NOTIZEN DER VORLESUNG ANALYSIS III F ¨UR PHYSIKSTUDIENG ¨ANGE

NOTIZEN DER VORLESUNG ANALYSIS III F ¨UR PHYSIKSTUDIENG ¨ANGE

ANGELA ORTEGA

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1. Anfangswertprobleme f¨ur gew¨ohnliche Di↵erentialgleichungen 3

1.1. Existenz und Eindeutigkeit 3

1.2. Einigen L¨osungen Methoden 6

1.3. Systeme von Di↵erentialgleichungen 13

1.4. Di↵erentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten 16

1.5. Koordinatentransformationen 20

1.6. Di↵erentialgleichungen h¨ohere Ordnung 22

1.7. Lineare Di↵erentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 23

1.8. Variation der Konstanten Formel 25

2. Asymptotisches Verhalten und Stabilit¨at 26

2.1. Autonome DGS 28

2.2. Nicht lineare autonome DGS y⁰ =f(y) 30

3. Rand- und Eigenwertprobleme f¨ur gew¨ohnliche DG 36

3.1. Di↵erentialoperator vom Sturm-Liouville-Type 42

4. Elemente der Funktionalanalysis 47

4.1. Hilbertr¨aume und Forurierreihen 49

5. Normierte Vektorr¨aume 57

5.1. Komplexe Hilbertra¨aume 63

6. Einf¨urung in die Funktionalanalysis 64

6.1. Beschr¨ankte lineare Operatoren 64

6.2. Lineare Operatoren 69

6.3. Unit¨are Operatoren 72

6.4. Kompakte Opertaoren 73

Literatur 73

Einleitung

Die Unbekannte in einer Di↵erentialgleichung ist eine Funktion und diese Funktionen ,,woh- nen¨ın unendlich-dimensionalen Vektorr¨aume. Man unterscheidet drei typen:

• gew¨ohnliche Di↵erentialgleichungen

• partielle Di↵erentialgleichungen

• systeme von Di↵erentialgleichungen

1

(a) Gew¨ohnliche Di↵erentialgleichungen. Hier die Unbekannte ist eine reelle Funktion x = x(t), x:I !R, mit I ⇢R ein Intervall, die die folgende Gleichung erf¨ullt

F(t, x(t), x⁰(t), . . . , x⁽ⁿ⁾(t)) = 0, F :D!R Die Ableitung n2N heißt die Ordnung der Di↵erentialgleichung.

Beispiel. Die zeitliche Auslenkung x(t) eines eindimensionalen harmonischen Oszillators unter einer ¨außer Kraft K(t) gehorcht der gew¨ohnlichen Di↵erentialgleichung 2. Ordunung:

x.. (t) + 2⌘x^. (t) +!₀²x(t) = 1 mK(t)

wobei m=M asse,⌘ 0 ist die Reibungskonstante und!₀² >0 ist die Eigenfrequenz.

(b) Partielle Di↵erentialgleichungen. Hier tritt in der Di↵erentialgleichung eine unbekannte reelle Funktion y=y(x1, . . . , xr), y:I1⇥· · ·⇥Ir !R,Ii ⇢R.

F

✓

xi, y, @y

@xi

, @²y

@xi1@xi2

, . . . , @ⁿy

@xi1· · ·@xin

◆

= 0 Die h¨ochste auftretende Ableitung n2N heißt die Ordnung.

Beispiel. Eine elektrische Raumladungsdichte ⇢(~x) erzeugt das elektrische Potential '(^*x) gem¨aß:

'(~x) = 4⇡⇢(~x), ~x2R³ wobei = P _@²

@x²_i ist der Laplaceoperator. Die Potentialgleichung der Elektrostatik ist eine partielle Di↵erentialgleichung 2. Ordnung.

(c) Systeme von Di↵erentialgleichungen.

Seien y_k= (x₁, . . . , x_r), k= 1, . . . , p, Funktionen die die folgenden Gleichungen erf¨ullen:

Fl

✓

xi, y, @y

@xi

, @²y

@xi1@xi2

, . . . , @ⁿy

@xi1· · ·@xin

◆

= 0, l= 1,2, . . . , q, i1, i2, . . . , in2{1,2, . . . , r}.

Beispiel. Ein Massenpunkt mit Ortsvektor ~x(t) bewegt sich unter dem Einfluss einer Kraft K(t,~ ~x,~x)) gem¨aßNewtons Bewegungsgleichungen:^.

m~x^.. (t) = K(t,~ ~x,~x)).^.

