Singul¨ arer Punkt einer komplexen Differentialgleichung

Singul¨ arer Punkt einer komplexen Differentialgleichung

Die Differentialgleichung

r(z)u⁰⁰(z) +q(z)u⁰(z) +p(z)u(z) = 0

hat bei z =aeinen regul¨aren singul¨aren Punkt, wenn q/r einen Pol h¨ochstens erster und p/r einen Pol h¨ochstens zweiter Ordnung bei z =a haben. In einem regul¨aren singul¨aren Punkt awird das Verhalten der L¨osungen u durch die charakteristische Gleichung

ϕ(λ) =λ(λ−1) +q₀λ+p₀= 0

bestimmt, wobei q0 und p0 die f¨uhrenden Koeffizienten von q/r bzw. p/r sind, d.h.

q(z)

r(z) = q0+q1(z−a) +· · ·

z−a , p(z)

r(z) = p0+p1(z −a) +· · · (z−a)² .

Singul¨arer Punkt einer Differentialgleichung 1-1

Ist die Differenz der Nullstellen α,β von ϕnicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabh¨angige L¨osungen

(z−a)^αv(z), (z−a)^βw(z),

wobei v undw in einer Umgebung vonaanalytische Funktionen mit v(a),w(a)6= 0 sind.

Sonst existiert im Allgemeinen nur eine L¨osung dieses Typs zu dem Exponenten α mit dem gr¨oßten Realteil. Eine zweite L¨osung kann dann durch Variation der Konstanten, d.h. mit dem Ansatz

u(z) =c(z)(z−a)^αv(z) bestimmt werden.

Beweis:

formale Rechtfertigung des L¨osungstyps, o.B.d.A. a= 0,r(z) = 1 Ansatz

u(z) =z^λ(u₀+u₁z+· · ·) Einsetzen in die Differentialgleichung

u⁰⁰(z) = λ(λ−1)u0z^λ−2+ (λ+ 1)λu1z^λ−1+· · · 1

zu⁰(z)q(z) =

λu0z^λ−2+ (λ+ 1)u1z^λ−1+· · ·

(q0+q1z+· · ·) 1

z²u(z)p(z) =

u0z^λ−2+u1z^λ−1+· · ·

(p0+p1z+· · ·)

Vergleich der Koeffizienten von z^λ−2 charakteristische Gleichung ϕ(λ)u0 = 0

Singul¨arer Punkt einer Differentialgleichung 2-1

Nullstellen λvonϕ nicht triviale L¨osungen (u₀ 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z^λ−2+k Rekursion

ϕ(λ+k)u_k =ψ(u₀, . . . ,uk−1), k>0, mit

ψ(u0, . . . ,uk−1) = −(λq_ku0+ (λ+ 1)qk−1u1+· · ·+ (λ+k−1)q1uk−1)

−(p_ku₀+pk−1u₁+· · ·+p₁uk−1)

q_νuk−ν,p_νuk−ν: Summe der Indizes =k =⇒ Koeffizient von z^νz^{k−ν+λ−2} =z^λ−2+k

Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ+k)6= 0 ∀k Bei ganzzahliger Differenz der Nullstellen α,β von ϕ,

α=β+mmitm∈N

ist dies nur f¨ur den Exponenten α mit gr¨oßerem Realteil m¨oglich.

F¨ur den anderen Exponentenβ ist die Rekursionsgleichung

Beispiel:

Euler-Differentialgleichung

z²u⁰⁰(z) +qz u⁰(z) +p u(z) = 0 z = 0: regul¨arer singul¨arer Punkt

Ansatz

u(z) =z^λ Einsetzen charakteristische Gleichung

ϕ(λ) =λ(λ−1) +qλ+p=λ²+ (q−1)λ+p = 0 drei qualitativ verschiedene F¨alle je nach Typ der Nullstellung vonϕ

Singul¨arer Punkt einer Differentialgleichung 3-1

(i) Verschiedene Exponenten λ₁ 6=λ₂: z.B. q = 0,p =−6, d.h.

ϕ(λ) =λ²−λ−6 mit den Nullstellen

λ1=−2, λ2= 3 L¨osung

u(z) =c₁frac1z²+c₂z³ Probe:

z²u⁰⁰−6u =z² c₁(6/z⁴) +c₂(6z)

−6 c₁/z²+c₂z³ X

(ii) Ein Exponent λ₁ =λ₂:

z.B. q =−1 undp = 1, d.h. ϕ(λ) =λ²−2λ+ 1 mit der Nullstelle λ= 1 und der L¨osung

u(z) =c z

zweite L¨osung durch Variation der Konstanten: Ansatz u(z) =c(z)z z²(c z)⁰⁰−z(c z)⁰+c z = 0

und nach Vereinfachung

0 =c⁰⁰z+c⁰= (c⁰z)⁰ mit der L¨osungc(z) =c1+c2 Lnz d.h.

u(z) = (c₁+c₂ Lnz)z

Singul¨arer Punkt einer Differentialgleichung 3-3

(iii) Komplex konjugierte Exponenten:

z.B. q = 0,p = 5/4, d.h. ϕ(λ) =λ²−λ+ 5/4 mit den Nullstellen λ1,2 = 1

2 ±i L¨osung

u(z) =c₁z^1/2+i+c₂z^1/2−i=√

z c₁zⁱ+c₂z⁻ⁱ reelle L¨osung f¨ur reellesz >0 mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre:

z^±i=e^±iLnz = cos (Lnz)±isin (Lnz)

c₁=c₂= 1/2 bzw.c₁=−c₂= 1/(2i) linear unabh¨angige

L¨osungen √

z cos (Lnz), √

z sin (Lnz)