Potenz- & Exponentialfunktionen ANALYSIS

Potenz- & Exponentialfunktionen

ANALYSIS Kapitel 4 Sprachprofil - Oberstufe KSOe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

17. Januar 2012

Uberblick ¨¨ uber die bisherigenANALYSIS - Themen:

(* nur in den MNProfil-Versionen)

1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einf¨uhrung

1.2 Definitionen

1.3 Darstellungsmethoden

1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Funktionen & EXCEL

1.6* Das Auffinden von Nullstellen

1.6 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen

2 Affine Funktionen

2.1 Einf¨uhrung - Ein Leitprogramm

2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen

3 Quadratische Funktionen 3.1 Repetition

3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion 3.3 Mini-Maxi-Satz & Symmetrieeigenschaften 3.4 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen 3.5 Eine Aufgabe

3.6* Kubische Gleichungen/ Gleichungen dritter Ordnung

I

Inhaltsverzeichnis

4 Potenz- & Exponentialfunktionen 1

4.1 Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.) . . . 2

4.2 Die Potenzfunktionen . . . 4

4.3 Exponential- & Logarithmusfunktionen . . . 11

4.4 Die Umkehrfunktion . . . 13

4.4.1 Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion & zu- geh¨origer Umkehrfunktion . . . 14

4.4.2 Das Bestimmen der Funktionsgleichung einer Umkehr- funktion: . . . 16

4.5 Wachstums- & Zerfallsprozesse . . . 19

4.5.1 Zinseszinsformel . . . 19

4.5.2 Exponentielles Wachstum . . . 23

4.5.3 Radioaktiver Zerfall . . . 26

Links: • http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html

II

4 Potenz- & Exponentialfunktionen

Wir werden in diesem Kapitel zwei weitere Funktionstypen kennenlernen:

Die Potenzfunktionen Die Exponentialfunktionen

Den algebraischen Hintergrund haben wir schon kennengelernt, in Kapitel 4 derALGEBRA- Theorie:

Potenzen, Wurzeln & Logarithmen

und somit sind die folgenden Begriffe und Zusammenh¨ange uns schon bekannt:

• Potenzen & Exponenten,

• Potenzgesetze,

• Potenz- & Exponentialgleichungen und deren L¨osungsverfah- ren,

• Logarithmus und seine Gesetze.

Wir werden uns insbesondere mit den Graphen der Potenz- & Exponen- tialfunktionen besch¨aftigen und hierf¨ur den Taschenrechner und das freeware- Programmgeogebra(zu finden unter www.geogebra.at) zur Anwendung bringen.

Weiter werden wir uns ein erstes Mal mit den BegriffenSymmetrieeigenschaf- ten,MonotonieverhaltenundBeschr¨anktheiteiner Funktion auseinandersetzen, anhand deren Graphen, und dieUmkehrfunktioneinf¨uhren. Abschliessend wer- den wir noch den(exponentielle) Wachstumsprozess und Anwendungsbeispiele diskutieren.

1

4.1 Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.)

Um uns wieder mit dem Begriff desGraphen einer Funktionvertraut zu machen, beginnen wir mit einer Repetitionsaufgabe.

Aufgaben : Bestimme die Funktionsgleichung einer beliebigen quadratischen Funktionf(x) und . . .

1. stelle sie im Folgenden graphisch dar und 2. bestimme . . .

(a) die Nullstellen und den Achsenabschnitt, (b) das Minimum und das Maximum,

(c) {x∈ D(f)|f(x)>0}

L¨ose die Aufgabe ”von Hand” und kontrolliere deine Resultate mit dem Tachenrechner und mitGeoGebra.

2

Meine Bemerkungen zur Anwendung des TR:

3

4.2 Die Potenzfunktionen

Def.: Eine Funktion f : D(f) ⊂ R → W(f) ⊂ R heisst eine Potenzfunktion :⇔ f(x) =x^a, a∈R.

Wir unterscheiden die folgenden F¨alle:

N at¨urlicher Exponent ⇒ f(x) =xⁿ, n∈N

ngerade, nungerade.

N egativer Exponent ⇒ f(x) =x⁻ⁿ, n∈N

ngerade, nungerade.

Rationaler Exponent ⇒ f(x) =x¹ⁿ, n∈N

Aufgaben : Mach dir ein Bild vom Verlauf der zugeh¨origen Gra- phen.