Die ist ein System von drei gew¨ohnlichen Di↵erentialgleichungen.

Fragen:

• Existiert eine L¨osung?

• Falls eine L¨osung existiert ist sie eindeutig?

• Falls mehrere L¨osungen existieren, wie sieht die Menge der L¨osungen aus?

1. Anfangswertprobleme f¨ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen 1.1. Existenz und Eindeutigkeit. Wir behandeln Di↵erentialgleichungen der Form:

y⁰ =f(x, y), y:I !R, I ⇢R.

wobei f : D ! R ist stetig, D = I ⇥I⁰ ⇢ R². Geometrisch, in jedem Punkt (x₀, y₀) 2 D, f(x₀, y₀) ist die Steigung der Tangente und die Kurve (x, y(x)) auf den Punkt (x₀, y₀). Es wird eine Funktion ' : I ! R gesucht deren Graph die durch f gegebene Richtung hat . Z.B.

Richtungfeld zu f(x, y) = y².

Anfangswertproblem. Seien I, I⁰ ⇢R beliebige Intervallen, f :I⇥I⁰ !R eine Funktion, (x0, y0)2I ⇥I⁰. Eine L¨osung der Di↵erentialgleichung

(1.1) y⁰ =f(x, y), durch (x0, y0),

ist eine di↵erenziarbare Funktion' : [a, b]!I⁰ (dabei x0 2[a, b,]!I) so dass gilt:

'⁰(x) = f(x,'(x)), 8x2[a, b] und '(x0) =y0.

Eine L¨osung ' : Imax ! I⁰ von (1.1) heißt maximale L¨osung wenn f¨ur jede andere L¨osung

˜

' : ˜I !I⁰ von (1.1) gilt ˜I ⇢Imax und ˜'(x) = '(x),8x2I˜.

Hauptsatz 1.1. Ist f : I⇥I⁰ !R stetig, so gilt: Eine stetige Funktion ' : I !I⁰ ist genau dann L¨osung der Di↵erentialgleichung (1.1) wenn f¨ur alle x2I gilt

'(x) = y0+ Z x

x0

f(t,'(t))dt

Beweis. Man wendet den Hauptsatz der Di↵erential- und Integralrechnung an:

()) ist ' eine L¨osung durch (x0, y0) ) '⁰(x) = f(x,'(x)) und daher Z x

x0

f(t,'(t))dt = Z x

x0

'⁰(t)dt='(x) y₀. (() Aus'(x) =y0+Rx

x0f(t,'(t))dt folgt '⁰(x) = f(x,'(x)) und '(x0) = y0. ⇤ Beispiel 1.2. Wir betrachten das Anfangswertproblem y⁰(x) = |y(x)|^3/2, y(x0) = y0, f : R⇥R ! R. Man bemerkt dass die Funktion f(x, y) = |y|^3/2 einmal stetig di↵erenzierbar ist aber nicht zweifach. Die maximale L¨osung ist

ˆ

'(x, x0, y0) = 8<

:

4y0

(2 (x x0)py0)² x < x0+p²y0, falls y0 >0

0 x2R falls y0 = 0

4y0

(2+(x x0)p y0)² x > x0 p2y0, falls y0 <0

Definition 1.3. Eine Funktion f : I ⇥I⁰ ! R gen¨ugt einer Lipschitz-Bedingung (L-B) wenn es ein L >0 gibt, so dasss 8x2I und y,y˜2I⁰ gilt:

|f(x, y) f(x,y)˜ |< L|y y˜|.

L heißt eine Lipschitz-Konstant zu f. Ferner, f gen¨gut lokal einer Lipschitz-Bedingung, wenn es zu jedem Punkt (x₀, y₀)2I⇥I⁰ eine UmgebungU bez¨glich I⇥I⁰ gibt¹, in derf einer Lipschitz-Bedingung gen¨ugt.

1d.h.9">0 mit{(x, y)2I⇥I⁰ ||(x, y) (x0, y0))||<"}⇢U

Bemerkug 1.4. Wenn ^@f_@y existiert und beschr¨ankt ist, so gen¨ugtf einer Lipschitz-Bedingung.

Denn, nach dem Mittelwertsatz, existiert zu x2I, y,y˜2I⁰ ein ⌘2[y,y] mit˜ f(x, y) f(x,y) =˜ @f

@y(x,⌘)(y y).˜

Insbesondere, gen¨gut jede Funktion f, die stetig partiell nach y di↵erenzierter ist, lokal einer L-B.

