Bohr’sches Atommodell und Spektrallinien

Bohr’sches Atommodell und Spektrallinien

Bohr’sche Postulate und Formelherleitung

1.) Quantenbedingung- Nur gewisse Bahnradien werden zugelassen und die Elektronen bewegen sich auf diesen strahlungsfrei Umfang der Bahn muss ein ganzahliges Vielfaches der deBroglie- Welle sein :

n e B

n m v

n h n

r = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ λ

π 2 (1)

Aus der Bedingung F_c =F_Z folgt für r_n

0 2

2

4π⋅ε

⋅

= ⋅

n e

n m v

r e was man

nun in Gleichung (1) einsetzen kann, um v_n zu berechnen.

Eingesetzt in die Formel E^kin = ² 2

1⋅m_ev ergibt sich E^kin=

2 2 2 0 4

8 1

n h

m e _e

⋅

⋅

⋅ ⋅

ε ^.

Epot kann man nun mit obigen Angaben und der klassischen Formel Epot = F_C⋅r_n berechnen kann, sodass sich

E^pot= _{2 2 2}

0 4

4 1

n h

m e _e

⋅

⋅

⋅ ⋅

− ε ^ergibt.

Für die Gesamtenergie E^ges gilt: E^{ges =} E^{kin +} E^pot . E^ges=

2 2 2 0 4

8 1

n h

m e _e

⋅

⋅

⋅ ⋅

− ε ^{( Eges} ist also immer negativ)

Das bohrsche Modell vom Atom gilt nur für Wasserstoff und andere ionisierte Atome mit nur einem Elektron!

Für das H-Atom ergibt sich also Folgendes:

n-te bohrsche Bahn

E

= − E

1(Grundzustand) rb= 5,29 * 10^ -11m 13,6 eV (-27,2) eV E1= (-13,6) eV 2 (1.ter angeregter

Zustand) 2,21*10^ -10m 3,4 eV (-6,8) eV (-3,4) eV

3 4,76*10^ -10m 1,51 eV (-3,02) eV (-1,51) eV

Die Energien der verschiedenen Zustände kann man in ein Energieschema einzeichnen (s. Abb.

10-20).

1 2

1 E n E_ges = ⋅ ges

pot

E

E = 2 ⋅ n

r

r

=

⋅

2.) Frequenzbedingung- Bei den Übergängen des Elektrons von einem Energiezustand zu einem anderen Energiezustand gibt das Elektron entweder Energie ab (Emission) oder nimmt welche auf (Absorption).

Wenn das Elektron von einer Bahn höherer Energie Em

herunterfällt auf eine Bahn geringerer Energie Eⁿ, so beträgt die Energieabgabe ∆E des Atoms an ein Photon (Emission):

f h E E

E= _m − _n = ⋅

∆ (2) .

Beim H-Atom entstehen beim herunterfallen der Elektronen in tiefere Energiezustände EM-Wellen, mit charakteristischen Wellenlängen/ bzw. Frequenzen, anhand derer man genau bestimmen kann von wo nach wo der Übergang der Elektronen stattfand. Je nach dem in welchen Zustand das Elektron fällt hat die Serie einen anderen Namen(s. Abb. 10-20).

Man kann die Frequenzen der emittierten Photonen auch noch anders bestimmen: Mit Hilfe der Rydberg-Konstanten!

Wenn man Gleichung (2) nach f auflöst, gilt:

h E

f = E^m− ⁿ , wobei m>n.

h

n E m

f



 



 −

⋅

= ^{1 2 2}

1 1

(E1 (negativ) einsetzten)





 



 −

⋅









⋅

⋅ ⋅

= _{3 2 2}

0

4 1 1

8 1

m n h

e f m^e

ε

Dieser Term aus Naturkonstanten ist die Rydberg-Konstante RH.

Hinweis!



 



 −

⋅

= 1₂ 1₂ m R n

f _H

Es gibt in der Literatur noch andere Darstellungen von RH,

wie z.B. die Wellenzahl:

h c

m

R_H e ^e

⋅

⋅

⋅ ⋅

= _{2 3}

0 4

8 1

ε

Seriengrenzen z.B. von der Balmer-Serie ( f_gr ⇔λ_gr ) bestimmt man indem man, den Übergang, hier ∞→2 bestimmt, d.h. n→∞ und E_n →0, somit bleibt Em,, hier E2 übrig woraus man dann

fgroderλ_grberechnen kann.

Ionisierung

Ionisierungsenergie ist die Energie, die nötig ist/zugeführt werden muss, um ein Elektron aus dem Atom zu entfernen.

Hier gilt: m→∞ und Em →0, sodass die

Ionisierungsenergie angibt.

Beim H-Atom beträgt sie: 13,6 eV

Linienbezeichnung der Balmer- Serie

Kα-Strahlung ist also die emittierte Strahlung beim Übergang des

Elektrons von der L-Schale in die K- Schale. Usw.

Leistungen und Grenzen von Bohr

Leistungen Grenzen

Bohr bricht mit den

Vorstellungen der klassischen Physik und beschreitet einen neuen Weg

Nach Bohr lassen sich

grundsätzlich alle Emissions- und Absorptionsquanten als Energieänderung des

betreffenden Elektrons

Atomhüllen mit mehr Elektronen können nicht beschrieben werden

Bohrs Elektronen bewegen sich auf einer Kreisbahn, was Atome als dünne Scheiben nach sich zieht, aber nicht

beobachtet wurde, Atome sind Kugelmodelle

Übergang 3-->2 4-->2 5-->2

Name Hα Hβ Hγ

( )

0 4

8

lim

m ⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

−

∞

→ ε

erklären

Das Wasserstoffspektrum lässt sich sehr genau

theoretisch herleiten. Dabei lässt sich Balmers Konstante C aus Naturkonstanten darstellen (R^H) und sich die

Ionisierungsenergie berechnen Der Durchmesser des H-Atoms wird größenordnungsmäßig

richtig bestimmt

Spektren anderer Ionen mit nur einem Elektron werden berechenbar

Bohr vs. Heisenbergsche Unschärferelation

( rn und vn sind nicht

gleichzeitig genau bestimmbar) Spektrum besteht nicht aus einzelnen diskreten Linien, sondern aus einer gewissen Linienbreite (wg.

Energieunschärfe)

Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht erklärbar mit dem Bohrschen Modell, dafür

braucht man die SG Bohr vs. deBroglie

(Wellennatur vs. Kreisbahn) Bohrsche Postulate

willkürlich wg. Elektronen, die nicht strahlen

Doppelspaltversuche zeigen atomare Teilchen können nur durch die ψ-Funktion

beschrieben werden können

Bohr im Vergleich

Als Aufgaben sind am besten unsere ABs, die wir gemacht haben und bei Leifi gibt es zu dem Stichpunkt Bohrsches Atommodell ein paar schöne Aufgaben.