Hinweise:

•

•

•

•

4

1. Fall (a): Nat¨urlicher gerader Exponent

5

1. Fall (b): Nat¨urlicher ungerader Exponent

6

2. Fall (a): Negativer gerader Exponent

7

2. Fall (b): Negativer ungerader Exponent

8

3. Fall: Rationaler Exponent

9

Zusammenfassung:

10

4.3 Exponential- & Logarithmusfunktionen

Def.: Eine Funktion f : D(f) ⊂ R → W(f) ⊂ R heisst eine Exponentialfunktion :⇔ f(x) =a^x, a∈R>0\{1}.

Aufgaben : Untersuche den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf des zugeh¨origen Graphens und diskutiere das Symmetrie- und Monotonieverhalten und die Be- schr¨anktheit.

Mit Hilfe der obigen Diskussion lassen sich nun Definitions- und Wertebe- reich genauer spezifizieren:

D(f) = W(f) =

11

Def.: Eine Funktion f : D(f) ⊂ R → W(f) ⊂ R heisst eine Logarithmusfunktion :⇔ f(x) = log_ax, a∈R>0\{1}.

Aufgaben : Untersuche den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf des zugeh¨origen Graphens und diskutiere das Symmetrie- und Monotonieverhalten und die Be- schr¨anktheit.

Mit Hilfe der obigen Diskussion lassen sich auch hier Definitions- und Wer- tebereich genauer spezifizieren:

D(f) = W(f) =

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4.4 Die Umkehrfunktion

DieUmkehrfunktion, oder dieInverseeiner gegebenen Funktionf ist die Funk- tionf⁻¹, die jedem Bildpunkt vonf genau sein Urbildpunkt zuordnet, d.h. f¨ur die Verkn¨upfung von Funktion und zugeh¨origer Inversen gilt:

f⁻¹(x)◦f(x) = . . . Wir wollen und dies kurz veranschaulichen:

Die Bedingung, dass eine Umkehrfunktion selber eine Funktion ist und somit auch dessen definierte Eigenschaften erf¨ullen muss, f¨uhrt dazu, dass nicht jede uns bekannte Funktion auch eine Umkehrfunktion besitzt.

Wir wollen dies an dem uns bekannten Beispiel der Normalparabel betrachten:

Wir k¨onnen auf folgende wichtige Eigenschaft schliessen:

Eine Funktionf hat eine Umkehrfunktionf⁻¹, wenn . . .

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4.4.1 Der graphische Zusammenhang zwischen Funktion & zugeh¨ori- ger Umkehrfunktion

Wir werden uns an folgendem Beispiel mit der geometrischen Konstruktion der Umkehrfunktion besch¨aftigen:

14

Aufgaben : Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) = 2^x

Skizziere den Graphen von f und konstruiere den Verlauf der zugeh¨origen Umkehrfunktion.

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4.4.2 Das Bestimmen der Funktionsgleichung einer Umkehrfunkti- on:

Die Umkehrfunktionen einiger Funktionstypen kennen wir schon:

f(x) = . . . f⁻¹(x) = . . . denn: ¨uber:

• . . . .

• . . . .

• . . . .

• . . . .

• . . . .

Wir wollen nun die Funktionsgleichung der Inversen zu folgender affinen Funktion bestimmen:

f(x) = 0.5x+ 2

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Zur Herleitung der Funktionsgleichung vonf⁻¹(x):

• Mit Hilfe geometrischer Betrachtungen:

• Algebraische Herleitung:

• Kontrolle.

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Aufgaben : Wir betrachten die folgende Funktion:

f(x) =x²+x

• Skizziere den Graphen vonf,

• Konstruiere den Verlauf der zugeh¨origen Um- kehrfunktion,

• Bestimme die Funktionsgleichung vonf⁻¹.

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4.5 Wachstums- & Zerfallsprozesse

Wir werden in diesem Abschnitt

dasexponentielle Wachstum und denexponentiellen Zerfall besprechen.

Das sind Prozesse, mit der folgenden Eigenschaft:

In gleich grossen (Zeit-)Intervallen ¨andert sich der Funktionswert um den gleichen Faktor.

4.5.1 Zinseszinsformel

Wir beginnen mit einem klassischen Beispiel:

Beispiel 4.5.1 Die Zinseszinsformel

Wir gehen von der folgenden Situation aus Startkapital: K₀ = Fr. 100.-

Jahreszins: p= 15%

und wollen die Entwicklung des Kapitals in den n¨achsten Jahren untersuchen:

• nach 1 Jahr:

• nach 2 Jahren:

• nach 3 Jahren:

• nach 4 Jahren:

• nach 10 Jahren:

...