Hauptsatz 1.5. Seien I, I⁰ ⇢ Intervalle. Die Funktion f :I ⇥I⁰ ! R sei stetig und gen¨uge lokal einer Lipschitz-Bedingung,

(i) (Existenz) so existiert durch jeden Punkt (x0, y0) 2I⇥I⁰ eine L¨osung der Di↵erentialglei- chung (1.1).

(ii) (Eindeutigkeit) ':I !I⁰, :I !I⁰ seien L¨osungen von y⁰ =f(x, y). Es existiert x0 2I mit '(x0) = (x0). Dann gilt '(x) = (x),8x2I.

Bemerkug 1.6. Daher folgt dass das Anfanswertproblem eine eindeutige maximale L¨osung besitzt.

Beweis. (ii) Eindeutigkeit.Seien ,':I !I⁰L¨osungen vony⁰ =f(x, y).Angenommen:9x₀ 2I mit'(x0) (x0). Zu zeigen: istx0 2[a, b] dann'(x) = (x)8x0 xb(f¨uraxx0beweist man analog ). Sei

T :={x2[x0, b] | '(t) = (t), 8t2[x0, x]}.

Dax0 2T,T 6=;undT ist nach oben beschr¨ankt. Nach Lemma von Zorn folgt dass9s:=supT. Weil ' und stetig sind, gilt '(s) = (s) =: w. Zu zeigen s =b. Wir nehmen s < b an. Wir w¨ahlen 1 >0 und" >0 so, dass (1) s+ 1 < b, (2) f gen¨ugt in [s, s+ 1]⇥[w ", w+"]einer L-B mit Konstanten L und (3)|'(x) w|<", | (x) w|<" 8x2[s, s+ 1].

Dann sei so gew¨halt, dass 0< < ₁ und < _2L¹ gilt. Wir setzen A:= sup{|'(t) (t)| | t2[s, s+ ]} Nach Satz 1.1:

'(x) =w+ Z x

s

f(t,'(t))dt, (x) =w+ Z x

s

f(t,'(t))dt.

F¨ur x2[s, s+ ] gilt:

|'(x) (x)| 

Z x s

|f(t,'(t)) f(t, (t))|dt

 L Z x

s |'(t) (t)|dt

 L Z s+

s

Adt=LA < A 2.

Man nimmt das Supremum beide Seiten und es ergibt sich A  ^A₂, d.h. A = 0. Daraus folgt '(t) = (t),8t 2[s.s+ ]. Da >0 dies gibt ein Wiederspruch zu A= supT.

(i) Existenz. Zu zeigen: es existiert eine stetige Funktion ' mit '(x) =y0+

Z x x0

f(t,'(t))dt.

Wir werden ' alsGrenzwert einer Folge ('n) erhalten. Man w¨ahlt 1 > 0," > 0 so, dass f in [x0 , x0 + 1]⇥[y0 ", y0+"]⇢I⇥I⁰ einer L-B mit KonstantenL gen¨ugt. Da f stetig ist,

9M > 0 mit |f(x, y)|M 8(x, y)2[x0 1, x0+ 1]⇥[y0 ", y0+"]

Man w¨ahlt >0 so, dass < ₁ und  _M^" . Wir definieren die Folge '_n : [x₀ , x₀+ ]!R durch

'0(x) := y0

'1(x) := y0+ Z x

x0

f(t,'0(t))dt ...

'n(x) := y0+ Z x

x0

f(t,'n 1(t))dt

Wir werden durch vollst¨andige Induktion zeigen: f¨ur n2N, x2[x0 , x0+ ] gilt (1) |'_n(x) y₀|"

daher ist f(x,'n(x)) definiert, und

(2) |'n+1(x) 'n(x)| M

(n+ 1)!Lⁿ|x x0|ⁿ⁺¹. Die Behauptung (1) folgt aus

|'n(x) y0|  | Z x

x0

|f(t,'n(t))|dt|

 M "

F¨ur (2), Induktionsanfang ergibt sich aus

|'1(x) '0(x)|| Z x

x0

f(t, y0)dt|M|x x0|. Induktionsschtritt (von n auf n+ 1):

|'n+2(x) 'n+1(x)|  | Z x

x0

|f(t,'n+1(t)) f(t,'n(t))|dt|

 L| Z x

x0

|'n+1(t) 'n(t)|dt|

 L M (n+ 1)!Lⁿ|

Z x x0

|t x0|dt|

= M

(n+ 2)!Lⁿ⁺¹|x x0|ⁿ⁺². Nun schreiben wir 'k = y0 +Pk

n=1('n 'n 1). Die Reihe P₁

n=1('n 'n 1) ist gleichm¨aßig convergent, denn

X1 n=1

|'n 'n 1| M L

X1 n=1

L^{n n} n!

