Stand: 17. Mai 2010 9:00
Institut f ¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. M. M ¨uhlleitner, Dr. H. Sahlmann
Theoretische Physik D – Quantenmechanik I
Sommersemester 2010
Ubungsblatt 6¨ Abgabe am 25.5.2010, 10:00
Name: Ubungsgruppe:¨ Punkte:
Hinweis: Abgabeschluss f ¨ur dieses Blatt ausnahmsweise Dienstag der 25. Mai, da der 24. Mai ein Feiertag (Pfingstmontag) ist.
Aufgabe 14- Hermite-Polynome (7 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir die Hermite-PolynomeHn(z),n∈N.Hn(z)ist ein Polynom vom Gradnund kann wie folgt definiert werden: Seif(z) =exp(−z2), dann setzt man
dn
dznf(z) = (−1)nHn(z)f(z). (1) (a) Zeigen Sie, dass
Hn(z) =
2z− d dz
Hn−1(z) (2)
und dassHn(−z) = (−1)nHn(z). (2 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass exp(−t2 +2tz)die Erzeugende Funktion der Hermite Polynome ist, in dem Sinne dass
Hn(z) = dn dtn
t=0
e−t2+2tz. (3)
Hinweis: Taylorentwicklung vonf(t+z)umz. (ein Punkt) (c) Beweisen Sie die folgenden Rekursionsrelationen:
d
dzHn(z) =2nHn−1(z), Hn(z) =2zHn−1(z) −2(n−1)Hn−2(z). (4) Hinweis: Verwenden Sie die Erzeugende Funktion. (ein Punkt) (d) Zeigen Sie, dass die Hermite-Polynome die folgende Differentialgleichung l ¨osen:
d2
dz2 −2z d dz+2n
!
Hn(z) =0. (5)
(ein Punkt)
(e) Zeigen Sie Z∞
−∞dz Hm(z)Hn(z)e−z2 =0 f ¨urm6=n. (6) Hinweis: Multiplizieren Sie (5) von links mit exp(−z2)Hm(z)und integrieren Sie. Vertau- schen Siemundnund ziehen Sie das Ergebnis ab. Vereinfachen Sie. Auf ¨ahnliche Weise kann ¨ubrigens auch gezeigt werden, dassR
dz H2n(z)exp(−z2) =√
π2nn!. (2 Punkte)
1
Aufgabe 15- Teilchen in einem Magnetfeld (5 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir ein Teilchen in einem Magnetfeld.
(a) Zun¨achst betrachten wir die klassische Theorie: Ausgehend von der Lagrangefunktion L= 1
2m~v2+ q
c~v·A(~~ x) (7)
(mit~v=~x)˙ f ¨ur ein Teilchen der Massemmit Ladungqin einem Magnetfeld~B=∇ ×~ A,~ zeigen Sie, dass der zu~xkonjugierte Impuls durch~p=m~v+q/cA~ gegeben ist, und die Hamilton-Funktion
H= 1 2m
~ p− q
cA~2
(8)
lautet. (2 Punkte)
Man erh¨alt die Quantentheorie des Teilchens im Magnetfeld, indem man~xund~pwie gewohnt durch Operatoren ersetzt, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erf ¨ullen.
(b) Bestimmen Sie den Operator, der der Geschwindigkeit~vdes Teilchens entspricht, und be- rechnen Sie den Kommutator[vi, vj]in der Ortsdarstellung. Was stellen Sie fest? (ein Punkt) (c) F ¨ur den Fall eines konstanten Magnetfeldes~B = (0, 0, B0) inz-Richtung kann man ~A= (−yB0, 0, 0) w¨ahlen (“Landau-Eichung”). Bestimmen Sie f ¨ur diesen Fall den Hamilton- operator und zeigen Sie, dass dieser mit derx- undz-Komponente des Impulses~pver-
tauscht. (ein Punkt)
(d) Noch immer f ¨ur den Fall des konstanten Magnetfeldes, stellen Sie die station¨are Schr ¨o- dingergleichung (EnergieE) f ¨ur die Wellenfunktionψ(x, y, z)auf. Machen Sie einen Pro- duktansatzψ(x, y, z) = exp(ip0x/¯h)χ(y)(warum?) und finden Sie die Wellengleichung f ¨urχ(y). Was k ¨onnen Sie ¨uber die Energieniveaus des Systems sagen? (ein Punkt)
Aufgabe 16- Observablen und Projektoren (3 Punkte)
Wir betrachten ein Teilchen in einer Dimension, dessen Zustand durch eine Wellenfunktion ψ(x)beschrieben wird. Nun wird eine Messung durchgef ¨uhrt. Das Messger¨at ist so konstruiert, dass es genau dann ausschl¨agt, wenn sich das Teilchen in einem bestimmten IntervallIauf der reellen Achse befindet.
(a) Konstruieren Sie die zu dieser Messung geh ¨orende Observable. (ein Punkt) (b) Leiten Sie aus den Postulaten der Quantenmechsnik eine Formel f ¨ur die Wahrscheinlich- keit her, das Teilchen bei der Messung im IntervallIzu finden. (ein Punkt) (c) Angenommen, bei der Messung findet man, dass sich das Teilchen nicht im IntervallI befindet. Finden Sie, basierend auf den Postulaten der Quantenmechanik, eine Formel f ¨ur die Wellenfunktion unmittelbar nach der Messung. (ein Punkt)
2
