Rang, Determinante und Eigenwerte

Rang, Determinante und Eigenwerte

Ubersicht¨

Rang einer Matrix

SeiA⊆R^m×n. Dann heißt die Anzahl sr(A) der linear unabh¨angigen Spalten der Spalten- rang vonAund die Anzahl zr(A) der linear unabh¨angigen Zeilen derZeilenrang vonA. Der Spalten- bzw. Zeilenrang ist also die Dimension der von den Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannten Unterr¨aume.

Man kann zeigen: zr(A) = sr(A), so dass wir nur noch kurz vomRang einer Matrix sprechen und schreiben daf¨ur rankA.

Insbesondere ist also die Dimension des Bildes der Abbildung Rⁿ 3 x 7→ Ax ∈ R^m ge- rade rankA. Wollen wir den Rang einer Matrix bestimmen, so gehen wir wie beim L¨osen linearer Gleichungssysteme vor und erzeugen die Zeilenstufenform, denn dann ist der Rang die Anzahl der Nicht-Nullzeilen (dieses bisherige Vorgehen motiviert eigentlich gerade den Begriff des Ranges). Folgende Umformungen lassen n¨amlich den Rang der Matrix un- ver¨andert:

• Transponieren

• Addition des λ-fachen einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte (λ∈R)

• Multiplikation einer Zeile bzw. Spalte mit λ6= 0 Beispiel:

rank





1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7



= rank





1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1



= rank





1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0



= 2 F¨ur Produkte von Matrizen gilt: rank (AB)≤min{rankA,rankB}. Es gilt folgender wich- tiger Zusammenhang zur L¨osbarkeit von Gleichungssystemen:

L¨osbarkeitskriterium f¨ur LGS:Das lineare GleichungssystemAx=bmitA∈R^m×n, b∈ R^m, x∈Rⁿist genau dann l¨osbar, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) gleich dem Rang vonAist. Es ist Ax=b eindeutig l¨osbar, wenn rankA=ngilt.

Determinante einer Matrix

Eine Determinante ist (hier) eine Abbildung det : R^n×n→R mit den Eigenschaften (D1) det ist linear in jeder Zeile von A∈R^n×n, d.h.

• Ist die Zeile a_i ∈Rⁿ Summe zweier Vektorena⁰_i, a⁰⁰_i ∈Rⁿ, so gilt detA= detA⁰+ detA⁰⁰,

wobei A⁰ bzw.A⁰⁰ die Matrix ist, die aus A durch Austauschen der Zeile ai mit

0 00

• Ist die Zeile ai ∈Rⁿ ein Vielfachesλ∈Rvon einem Vektora⁰_i ∈Rⁿ, so gilt detA=λdetA⁰,

wobeiA⁰ die Matrix ist, die ausAdurch Austauschen der Zeilea_imita⁰_ientsteht.

(D2) det als alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, so gilt detA = 0. Es gilt daher:

Entsteht A⁰ ausAdurch Vertauschen zweier verschiedener Zeilen, so gilt detA⁰ =−detA.

(D3) det ist normiert, d.h. detIn= 1 f¨ur dien×n-EinheitsmatrixIn. Man kann dann eine Reihe von Eigenschaften herleiten. Die wichtigsten:

Eigenschaften und Rechenregeln:

1. EntstehtA⁰ ausA durch Addition der λ-fachen Zeile j zur Zeilei6=j, so gilt detA⁰= detA.

2. Ist eine Zeile vonA gleich Null, so ist detA= 0.

3. IstAobere oder untere Dreiecksmatrix, so ist

detA=a11·a22· · · · ·ann.

M¨ogliches Vorgehen zur Berechnung der Determinante: Die Idee istAdurch elementare Zeilenumformungen und sben¨otigten Zeilenvertauschungen auf Zeilenstu- fenformB zu bringen, denn dann gilt

detA= (−1)^s·detB = (−1)^sb11· · · · ·bnn. 4. Es gilt: detA6= 0 ⇐⇒ rankA=n.

5. F¨urλ∈Rgilt: det(λA) =λⁿdetA.

6. Es gilt: det(A·B) = detA·detB = det(B ·A), aber es gilt i.a.: det(A +B) 6=

detA+ detB . Das sieht man beispielsweise an A=I₂, B=−I₂. 7. Im Falle der Existenz der Inversen gilt: det(A⁻¹) = (detA)⁻¹.