daher existiert eine stetige Funktion ':= lim_n!1'_n. Aus

|f(x,'n(x)) f(x,'(x))|L|'n(x) '(x)|

folgt dass auch f(x,'n(x)) convergiert nachf(x,'(x)) gleichm¨aßig. Daher darf man Limes und Integration vertauschen:

'(x) = lim

n!1'n+1(x) = y0 + lim

n!1

Z x x0

f(t,'n(t))dt=y0

Z x x0

f(t,'(t))dt

Nach Satz 1.1 folgt dass ' eine L¨osung von y⁰ =f(x, y) durch (x0, y0) ist. ⇤ Bemerkug 1.7. Wenn f stetig ist und einer L-B gen¨ugt und f(x,0) = 0 8x gilt, dann y ⌘0 ist eine L¨osung von y⁰ = f(x, y). Wenn ' eine L¨osung von y⁰ = f(x, y) ist und besitzt eine Nullstelle, dann ' ⌘ 0. Mit anderen W¨orten, nach der Eindeutigkeitsatz d¨urfen die L¨osungen nicht schneiden.

Gegenbeispiel 1.8. Wir betrachten die Funktion f : R⇥R ! R, f(x, y) = p

|x| und die Anfangswertproblem:

y⁰(x) = p

|y|, y(0) = 0.

Dann existiert unendlich viele verschiedene maximale L¨osungen: f¨ur jedes c 0 ist y(x) =

⇢ _{(x c)}2

4 f¨ur x c

0 x < c

eine maximale L¨osung. Man bemerkt dass f stetig ist aber sie ist nicht di↵erenzierbar.

Definition 1.9. Wir bezeichnen die L¨osung von y⁰ =f(x, y) durch (x0, y0) mit'(x;x0, y0), sie heißt die allgemeine L¨osung.

Beispiel 1.10. Die Di↵erentialgleichung y⁰ = y hat y = ce^x als L¨osung. Die L¨osung durch (x₀, y₀) ergibt sich mit y₀ =ce^x0, so die allgemeine L¨osung ist '(x;x₀, y₀) =y₀e^{x x0}.

1.2. Einigen L¨osungen Methoden.

(a) Trennung der Variablen

Man nimmt an dass f als Produkt f(x, y) = g(x)h(y) mitg, h stetig, darstellen l¨asst. Dann y⁰ = dy

dx =g(x)h(y).

Falls h(y)6= 0, kann man beide Seite der Gleichung integrieren:

Z dy h(y) =

Z

g(x)dx.

Es ergibt sich

(1.2) H(y) =G(x),

mit H und G Stammfunktionen von _h¹ bzw. vonG. Wegen H⁰(y) = _y¹ 6= 0 kann man lokal die Gleichung (1.2) ausl¨osen:'(x) =H ¹(G(x)). DaH('(x)) =G(x), folgtH⁰('(x))'(x) =G⁰(x).

So _h('(x))^'0(x) =g(x).

Beispiel 1.11. Wir betrachten y⁰ = _x^y, x >0. Die integration Z dy

y = Z dx

x , x >0

ergibt sich ln|y|= ln|x|+c⁰ und daher y=±e^c0x. Die L¨osungen sind y=cxmit c2R. Durch (x0, y0),x0 >0 ist die L¨osung y= ^y_x⁰₀x die allgemeine L¨osung '(x;x0, y0) = ^y_x⁰₀x, x0 >0.

Beispiel 1.12. Man betrachtet y⁰ = y². Die Funktion f(x, y) = y² gen¨ugt lokal einer L-B, denn ^@f_@y = 2y stetig ist . Dann gibt es genau eine L¨osung durch jeden Punkt (x0, y0) 2 R². Nach Trennung der Variablen

Z dy y² =

Z

dx ) 1

y =x+c y= 1

x+c, mit c2R. Die allgemeine L¨osung ist somit

'(x;x0, y0) = 1

x x₀ + (1/y₀)

⇢ fallsy0 <0 f¨ur x2( 1, x0 1 y0) fallsy₀ >0 f¨ur x2(x_{0 y}¹

0,1)

Man bemerkt dass es nicht n¨otwendig L¨osung in ganz R gibt, auch wenn f(x, y) in ganz R² definiert ist.

