2.3 Anwendungsbeispiele der Störungstheorie
2.3.2 Relativistische Korrekturen
In diesem Abschnitt werden die relativistischen Korrekturen zum Wassersto-problem besprochen, welche aus der Dirac-Gleichung (siehe später) folgen. Wir erhalten 3 Korrekturterme (im Folgenden wird der Parameter λ = 1 gesetzt):
die relativistische kinetische Energie, den Darwin Term und vor Allem die Spin-Bahn-Kopplung.
1.) Relativistische kinetische Energie
Der Ausdruck für die klassische kinetische Energie E = 2mp2 wird relativistisch ersetzt durch den Ausdruck:
E =p
p2c2+m2c4 =mc2 r
1 + p2
m2c2 . (2.36)
Entwicklung der rechten Seite von (2.36) liefert laut der bekannten Taylorreihe
√1 +x= 1 +x2 − x82 +. . .
E ≈ mc2 Ruheenergie|{z}
+ p2
2m klassische|{z} Ekin
− p4
8m3c2
| {z }
relativistische Korrektur
. (2.37)
Der letzte Term auf der rechten Seite in (2.37) ist also unsere relativistische Korrektur, die wir in der Folge als Störung H1 betrachten:
H1 =− p4
8m3c2 . (2.38)
In weiterer Folge schreiben wir den ungestörten HamiltonoperatorH0des Wassersto-Problems um, und können dadurch unsere StörungH1 also Funktion vonH0 und
des Operators 1r schreiben:
Die Eigenwerte n des Wassersto-Problems wären eigentlich entartet, weshalb man die Störung H1 wie beim Stark-Eekt diagonalisieren müsste. Wir haben hier jedoch das Glück, dass (wie aus (2.39) oensichtlich) die Störung H1 in der Basis |n l mi bereits diagonal ist. Wir können daher die relativistischen Energiekorrekturen 1. Ordnung einfach als Erwartungswert der Störung analog der Gleichung (2.10) für die nicht-entartete Störungstheorie berechnen:
Enlm(1) =hn l m|H1|n l mi. (2.40) Einsetzen von Gleichung (2.39) in (2.40) liefert mit den aus der Quantentheorie I bekannten Erwartungswerten in Termen der Feinstrukturkonstante α = e2
~c ≈ 1371 mit dem Bohrschen Atom-radius a die gesuchten relativistischen Korrekturen der kinetischen Energie 1.
Ordnung (Berechnung hier nicht explizit vorgezeigt):
Enlm(1) =−mc2(Zα)2
2.) Darwin-Term:
Der Darwin-Term beschreibt eine Korrektur zur potentiellen Energie (Potential), die folgendermaÿen aussieht:
V2 = ~2 8m2c2
∇~2V . (2.42)
Man könnte auch sagen, er beschreibt eine Zitterbewegung des Elektrons um eine Position~r. Um das in etwa zu verstehen, betrachten wir den Mittelwert des Potentials bei einer innitesimalen Verschiebung von~r um δ~r und entwickeln in eine Taylorreihe:
hV (~r+δ~r)i=hV (~r)i
| {z }
V(~r)
+hδ~r ~∇V (~r)i
| {z }
0
+1 2h
δ~r ~∇2
V (~r)i
| {z }
1
6(δ~r)2∇~2 V(~r)
+. . . , (2.43)
wobei der lineare Term im Mittelwert verschwinden muss und der Mittelwert des quadratischen Beitrags um einen Faktor 13 für die Mittelung über die 3 Raum-richtungen vermindert wird. Gleichung (2.43) ergibt sich also insgesamt zu:
hV (~r+δ~r)i=V (~r) + 1
6(δ~r)2∇~2 V (~r) , (2.44) wobei der zweite Term uns die in Gleichung (2.42) angeschriebenen Korrektur des Potentials verstehen lässt.
Das Potential des Wasserstoproblems ist bekanntlich gegeben durch V(r) =
−Zer2, was mit der aus Mathematische Methoden in der Physik bekannten Formel
∇~2 1r = ∆1r = 4πδ(r) eingesetzt in (2.42) die Störung V2 ergibt (Die Herkunft das Vorfaktors aus (2.42) wird hier nicht explizit vorgerechnet.):
V2 = π~2Ze2
2m2c2 δ(r). (2.45)
Die Delta-Funktion aus (2.45) in der Störung sorgt dafür, dass nur s-Wellenzustände (mit l = 0) von der Korrektur betroen sind (nur für diese gibt es einen nicht-verschwindenden Betrag der Wellenfunktion im Ursprung ψn0(0) 6= 0). Der so störungstheoretisch berechnete Darwin-Termlautet dann:
V2(1) = π~2Ze2
2m2c2 |ψnl(0)|2 = mc2(Zα)4
2n3 δl0 . (2.46)
3.) Spin-Bahn-Kopplung
Aus der relativistischen Dirac-Gleichung folgt für die durch die Spin-Bahn-Kopplung verursachte Störung H3:
H3 = 1
Wir stellen uns im Folgenden (ohne Rücksicht auf die physikalische Korrektheit) das Elektron ruhend vor, welches dann vom Proton umkreist wird. Letzteres be-wirkt durch seine beschleunigte Bewegung ein elektromagnetisches Feld, welches mit dem durch den Spin des Elektrons verursachten magnetischen Moment wech-selwirkt und eine Änderung der Energie zur Folge hat.