• nach n Jahren:

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Was haben wir nun eigentlich bestimmt/ gefunden?

Wir haben eine Funktionsgleichung . . . , die

• das Wachstum des Kapitals beschreibt, d.h.:

• und exponentiel ist, d.h.:

• und folgende graphische Darstellung hat:

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Weitere Anwendungen derZinseszinsformel:

Wir gehen von einem Startkapital von K0 = Fr. 250’000.- und einem j¨ahr- lichen Zinsatz vonp= 1,75% aus.

1. Bestimme das Kapital nach (a) 5 Jahren,

(b) 20 Jahren.

2. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf 300’000.- Fr. angewachsen?

3. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

4. Wie hoch m¨usste der j¨ahrliche Zinssatz sein, damit wir nach 10 Jahren Million¨are sind?

5. Wie gross m¨usste das Startkapital sein, damit wir mit dem urspr¨unglichen Jahreszins in 20 Jahren Million¨are sind?

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Aufgaben : L¨ose das vorherige Beispiel in dem du dieses mal den L¨osungsansatz mathematisch herleitest:

Wir gehen von einem Startkapital von K0 = Fr. 250’000.- und einem j¨ahr- lichen Zinsatz vonp= 1,75% aus.

1. Bestimme das Kapital nach (a) 5 Jahren,

(b) 20 Jahren.

2. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf 300’000.- Fr. angewachsen?

3. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

4. Wie hoch m¨usste der j¨ahrliche Zinssatz sein, damit wir nach 10 Jahren Million¨are sind?

5. Wie gross m¨usste das Startkapital sein, damit wir mit dem urspr¨unglichen Jahreszins in 20 Jahren Million¨are sind?

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4.5.2 Exponentielles Wachstum

Bevor wir uns mit dem allgemeinenFunktionstypdes exponentiellen Wachstums besch¨aftigen, noch ein weiteres Beispiel:

Beispiel 4.5.2 Wir untersuchen eine Bakterienkultur, welche heute morgen um 08:00 aus 1000 Bakterien bestand und deren Anzahl sich jede Stunde verdoppelt.

1. Bestimme eine Funktionsgleichung, welche den Wachstumsprozess dieser Kultur beschreibt.

2. Bestimme die Anzahl Bakterien (a) um 12:00,

(b) um 13:00, (c) um 13:30, (d) um 14:00.

3. Wann hat die Bakterienkultur die 100’000er Grenze erreicht?

4. Wann bestand die Kultur (a) aus 750,

(b) aus 500,

(c) aus 0 Bakterien.

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Auf Grund unserer bisherigen Erfahrungen k¨onnen wir f¨ur die Dastellung des exponentiellen Wachstum Folgendes formulieren:

Die Funktionsgleichung f¨ur das exponentielle Wachstum und den ex- ponentiellen Zerfall ist von der folgenden Form:

f(t) =a·b^t

mit •

•

•

Wir wollen unsere Vermutung noch beweisen.

Dazu m¨ussen wir verifizieren, dass der Funktonstyp exponentielles Verhalten aufweist, d.h. . . .

Beweis:

Da wir nun den Funktionstypkennen, der das exponentielle Wachstum be- schreibt, l¨asst sich die Funktionsgleichung f¨ur den Prozess leicht bestimmen, denn um die zwei Unbekannten zu bestimmen brauchen wir nur zwei (vonein- ander unabh¨angige) Eigenschaften des Prozesses zu kennen.

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Beispiel 4.5.3 2% der Oberfl¨ache eines Teiches sind mit Algen bedeckt. In- nerhalb von drei Tagen vervierfacht sich der Algenteppich.

1. Wie gross war der algenbedeckte Anteil des Teichs nach zwei Tagen?

2. Wie gross ist der algenbedeckte Anteil des Teichs nach 5,5 Tagen?

3. Wie gross war der algenbedeckte Anteil des Teichs vor 6 Stunden ?

4. In wie vielen Tagen ist der Teich zur H¨alfte mit Algen bedeckt?

5. In wie vielen Tagen sind 50% des Teichs algenfrei?

6. In wie vielen Tagen ist der ganze Teich algenbedeckt?

7. Vor wie vielen Tagen war keine Alge auf dem Teich?

8. Bestimme den Wachstumsfaktor und das t¨agliche Wachstum in % so, dass der Teich bei gleichen An- fangsbedingungen nach f¨unf Tagen vollst¨andig mit Al- gen bedeckt ist.