Beispiel 1.13. Man betracht das Anfangswertproblemy⁰(x) = 2xy(x)²,y(1) = 1. Man bemerkt

@f

@y = 4x stetig ist so existiert es genau eine maximale L¨osung durch (1,1). Nach der Trennung der Variablen:

(1.3)

Z y 1

ds s² =

Z x 1

2tdt ) 1

y(x) + 1 =x² 1

Das gr¨oßte Intervall I ⇢ R das die Eins enth¨alt und das die Eigenschaft besitzt dass 8x 2 I (1.3) eine L¨osungy(x)2(0,1) hat ist I = ( p

2,p 2).

Beispiel 1.14. Man betracht das Anfangswertproblem x⁰(t) = sinx(t), x(0) = 1 mit (t, x) 2 R⇥(0,⇡) als Definitionsintervall von f(t, x) = sinx(t). Da ^@f_@x = cosx stetig ist, gibt es genau eine L¨osung durch (0,1). Nach Trennung der Variablen findet man:

Z x 0

d˜x sin ˜x =

Z t 0

dt˜=t.

Das Integral der Linke Seite ist keine elementare Funktion seiner oberen Integrationsgrenze.

So kann man nicht x(t) in geschlossener Form angeben. Man kann trotzdem etwas ¨uber den Verh¨altnis der L¨osung sagen. Wegen

limx"⇡

Z x 1

dx˜

sin ˜x = +1, lim

x#0

Z x 1

d˜x

sin ˜x = lim

x#0

✓ Z 1 x

d˜x sin ˜x

◆

= 1

folgt dass die maximale L¨osung x(t) auf ganzR definiert ist und dass gilt

t!1lim x(t) =⇡, lim

t! 1x(t) = 0.

(b) Exakte Gleichungen und integrierende Faktor

Seien I, I⁰ ⇢ R Intervalle. Wir nehmen an, dass die Di↵erentialgleichung y⁰ = f(x, y) sich in der Form

(1.4) P(x, y)dx+Q(x, y)dy= 0

schreiben l¨asst mitP, Q:I⇥I⁰ !Rstetige Funktionen und es gelteQ(x, y)6= 08(x, y)2I⇥I⁰. Nach Analysiskurs ist den folgenden Satz bekannt:

Satz 1.15. Unter den obige Voraussetzungen hat man: ist P(x, y)dx+Q(x, y)dy = d (x, y) f¨ur eine Funktion genau dann wenn P, Q im einem einfach zusammenh¨angend Gebiet stetig partiell di↵erezierbar sind und dort die Integrabilit¨atsbedingung:

(1.5) @P

@y = @Q

@x

erf¨ullt. In diesem Fall lautet die Di↵erentialgleichung (1.4) d (x, y) = 0 (sie heißt dann exakt).

Wenn (1.4) die Bedingung (1.5) erf¨ullt ist dann'(x, y) Konstante und man kann daraus nach y ausl¨osen um eine L¨osung von (1.4) erh¨alten. Da gilt

P = @

@x, Q= @

@y

l¨asst sich durch ein Kurvenintegral zwischen die Punkte P0 = (x0, y0) und P1 = (x1, y1) aus P und Q bestimmen:

Z P1

P0

P dx+Qdy= Z P1

P0

d = (x1, y1) (x0, y0).

Da R

d unabh¨angig vom Weg ist, w¨ahlt man die einfachste Kurve (wie in Fig.). Dann gilt Z

P dx+Qdy= Z x1

x0

P(x, y0)dx+ Z y1

y0

Q(x1, y)dy.

Damit erh¨ahlt man (f¨ur x1 !x und y1 !y):

(1.6) (x, y) = (x0, y0) + Z x

x0

P(˜x, y0)d˜x+ Z y

y0

Q(x,y)d˜˜ y= Konstante

Beispiel 1.16. Man betracht die Di↵erentialgleichung xydx + ¹₂x²dy = 0. Da ^@P_@y = x = ^@Q_@x gilt, ist sie exakt. Nach (1.6) ergibt sich:

(x, y) = (x0, y0) + Z x

x0

y0xd˜˜ x+ Z y

y0

1 2x²dy˜

= (x0, y0) + x²y0

2

x²₀y0

2 +x²y 2

x²y0

2

= x²y 2 +C0

Die L¨osung der Di↵erentialgleichung d = 0 ist daher y= _x^C2, mit C2R.

