wird die Wellenfunktion |ψ_niund die zugehö- rigen Energieeigenwerte E_n verändern. Es gilt nun die Schrödingergleichung für den gesamten Hamilton-Operator H,

H(λ)|ψ_n(λ)i=E_n(λ)|ψ_n(λ)i, (2.3) näherungsweise zu lösen. Die grundlegende Idee der Störungstheorie ist nun, sowohl die Wellenfunktionen |ψn(λ)ials auch die zugehörigen Energieeigenwerte E_n jeweils in eine Taylorreihe bezüglich λ bis zur 2. Ordnung zu entwickeln:

|ψ_n(λ)i=|ψ⁽⁰⁾_n i+λ|ψ⁽¹⁾_n i+λ²|ψ⁽²⁾_n i+O(λ³), (2.4) E_n(λ) =E_n⁽⁰⁾+λE_n⁽¹⁾+λ²E_n⁽²⁾+O(λ³). (2.5) Beachte:

• Die |ψ^(k)n i und die En^(k) heiÿen Korrekturen der Eigenzustände bzw.

Energiekorrekturen k-ter Ordnung inλ.

• Die |ψn⁽⁰⁾i und die En⁽⁰⁾ = _n entsprechen den Eigenfunktionen und Energieeigenwerten des ungestörten Problems laut Gleichung (2.2).

• Die |ψn^(k>0)i sind so gewählt (normiert), dass sie keinen Anteil mehr in Richtung |ψn⁽⁰⁾i haben (siehe Abbildung 2.1), d.h. es gilt:

|ψ_n^(k>0)i ⊥ |ψ⁽⁰⁾_n i. (2.6) Dies ist o.B.d.A. möglich, da uns die Normierung der Wellenfunktion frei steht und wir diese so wählen können, dass

hψ_n⁽⁰⁾|ψn(λ)i= 1, woraus unmittelbar (2.6) folgt.

Einsetzen von (2.4) und (2.5) in (2.3) und Vernachlässigen von Termen O(λ³) liefert:

(H₀+λV) [|ψ_n⁽⁰⁾i+λ|ψ_n⁽¹⁾i+λ²|ψ_n⁽²⁾i]

= (E_n⁽⁰⁾+λE_n⁽¹⁾+λ²E_n⁽²⁾) [|ψ⁽⁰⁾_n i+λ|ψ_n⁽¹⁾i+λ²|ψ_n⁽²⁾i].

H =H₀+λV H₀

₂

1

₀

E1(λ) E₂(λ)

E0(λ) λE₂⁽¹⁾

λE₁⁽¹⁾

λE₀⁽¹⁾ λ|ψ⁽¹⁾n i

|ψn⁽⁰⁾i

|ψn(λ)i

Abbildung 2.1: Veranschaulichung der gestörten Eigenfunktionen und Eigenwerte in 1. Ordnung in λ.

Im nächsten Schritt multiplizieren wir aus und ordnen nach der Potenz von λ: H₀|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

λ⁰

+λV|ψ_n⁽⁰⁾i+λH₀|ψ_n⁽¹⁾i

| {z }

λ¹

+λ²H₀|ψ⁽²⁾_n i+λ²V|ψ⁽¹⁾_n i

| {z }

λ²

+O(λ³)

=E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

λ⁰

+λE_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i+λE_n⁽¹⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

λ¹

+λ²E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽²⁾i+λ²E_n⁽¹⁾|ψ_n⁽¹⁾i+λ²E_n⁽²⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

λ²

+O(λ³). Ordnen und Vernachlässigen der Terme O(λ³) liefert folgende 3 Gleichungen:

O(λ⁰) : H₀|ψ⁽⁰⁾_n i=E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽⁰⁾i, (2.7) O(λ¹) : V|ψ_n⁽⁰⁾i+H0|ψ_n⁽¹⁾i=E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i+E_n⁽¹⁾|ψ⁽⁰⁾_n i, (2.8) O(λ²) : H₀|ψ⁽²⁾_n i+V|ψ_n⁽¹⁾i=E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽²⁾i+E_n⁽¹⁾|ψ⁽¹⁾_n i+E_n⁽²⁾|ψ_n⁽⁰⁾i. (2.9) Gleichung (2.7) entspricht wieder der ungestörten Schrödingergleichung (2.2) und ist schon bekannt.

Ziel ist es jetzt, aus den beiden anderen Gleichungen (2.8) und (2.9) die Ener- giekorrekturen und die Korrekturen der Eigenzustände für die 1. und 2. Ordnung Störungstheorie zu berechnen.

Projizieren von (2.8) auf hψn⁽⁰⁾| (unter Verwendung der aus (2.6) folgenden Be-

ziehung: hψ⁽⁰⁾n |ψ⁽¹⁾n i= 0) liefert:

hψ⁽⁰⁾_n |V|ψ⁽⁰⁾_n i+hψ_n⁽⁰⁾|H₀

| {z }

hψ⁽⁰⁾_n |E_n⁽⁰⁾

|ψ_n⁽¹⁾i=hψ⁽⁰⁾_n |E_n⁽⁰⁾|ψ⁽¹⁾_n i+hψ_n⁽⁰⁾|E_n⁽¹⁾|ψ_n⁽⁰⁾i hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ_n⁽⁰⁾i+E_n⁽⁰⁾hψ_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i

| {z }

0

=E_n⁽⁰⁾hψ⁽⁰⁾_n |ψ⁽¹⁾_n i

| {z }

0

+E_n⁽¹⁾hψ_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

1

.