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4.5.3 Radioaktiver Zerfall

Wir schliessen dieses Kapitel mit einer Anwendung aus der Physik/ Chemie:

dem radioaktiven Zerfall

Unter Radioaktivit¨at verstehen wir die F¨ahigkeit gewisser Kernarten, sich unter Aussenden von Strahlung umzuwandeln.

Bei der Radioaktivit¨at k¨onnen wir drei Arten von Strahlung unterscheiden:

•

•

•

Bevor wir den radioaktiven Zerfall besprechen, einige Erl¨auterungen zum Aufbau einen Atoms:( Bohr’sches Atommodell )

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Das Periodensystem:

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Zwei Zerfallsarten:

• Derα- Zerfall tritt bei Kernen mit hoher Massezahl (>200) auf.

Da ein He ⁴₂ Teilchen ausgeschleudert wird, muss die Massezahl um 4 und die Kernla- dungszahl um 2 abnehmen.

Bsp.: 1. Ra²²⁶₈₈ →Rn²²²₈₆ + He ⁴₂ 2. Po ²¹⁰₈₄ →

• Derβ⁻ - Zerfall tritt bei Kernen mit relativem Elektro- nen¨uberschuss auf.

Das ausgeschleuderte Elektron entsteht bei der Umwandlung eines Neutrons in ein Pro- ton.

Bsp.: 1. Sr⁹⁰₃₈→Y⁹⁰₃₉+e⁻ 2. Pb²¹⁴₈₂ →

Dieγ-Strahlung/ R¨ontgenstrahlungist eine energiereiche Begleiterscheinung desα- oderβ- Zerfalls.

Bei diesen Zerf¨allen vollzieht sich im Kern ein Umwandlungsprozess, wobei der Kern aus einem angeregten Zustand in einen energie¨ameren Zustand ¨uber- geht.

Dieser Zerfall folgt folgendem Gesetz:

N(t) =N₀·e^−λt mit N₀ =

N(t) = t= λ= e=

Aus dem Zerfallsgesetz l¨asst sich ein Zusammenhang zwischen derHalbwerts- zeit(= . . . ) und der Zerfallskonstanteλ herstellen, der u.a. eine praktische Anwendung in einer arch¨aologischen Altersbestimmung findet.

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Bestimmung derHalbwertszeit:

Wir gehen von folgendem Ansatz aus: N0·e^−λt= ^N₂⁰

⇔ e^−λt = ¹₂

⇔ lne^−λt = ln¹₂

⇔ −λt = ln¹₂

⇔ t = −^ln_λ¹²

⇔ t = ^{ln 2}_λ =:T_1/2

Eine praktische Anwendung:

Bei einer u.a. in der Arch¨aologie verwendeten Methode zur Altersbestim- mung wird dieC¹⁴-Konzentration von einem lebenden Oganismus mit jener des Fundes verglichen.

Da die Halbwertszeit desC¹⁴-Isotopes bekannt ist, l¨asst sich mit der Beziehung zwischen Zerfallskonstante und Halbwertszeit und der Gleichung f¨ur den expo- nentiellen Zerfall das Alter des Fundes bestimmen.

( Die Methode beruht auf der Annahme, dass das Verh¨altnis zwischen dem ”norma- len” KohlenstoffC¹² und dem radioaktiven IsotopC¹⁴ in der Atmosph¨ahre zeitlich konstant bleibt (C¹⁴ zerf¨allt einerseits laufend, wird aber andererseits laufend durch die kosmische Strahlung neu erzeugt.)

Lebewesen (Tiere, Pflanzen, ...) nehmen alsoC¹²undC¹⁴in einem kostanten Verh¨alt- nis auf. Mit dem Tod endet diese Aufnahme und das Verh¨altnis vonC¹²zuC¹⁴¨andert sich, daC¹⁴zerf¨allt. )

Beispiel 4.5.4 Bei Ausschachtungsarbeiten wurden Speisereste gefunden, derenC¹⁴-Radioaktivit¨at 90% der Aktivit¨at von lebenden Pflanzen betrug.

Bestimme das Alter der Speisereste.

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