Beispiel 1.17. Man betracht das Anfangswertproblem y⁰(t) = ^(e_2e^xyx²y⁺²⁾, y(0) = 1. Man setzt P(x, y) =e^xy²+ 2 undQ(x, y) = 2e^xy. Da ^@P_@y = 2e^xy = ^@Q_@x ist die Di↵erentialgleichung

(e^xy²+ 2)dx+ 2e^xydy = 0 exakt. Nach (1.6) ergibt sich:

(x, y) = C0+ Z x

0

(e^x˜+ 2)d˜x+ Z y

1

2e^xyd˜ y˜

= C0+ (e^x˜+ 2˜x)

x 0

+e^xy˜²

y

1

= C0+e^x+ 2x 1 +e^xy² e^x Daher e^xy² =C 2x. Da y(0) = 1, erh¨alt man C = 1. F¨ur y >0

y=p

(1 2x)e ^x x2(1,1/2) ist eine maximale L¨osung.

Allgemein ist eine Funktion µ(x, y) ein integrierender Faktor f¨ur die Di↵erentialgleichung P dx+Qdy= 0 wenn daraus durch Multiplikation mitµein totales di↵erential wird, d.h. wenn gilt:

µP dx+µQdy =d .

Zum Beispielxist ein integrierender Faktor der Di↵erentialgleichung ydx+¹₂xdyda ^@xP_@y =x=

@xQ

@x gilt. Mann bestimmt µaus der Integrabilit¨atsbedingung:

@xP

@y

@xQ

@x = 0.

Hat man µgefunden, aus (x, y) =Konstante ergibt sich eine Losung wie oben, wobei man P bzw. Q durch µP bzw. µQ ersetzt hat.

Wir kann man ein integrierenden Faktor berechnen? Wir haben den Ansatz:

@µP

@y

@µQ

@x = 0 ) P@µ

@y +µ@P

@y Q@µ

@x µ@Q

@x = 0 ) µ

✓@P

@y

@Q

@x

◆

=Q@µ

@x P@µ

@y.

Wenn 1

Q

✓@P

@y

@Q

@x

◆

unabh¨anging vonyist (und nat¨urlichQ(x, y)6= 0 in einer Umgebung) dann kann manµ=µ(x) annehmen, d.h. µ h¨angt nur vonx ab. Dann bestimmt man µ(x) aus

µ⁰(x) = µ Q

✓@P

@y

@Q

@x

◆ .

Analog wenn

1 P

✓@P

@y

@Q

@x

◆

unabh¨anging vonxist (undP(x, y)6= 0 in einer Umgebung) dann kann manµ=µ(y) annehmen und aus

µ⁰(y) = µ P

✓@P

@y

@Q

@x

◆

kann man µ(y) bestimmen.

Beispiel 1.18. Wir betrachten

y⁰ = (1 + 2x²y²)

x³y , y(1) = 1.

So P(x, y) = 1 +x2²y² und Q(x, y) =x³y. Man bemerkt

@P

@y = 4x²y, @Q

@x = 3x²y, so die Di↵erentialgleichung ist nicht exakt. Weil

1 Q

✓@P

@y

@Q

@x

◆

= 4x²y 3x²y x³y = 1

x

unabh¨anging von y ist und Q(x, y) 6= 0 gilt in einer Umgebung von (1,1), kann man µ(x) berechnen durch µ⁰(x) = ^µ_x. Man findet µ(x) =x als integrierenden Faktor. Nun ist

(x+ 2x³y²)dx+x⁴ydy = 0 =d exakt. Dann

(x, y) = C0+ Z x

1

(˜x+ 2˜x³)d˜x+ Z y

1

x⁴yd˜˜ y

= C₀+ (x˜² 2 + x˜⁴

2)

x 1

+ x⁴y˜² 2

y

1

= C0+x² 2 + x⁴

2 1 + x⁴y² 2

x⁴ 2

Daherx⁴y² =C x². Da y(1) = 1 gilt, hat man C = 2. F¨ury >0 die maximale L¨osung durch (1,1) ist

y=

r2 x²

x⁴ x2(0,p 2).