Dies liefert die gesuchten Energiekorrekturen 1. Ordnung:

E_n⁽¹⁾ =hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ_n⁽⁰⁾i. (2.10) In weiterer Folge wollen wir die Korrektur für die Eigenzustände erster Ordnung

|ψ⁽¹⁾n i berechnen. Hierfür wird es wichtig sein, zwei prinzipielle Fälle für das ungestörte Problem zu unterscheiden:

• Nicht-entartete Eigenwerte:

Für alle Eigenzustände gibt es unterschiedliche Eigenwerte. _n 6= _m für n 6=m .

• Entartete Eigenwerte:

Es gibt unterschiedliche Eigenzustände, zu denen der selbe Eigenwert ge- hört. _n=_m für n6=m .

Nicht-entartete Störungstheorie

Durch Einschieben einer vollständigen Eins (1) erhalten wir für die Korrekturen der Eigenzustände:

|ψ_n⁽¹⁾i= X

m6=n

|ψ_m⁽⁰⁾ihψ_m⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i. (2.11) Beachte: Hier darf die Summe über allem6=ngebildet werden, da das innere Produkt hψ⁽⁰⁾m |ψ⁽¹⁾n i für m =n laut Gleichung (2.6) sowieso verschwinden würde.

Für die Berechnung der|ψ⁽¹⁾n imüssen wir laut (2.11) derenProjektionenhψ⁽⁰⁾m |ψ⁽¹⁾n i auf die ungestörten Eigenzustände für m 6= n berechnen. Dies geschieht durch Projektion der Gleichung (2.8) auf hψm⁽⁰⁾|:

hψ_m⁽⁰⁾|V|ψ⁽⁰⁾_n i+hψ_m⁽⁰⁾|H₀|ψ⁽¹⁾_n i

| {z }

hψm⁽⁰⁾|Em⁽⁰⁾|ψ⁽¹⁾n i

=hψ_m⁽⁰⁾|E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i+hψ_m⁽⁰⁾|E_n⁽¹⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

E_m⁽⁰⁾

|{z}

hψ⁽⁰⁾_m |ψ⁽¹⁾_n i −E_n⁽⁰⁾

|{z}

hψ⁽⁰⁾_m |ψ⁽¹⁾_n i=−hψ_m⁽⁰⁾|V|ψ_n⁽⁰⁾i+E_n⁽¹⁾hψ_m⁽⁰⁾|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z } .

Dies liefert die gesuchten Projektionen:

hψ_m⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i= hψm⁽⁰⁾|V|ψ⁽⁰⁾n i

_n−_m . (2.12)

Einsetzen von Gleichung (2.12) in Gleichung (2.11) liefert die gewünschtenKor- rekturen der Eigenzustände 1. Ordnung:

|ψ⁽¹⁾_n i= X

m6=n

|ψ_m⁽⁰⁾ihψ⁽⁰⁾m |V|ψn⁽⁰⁾i

_n−_m (2.13)

Beachte: Die Tatsache, dass die Eigenzustände nicht entartet sind (_m 6=_n für alle m 6= n) ist entscheidend, da sonst die rechte Seite in Gleichung (2.13) divergieren würde. Für entartete Eigenwerte ist diese Art der Be- rechnung nicht zulässig. Diesen Fall werden wir im nächsten Abschnitt betrachten.

Das nächste Ziel ist es, die Energiekorrekturen 2. Ordnung En⁽²⁾ zu berechnen.

Hierfür projizieren wir analog zur Berechnung der Korrekturen 1. Ordnung die Gleichung (2.9) auf die hψn⁽⁰⁾|:

hψ_n⁽⁰⁾|H₀|ψ⁽²⁾_n i

| {z }

hψ_n⁽⁰⁾|E_n⁽⁰⁾|ψ⁽²⁾_n i

+hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ⁽¹⁾_n i=

hψ⁽⁰⁾_n |E_n⁽⁰⁾|ψ⁽²⁾_n i+hψ_n⁽⁰⁾|E_n⁽¹⁾|ψ_n⁽¹⁾i+hψ_n⁽⁰⁾|E_n⁽²⁾|ψ_n⁽⁰⁾i E_n⁽⁰⁾hψ⁽⁰⁾_n |ψ⁽²⁾_n i −E_n⁽⁰⁾hψ⁽⁰⁾_n |ψ⁽²⁾_n i

| {z }

0

+hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ_n⁽¹⁾i= E_n⁽¹⁾hψ_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽¹⁾i

| {z }

0

+E_n⁽²⁾hψ⁽⁰⁾_n |ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

1

, woraus das Zwischenergebnis

E_n⁽²⁾ =hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ⁽¹⁾_n i (2.14) folgt.

Diese Gleichung (2.14) liefert nach Einsetzen von (2.13) die gesuchten Ener- giekorrekturen 2. Ordnung::

E_n⁽²⁾ = X

m6=n

hψ⁽⁰⁾n |V|ψ⁽⁰⁾m ihψ⁽⁰⁾m |V|ψn⁽⁰⁾i

_n−_m = X

m6=n

|hψn⁽⁰⁾|V|ψm⁽⁰⁾i|²

_n−_m (2.15)