Aufgabe: Schubfachprinzip 1 Beweisen Sie folgende Aussagen: (a) Wählt man 51 beliebige Zahlen aus der Menge aus, so ndet man stets zwei, deren Summe 101 ist

ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 7. Aufgabenblatt vom 18.6.2013

keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien

1. Aufgabe: Schubfachprinzip 1 Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) Wählt man 51 beliebige Zahlen aus der Menge {1,2, ...,100} aus, so ndet man stets zwei, deren Summe 101 ist.

(b) Markiert man 5 Punkte innerhalb eines Quadrats mit Seitenlänge 2cm, so ndet man darunter stets zwei Punkte, deren Abstand höchstens √

2cm beträgt.

2. Aufgabe: Schubfachprinzip 2

Ein Handballteam spielt während eines Monats mit 30 Tagen mindestens 1 Spiel pro Tag, aber insgesamt höchstens 45 Spiele. Zeigen Sie, dass es dann eine Periode von aufeinander folgenden Tagen geben muss, an denen die Mannschaft insgesamt genau 14 Spiele spielt.

Hinweis: Denieren Siea_i als die Anzahl der Spiele an den ersteniTagen und betrachten Siea_i und a_i+ 14.

3. Aufgabe: Vollständige Induktion 1

Beweisen Sie folgende Aussagen für allen∈N:

(a) P_n

k=1(2k−1) =n², (b) ²√ⁿ

2 ist irrational,

(c) nGeraden zerlegen die Ebene in höchstens ⁿ²⁺ⁿ⁺²₂ Regionen.

4. Aufgabe: Vollständige Induktion 2 Gegeben sei eine Abbildungg:N→Nmit

g(x) =

(x/2 fallsx gerade, x+ 1 fallsx ungerade.

Zeigen Sie, dass für jedes n∈N eink∈Nmit g^k(n) = 1 existiert.

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