(c) Variation der Konstanten

Sind g, h:I !R stetige Funktionen so heißt

(1.7) y⁰ =g(x)y+h(x)

einelineare Di↵erentialgleichung und die Di↵erentialgleichung zugeh¨origehomogene Gleichung

(1.8) y⁰ =g(x)y

heißt die zugeh¨origehomogene Gleichung. Um (1.8) zu l¨osen man w¨ahltGeine Stammfunktion von g und erh¨alt alle L¨osungen y=ce^G(x), mit c2R. Wir machen den Ansatz

(1.9) y=c(x)e^G(x)

den als Variation der Konstanten bezeichnet ist. Wir nehmen an, dass (1.9) eine L¨osung von (1.7) ist, dann gilt esc⁰(x) = h(x)e ^G(x). Man bestimmt die Funktionc(x) :I !Rals folgende:

da c(x)e^G(x) eine L¨osung von (1.7) ist, muss es gelten

y⁰ =c⁰(x)e^G(x)+c(x)g(x)e^G(x) =g(x)y+h(x).

Daraus folgt c⁰(x)e^G(x)=h(x). So erh¨alt manc(x) als Stammfunktion von he ^G. Bemerkug 1.19. Ist ˜y eine L¨osung von (1.7), dann ist

{y˜+ce^G | c2R}

die Menge alle L¨osungen von (1.7). Es reicht eine einzige L¨osung der inhomogen Gleichung zu finden um alle L¨osungen zu erhalten.

Beispiel 1.20. Sei y⁰ = y+x. Die homogene Gleichung y⁰ = y hat die L¨osung y = ce^x. Der Variation der Konstante y=c(x)e^x ergibt

y⁰ =c⁰(x)e^x+c(x)e^x=y+x

Dann c⁰(x)e^x = x. Man findet die Stammfunktion (x+ 1)e ^x von c⁰(x). Eine L¨osung der inhomgene Gleichung ist somit

y=c(x)e^x = ( (x+ 1))e ^x)e^x = (x+ 1) und alle L¨osungen sind {ce^x x 1 | c2R}.

Beispiel 1.21. Ein K¨orper der Massemfalle unter dem Einfluß der Schwerkraft in einem wider- strebenden Mittel wobei wir annehmen, dass der Widerstand proportional zu Geschwindigkeit ist. Sei v(t) die Geschwindigkeit zu Zeitt. Nach Newtonsgesetz erh¨alt man die Di↵erentialglei- chung

mdv

dt =mg kv,

wobei k > 0 ist die Proportionalit¨atskonstante und g ist die Erdbeschleunigung. Also v⁰ = g _m^kv. Die homogene Gleichung v⁰ = _m^kv hat die L¨osung v = ce^mkt. Die Variation der Konstante v(t) = c(t)e^mkt liefert c⁰(t) = ge^mkt, mit Stammfunktion ^gm_k e^mkt+c. Da v(0) = 0, erh¨alt man c= ^gm_k . Daher folgt

v(t) = ⇣gm

k e^mkt gm k

⌘

e ^mkt = gm k

⇣

1 e ^mkt⌘ .

Die Geschwindigkeit nimmt beim Fallen st¨andig zuunn¨hart sich exponentiell der Konstanten Endgeschwindigkeit

v₁= lim

t!1v(t) = gm k

Beispiel 1.22. Wir betrachten eine Population mit Anzahl x(t) zu Zeit t. Seien a > 0 die Wachstumskonstante ( bei a <0 sprechen wir ¨uber Zerfallen) und b >0 die zeitlich Konstante Zuwanderung (bei b <0 sprechen wir ¨uber Auswanderung). Dies f¨uhrt die lineare Di↵erential- gleichung

dx

dt =x⁰ =ax+b.

Man bemerkt, dass eine L¨osung ist die Konstante '(t) = _a^b. Alle L¨osungen sind {'(t) = b

a +Ce^at | C 2R}

Sei '(0) =c0 der Anfangswert. DannC =c0+ _a^b. Die L¨osung mit '(0) = 0 ist '(t) = b

a +

✓ c0+ b

a

◆ e^at.

Man berechnet '⁰(t) = a(c₀+^b_a)e^at. Wir untersuchen den Verlauf von' und unterschieden vier F¨alle.

(A) F¨ur a > 0, b > 0 (Wachstum und Zuwanderung) ist '(t) streng monoton wachsend da '⁰(t) > 0 8t > 0 und zusammen mit limt!1'(t) = +1 bedeutet dass die Population unbe- grenzt w¨achst.

(B) F¨ur a <0,b <0 (Zerfall und Auswanderung) ist '(t) streng monoton fallend da '⁰(t)<0 8t >0 und '(t) hat eine Nullstelle

t₀ = 1 a

✓ b/a c+b/a

◆

der Zeitpunkt wo die Population ist ausgestorben.