Das durch das Proton bewirkte elektrische Feld E~ nehmen wir (siehe Elektrody-namik) als den negativen Gradienten des Potentials Φ = |e|V an und verwenden die aus der Elektrodynamik bekannte Rechenregel
∇~ = ∂
Das magnetische Feld B~ ergibt sich mit (2.48) und der Denition des Drehim-pulses ~L=~r×p~=m(~r×~v)dann zu:
Das magnetische Moment ~µ des Elektrons ist gegeben durch ~µ = µB
~
S~, was nach Einsetzen des Bohrschen Magnetons µB = ~mc|e|
~ µ= |e|
mcS~ (2.50)
liefert.
Die Energie eines magnetischen Dipolmoments ~µ in einem Magnetfeld B~ ist nach den Gesetzen der Elektrodynamik gegeben durch −~µ·B~. Dies liefert nach Einsetzen von (2.49) und (2.50) den zu verstehenden Term für die Änderung der Energie durch die Spin-Bahn-Kopplung:
H3 =−|e|
mc
S~·B~ = 1 m2c2
S~·L~ 1 r
d
drV(r). (2.51) Beachte: Die heuristisch hergeleitete Formel (2.51) für die Spin-Bahn-Kopplung
ist im Vergleich mit dem exakten Term aus (2.47) um einen Faktor 2 zu groÿ. Der Grund dafür ist, dass das Ruhesystem des Elektrons kein Inerti-alsystem ist (beschleunigte Kreisbewegung).
Will man jetzt die durch H3 verursachten Energiekorrekturen berechnen, ist es aufgrund der Entartung der Eigenenergien des Wasserstoproblems für gleiche Hauptquantenzahlen n notwendig, entartete Störungstheorie anzuwenden. Wir bräuchten also eine Basis, in der die Störung H3 diagonal ist. Eine solche ist aus der Quantentheorie I bereits bekannt: die Eigenbasis des Gesamtdrehimpulses J~. Unsere Störung H3 ist proportional zum inneren Produkt der OperatorenS~ und L~. Dieses ist mit der Denition des Gesamtdrehimpulses J~ = L~ +S~ wegen J~2 =L~2+S~2+ 2L ~~S durch einfache Umformung darstellbar als
L ~~S = 1 2
J~2−L~2−S~2
. (2.52)
Es ist also oensichtlich, dass unsere Störung in einer Basis diagonal ist, in der die magnetischen Quantenzahlen ml und ms für Bahndrehimpuls und Spin durch die zum Gesamtdrehimpuls J~gehörigen Quantenzahlen j und mj ersetzt werden. Diese Basistransformation aus der alten Basis |n l s ml msi in die neue Basis |n l s j mji geschieht mittels der Clebsch-Gordan-Koezienten (siehe Quantentheorie I). Die Eigenwerte des Operators ~L·S~ sind in der neuen Basis unter Verwendung von (2.52) und der bekannten Eigenwerte ~2l(l + 1) (~2s(s+ 1),~2j(j+ 1)) für die drei Operatoren des DrehimpulsbetragesL~2 (S~2, J~2) mit Drehimpulsquantenzahl l (s, j) gegeben durch:
~L ~S |n l s j mji= ~2
2 (j(j+ 1)−l(l+ 1)−s(s+ 1)) , (2.53) was für ein Elektron mit Spin s= 12 ergibt:
L ~~S |n l s j m i= ~2
j(j + 1)−l(l+ 1)− 3
. (2.54)
Die Energiekorrekturen 1. Ordnung berechnen sich nun als Erwartungswert der
und der Feinstrukturkonstante α= e~c2 die gesuchten Energiekorrekturen 1. Ord-nung für die Spin-Bahnkopplung Enlj(1):
Enlj(1) = mc2α4Z4 verschwinden die Matrixelemente laut Gleichung (2.54) bereits in der Herleitung und somit gilt En0j(1) = 0.
• Daher verschwindet der Beitrag der Spin-Bahn-Kopplung auch für den Grundzustand (l immer 0).
• Die Entartung bezüglich j wird aufgehoben.
Fasst man die 3 Energiekorrekturen aus (2.41), (2.46) und (2.56) geschickt zu-sammen (hier nicht vorgezeigt), erhält man die Energiekorrektur für die Fein-struktur des Wasserstoatoms:
wobei der erste Faktor, der Rydbergkonstante Ry entspricht.
Beachte:
• Erklärung der spektroskopischen Notation aus Abbildung 2.4:
Man notiert nach der Form:
SLJ ,