Es gilt damit folgender Zusammenhang f¨ur quadratische MatrizenA∈R^n×n:

Das homogene System Ax= 0 hat (wenigstens) eine nichtriviale L¨osung x6= 000 (und nat¨urlich ist immer 000 auch eine L¨osung des Systems).

⇔ rankA < n

⇔ detA= 0.

Insbesondere hat also Ax= 0 genau dann nur die triviale L¨osung x= 000, wenn rankA =n bzw. detA6= 0 gilt. Denn dann hat der Spaltenraum Dimension n, d.h. alle nSpaltenvek- toren sind linear unabh¨angig, bilden also eine Basis des Rⁿ (da ja nZeilen vorliegen) und k¨onnen jeden Vektor des Rⁿ eindeutig darstellen, insbesondere den Nullvektor 000. Da aber mit den Vorfaktoren x_i = 0 durch die triviale L¨osung x = 000 bereits eine Darstellung des Nullvektors durch die Spalten von Avorliegt, kann es dann keine andere Darstellung ¨uber ein anderes x6= 000 geben.

Da f¨ur nichtquadratische MatrizenA∈R^m×n die Determinante nicht definiert ist, erhalten wir nur, dass Ax=b mitx ∈Rⁿ und beliebigem b∈R^m genau dann eindeutig l¨osbar ist, wenn rankA = n, also der Rang gleich der Anzahl der Variablen ist (der wiederum der Anzahl der Spalten entspricht) mit der gleichen Begr¨undung wie eben: die Spalten bilden dann eine Basis desRⁿ.

Standardvorgehen: Anstatt die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen und damit die Determinante zu bestimmen, verwendet man f¨ur 2×2-Matrizen¹ A ∈ R^2×2 die folgende Formel ¨uber die Diagonalprodukte vonA

detA= det

a11 a12

a21 a22

=a11a22−a12a21

und f¨ur gr¨oßere Matrizen in Zusammenarbeit mit Zeilen-/Spaltenumformungen den La- place’schen Entwicklungssatz, um diese auf Determinanten von 2×2-Matrizen zur¨uckzuf¨uhren.

Beispiel:

det





3 1 2

4 1 3

−1 1 5





Wir versuchen stets zun¨achst in irgendeiner Zeile oder Spalte m¨oglichst viele Nullen zu erzeugen - hier in der zweiten Spalte durch Abziehen der ersten Zeile von der zweiten und dritten.² Danach entwickeln wir nach dieser Zeile oder Spalte nach dem Entwicklungssatz, im Beispiel ist dies die zweite Spalte:

det





3 1 2

4 1 3

−1 1 5



= det





3 1 2

1 0 1

−4 0 3





=(−1)¹⁺²·1·det

1 1

−4 3

+

=0

z }| {

(−1)²⁺²·0·det

3 2

−4 3

+ (−1)³⁺²·0·det 3 2

1 1

=−det

1 1

−4 3

=−(3−(−4)) =−7.

Beachte: Man kann den Entwicklungssatz auch (ganz naiv) aufirgendeine Zeile oder Spalte anwenden, ohne vorher Nullen zu erzeugen. Dann verliert man den Vorteil, dass ein Großteil der Rechnung (wie oben hervorgehoben) automatisch entf¨allt, da dieser Null ist. Bei einer solchen 3×3-Matrix w¨are der Aufwand zwar dennoch ¨uberschaubar, aber schon bei 4×4 oder gar 5×5 Matrizen extrem unn¨otig und rechenintensiv (siehe zus¨atzliche ¨Ubungsaufgaben).

Zum Vergleich hier einmal die Entwicklung ohne Umformung nach der ersten Zeile:

det





3 1 2

4 1 3

−1 1 5



=(−1)¹⁺¹·3·det 1 3

1 5

+ (−1)¹⁺²·1·det

4 3

−1 5

+ (−1)¹⁺³·2·det

4 1

−1 1

=3·2−1·23 + 2·5 =−7

1Es gibt auch f¨ur 3×3 Matrizen solch eine Formel, dieRegel von Sarrus.

