Die Operation

HS-Emden-Leer _ FB Technik _ Abt EuI _ Prof. Dr. J. Wiebe _ Mathematik 1B _ Kap.4 /Komplexe Zahlen

Einführung

Bekannt ist die Darstellung eines Polynoms durch Linearfaktoren, z.B. y = x² - 1

Nullstellen: 0 = x² - 1 => x² = 1 => x_{0 1,2} =

Damit gilt: y = (x-1)·(x+1)

Genauso für y = x² - 2 = (x-√2)· (x+√2)

Auch (noch) für y = x²

mit x_{0 1,2} = ± √0 = 0 : doppelte Nullstelle

Aber nicht für y = x² + 1

0 = x² + 1 => x_{0 1,2} = ± √-1

Was für eine Zahl ist √-1 ?

Die Operation

- Ziehen bedeutet (in der Mathematik) :

„Ich suche eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt, die ich habe.“

Hier also: eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die -1 ergibt.

- - -

So eine Zahl gibt es unter den reellen Zahlen nicht ! -

- -

Es muss also eine neue Art von Zahl sein.

Sie soll vorläufig „Wurzel aus minus eins“ heißen, kurz „Wame“.

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Wir brauchen für „Wame“

eine eigene Zahlenachse:

Wir benutzen jetzt „Wame“ für y = x²+1 Für „Wame“ gilt: Wame·Wame = -1 Damit kann man schreiben: y = x²+1

= (x-Wame) (x+Wame)

Ausmultiplizieren ergibt:

y = x² + x·Wame - Wame· x - Wame·Wame

┗┗┗┗┗┗

(- 1) y = x² + 1

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Eigenschaften von „Wame“:

Die Rechnung oben (Ausmultiplizieren) zeigt:

1) Durch Subtrahieren kann Wame verschwinden.

2) Durch Multiplizieren mit sich selbst kann Wame verschwinden.

3) Wame kann mit einer reellen Zahl multipliziert (vervielfacht) werden.

weitere Eigenschaften:

4) = - Wame Gibt es das bei den reellen Zahlen?

1/x = -x, also 1 = -x², also -1 = x² ? Geht nicht ! 5) Größenvergleiche: 1<2; 1<√2; 1<> Wame ?

Wame kann nicht in die Welt der reellen Zahlen eingeordnet werden, anders als bei natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen oder rationalen Zahlen.

6) Betrag von Wame ?

a) für reelle Zahlen gilt: 1·1=1 und (-1)·(-1)=1

Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine Zahl mit Betrag 1 ergibt, hat selbst den Betrag 1.

b) Wame·Wame = -1; |-1| = 1 => Wame hat den Betrag 1.

7) Wame ist nicht identisch mit √-1, das zeigt das Quadrieren:

√-1 · √-1 = √(-1)(-1) √1 = +1 oder -1 Wame·Wame ist eindeutig -1 !

1 1 Wame Wame Wame=Wame Wame⋅ = 1

−

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Im Folgenden wird „Wame“ mit „i“ bezeichnet, wie in der Mathematik üblich.

„i“ ist die sog. Imaginäre Einheit.

Man kann ein Vielfaches von i bilden, indem man i mit irgendeinem reellen Faktor b multipli- ziert. Dadurch entsteht die allgemeine Form der imaginären Zahl: i·b

Sie kennzeichnet einen Punkt auf der imaginären Zahlenachse.

Die imaginäre Zahlenachse bildet zusammen mit der reellen Zahlenachse eine Ebene, die komplexe Zahlenebene.

Irgendein Punkt in der komplexen Zahlenebene wird durch einen Realteil und einen Imaginärteil angegeben: z = a + i·b

Auf der reellen Zahlenachse liegen damit spezielle Punkte der komplexen Zahlenebene, nämlich die Punkte mit dem Imaginärteil 0.