2Entsteht sogar eine ganze Nullzeile oder -spalte, dann wissen wir nach obigen Eigenschaften bereits, dass

In einer ¨Ubungsaufgabe wurde gezeigt: sind A11, A12, A21, A22 quadratische Matrizen und A₁₂ oder A₂₁ die Nullmatrix, so gilt f¨ur die Matrix A die diese Matrizen wie folgt als Eintragungen hat:

detA= det

A11 A12

A₂₁ A₂₂

= detA₁₁·detA₂₂.

(Das geht auch noch allgemeiner mit einer anderen Formel f¨ur den Fall, dass keine Nullma- trizen vorliegen, daf¨ur aber A11 invertierbar ist.)

Eigenwerte

Wir wissen: Zu einer linearen AbbildungF:Rⁿ→R^mgibt es eine zu (gew¨ahlten) Basen von RⁿundR^meindeutige MatrixA, so dassF(x) =Axgilt (AheißtDarstellungsmatrix). Diese Matrix hat als Spalten die Bilder der Basisvektoren (dargestellt als Koordinatenvektoren zur Basis des Bildraums).

Man kann zeigen, dass die Basen so gew¨ahlt werden k¨onnen, dass die MatrixAvon besonders einfacher Gestalt ist, n¨amlich eine Diagonalmatrix:

Satz ¨uber die darstellenden Matrix: F¨ur eine lineare Abbildung F mit rankF :=

dimF(Rⁿ) = r gibt es immer Basen B₁ von Rⁿ und B₂ von R^m, so dass f¨ur die Darstel- lungsmatrixA gilt:

A=

Er 0 0 0

mit Einheitsmatrix E_r∈R^r×r.

Statt von der linearen Abbildung F sprechen wir im folgenden (wegen der Existenz eines A, so dass F(x) = Axgeschrieben werden kann) nur noch von der Matrix A und meinen eigentlich die durchA vermittelte lineare Abbildung F.

Man stellt sich die gleiche Frage nach der einfachen Gestalt von quadratischen Darstel- lungsmatrizen A ∈R^n×n, also lineare Abbildungen F:Rⁿ → Rⁿ, wobei wir nun nur noch ein und dieselbe Basis B von Rⁿ sowohl f¨ur den Urbild- als auch den Bildraum verwenden und versuchen, durch geschickte Wahl von B die Matrix A m¨oglichst einfach werden zu lassen. Einfach bedeutet, dass es eine geordnete BasisB = (v₁, . . . , v_n) von Rⁿ und Skalare λ1, . . . , λn∈Rgibt so dass

A·v_i=λ_iv_i f¨uri= 1, . . . , n gilt. In diesem Fall gilt n¨amlich

A=











λ₁ 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... . .. ... 0 0 . . . λn









 .

Diese Diagonalelemente haben einen besonderen Namen:

SeiA∈R^n×n. Dann heißtλ∈REigenwert vonA, falls ein Vektorx∈Rⁿ, x6= 000(!) existiert mit

Ax=λx.

Umgekehrt heißtx∈Rⁿ mitx6= 000Eigenvektor zu λ∈R, falls gilt:

Ax=λx.

DerEigenraum von Azu λ∈Rist definiert als die Menge aller zuλgeh¨orenden Eigenvek- toren und ist ein Unterraum vonRⁿ:

Eig_A(λ) :=U_λ:={x∈Rⁿ|Ax=λx} ⊆Rⁿ.

Es k¨onnen also insbesondere Eigenwerteλ= 0 sein, Eigenvektoren jedoch nie, da ja stetsA·

000 =λ·000 gilt. Nun fragen wir uns, wie man diese Eigenwerte und Eigenvektoren findet.

Charakterisierung von Eigenwerten und Eigenvektoren: SeiA∈R^n×n und λ∈R. Dann istλgenau dann Eigenwert vonA, wenn

det(A−λE_n) = 0

gilt. Folglich ist x ∈ Rⁿ genau dann Eigenvektor von A zu λ ∈ R, wenn er nichttriviale L¨osung des homogenen LGS

(A−λE_n)x= 000 ist.

Die Eigenwerte sind die NullstellenPA(λ) = 0 descharakteristischen Polynoms P_A(λ) := det(A−λ·E_n).

Wir nennen die darstellende MatrixAdiagonalisierbar, wennRⁿeine BasisB = (v₁, . . . , v_n) nur aus Eigenvektoren vonAbesitzt. Das bedeutet: zu jedemvi ∈B existiert einλ∈Rmit Av_i =λv_i, was ¨aquivalent dazu ist, dass die darstellende Matrix diagonal ist, also

A=











λ1 0 . . . 0 0 λ₂ . . . 0 ... ... . .. ... 0 0 . . . λ_n









 .

IstAdiagonalisierbar, so zerf¨allt das charakteristische PolynomP_Ain Linearfaktoren:

P_A(λ) =±(λ−λ₁)· · · · ·(λ−λ_n)

mit n = dimRⁿ und λ_i ∈ R. Das ist also eine notwendige (aber nicht hinreichende) Be- dingung. Ist jedochPAin Linearfaktoren zerlegbar mit λ1, . . . , λn paarweise verschiedenen Eigenwerten zuA, so istAdiagonalisierbar. Das zeigt man leicht dadurch, dass Eigenvekto- ren v₁, . . . , v_m zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ₁, . . . , λ_m stets linear unabh¨angig sind und insbesondere:m≤n= dimRⁿ gilt. Es folgt, dass jede symmetrische reelle 2×2-

Man nennt

νA(λ) := dim Eig_A(λ) = dimUλ

geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A, also die maximale Zahl linear un- abh¨angiger Eigenvektoren zu λ. Wir nennen die Vielfachheit der Nullstelle λ von P_A die algebraische Vielfachheit µ_A(λ) und es gilt

1≤ν_A(λ)≤µ_A(λ)≤n= dimRⁿ.

Satz ¨uber Diagonalisierbarkeit: Es ist A ∈ R^n×n genau dann diagonalisierbar, wenn gelten:

i) Das charakteristische Polynom zerf¨allt in Linearfaktoren, d.h.

P_A(λ) =±(λ−λ₁)· · · · ·(λ−λ_n), λ₁, . . . , λ_n∈R.

ii) F¨ur jeden EigenwertλvonAist algebraische Vielfachheit gleich geometrische Vielfach- heit, alsoµ_A(λ) =ν_A(λ).

Falls eine MatrixAdiagonalisierbar ist, so ist das Anordnen der Eigenwerte auf der Diago- nale beliebig. Man hat also mehrere M¨oglichkeiten, die Diagonalmatrix zu schreiben.

Beispiel zu Eigenwerten, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit: Wir betrach- ten

A=





3 0 0 1 2 2 1 0 4





Dann lautet die Gleichung mit dem charakteristischen Polynom P_A(λ) = det





3−λ 0 0

1 2−λ 2

1 0 4−λ



= (3−λ)(2−λ)(4−λ)= 0^!

was man schnell durch Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile oder der Regel von Sarrus (Diagonalformeln f¨ur 3×3-Matrizen) sieht. Das charakteristische Polynom zerf¨allt also in Linearfaktoren. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also die Eigenwerte, lauten

λ₁ = 3, λ₂ = 2, λ₃= 4.

Damit haben wir drei Nullstellen f¨ur ein reelles Polynom dritten Grades, das allgemein ma- ximal 3 Nullstellen hat. Damit ist jede dieser Nullstellenλ_i einfach, also hat jeder Eigenwert λidie algebraische Vielfachheit 1 (sonst h¨atte man z.B. an einem Faktoren (2−λ) noch eine Potenz stehen - dann heißt (2−λ)²beispielsweise, dass der Eigenwertλ= 2 die algebraische Vielfachheit 2 hat).

Wir bestimmen nun die Eigenvektoren zu λ1 = 3, l¨osen also





3−3 0 0

1 2−3 2

1 0 4−3



x= 000, x=



 x₁ x2

x3



.

Die erste Zeile ist null. Aus der letzten folgtx1 =−x₃ und damit aus der zweiten x2 =x3. Folglich ist der Eigenraum, die Menge aller Eigenvektoren zu λ₁ = 3, gegeben durch

U3 =





 t





−1 1 1





t∈R







, also dimU3 = 1.

Damit ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ1 gerade 1 und stimmt mit der algebraischen Vielfachheit von λ1 uberein.¨

Analog erh¨alt man f¨ur die anderen Eigenwerte ebenfalls die geometrische Vielfachheit 1.

Damit sind die Voraussetzungen im Satz ¨uber die Diagonalisierbarkeit erf¨ullt und A ist diagonalisierbar mit (beispielsweise dieser Anordnung der Eigenwerte):

D=





3 0 0 0 2 0 0 0 4



.