(C) F¨ur a < 0, b > 0 (Zerfall und Zuwanderung) es gilt limt!1'(t) = _a^b > 0, also die Population strebt gegen _a^b unabh¨angig von Anfangswert c0. Man unterscheidet drei F¨alle:

• 0< c0 < _a^b: '⁰(t)>0 dann'(t) ist streng monoton wachsend gegen ^b_a.

• c0 > _a^b: '⁰(t)<0 dann '(t) ist streng monoton fallend gegen _a^b.

• c0 = _a^b: '(t) ist konstant.

(D) F¨ur a >0,b <0 (Wachstum und Auswanderung). Man unterscheidet drei F¨alle:

• 0< c0 < _a^b:'⁰(t)<0 dann '(t) ist streng monoton fallend und besitzt eine Nullstelle t0 >0 wie oben. Evtl. die Population stirbt aus.

• c0 > _a^b: '⁰(t) > 0 dann '(t) ist streng monoton wachsend und limt!1'(t) = +1, also die Population w¨achst unbegrenzt.

• c0 = _a^b: die Population ist konstant.

(d) Reduktion der Ordnung .

Bisher habe wir DG von 1. Ordnung behandeln. Nun betrachten wir DG der FormF(x, y, y⁰y⁰⁰) = 0, in zwei besondere F¨alle.

(i) DG ohne die abh¨angige Variable y: F(x, y⁰, y⁰⁰) = 0. Wir f¨uhren eine neue Variable an:

z :=y⁰, y⁰⁰ = dz dx.

Dann die Substitution liefert eine DG 1. Ordnung F(x, z,_dx^dz) = 0.

Beispiel 1.23. Man betrachtet xy⁰⁰ y⁰ = 3x². Wir setzen z =y⁰ und z⁰ =y⁰⁰. Dann xdz

dx z = 3x²

ist eine lineare DG 1.Ordnung mit L¨usungenz = 3x²+c₁x,c₁ 2R. Nach Trennung der Variablen findet man

y=x³+1

2c1x²+c2, c1, c2 2R.

(ii) DG ohne die unabh¨angige Variable x: F(y, y⁰, y⁰⁰) = 0. Wir setzen:

z :=y⁰, z⁰ = dz dx = dz

dy dy

dx =zdz dy. Dann die Substitution liefert eine DG 1. Ordnung F(y, z, z_dy^dz) = 0.

Beispiel 1.24. Man betrachtet die DG 2. Ordnung y⁰⁰ +k²y = 0. Wir setzen z = y⁰ und z⁰ =y⁰⁰ =z^dz_dy. Das ergibt sich

zdz+k²ydy = 0.

Nach der Trennung der Variablen, findet man

z² =a²k² k²y², mit a² = 2c k² >0.

So bekommt die DG

y⁰ =±kp

a² y²dx mit L¨osung der Form y=asin(±kx+b), a, b2R, die auch als

y =c1sinkx+c2sinkx, c1, c2 2R geschrieben werden kann.

1.3. Systeme von Di↵erentialgleichungen.

Wir behandeln Systeme von Di↵erentialgleichungen der Form y₁⁰ =f1(x, y1, . . . , yn) y₂⁰ =f₂(x, y₁, . . . , y_n) (1.10)

...

y_n⁰ =fn(x, y1, . . . , yn)

Bezeichnung: SeiU ⇢Rⁿ⁺¹eine o↵ene Menge undy:= (y1, . . . , yn). So (x, y) := (x,(y1, . . . , yn)2 Rⁿ⁺¹. Eine Abbildung f :U !Rⁿ wird durch n Funktionen f1, . . . , fn gegeben:

f : (x, y)7!(f1(x, y), . . . fn(x, y))

wobei fi :U !R, i= 1, . . . , n. Mit dieser Bezeichnung, k¨onnen wir das Systeme (1.10) in der Form

y⁰ =f(x, y) schreiben.

Definition 1.25. Sei U ⇢ Rⁿ⁺¹ o↵ene Menge, f : U ! Rⁿ stetig und c = (c1, . . . , cn) 2 Rⁿ sodass (x, c)2U. Eine di↵erenzierbare Abbildung

': [x0+ ]⇥[x0 ] ! Rⁿ

x 7! ('1(x), . . . ,'n(x))

f¨ur ein >0, heißt eineL¨osung vony⁰ =f(x, y)durch(x, c) wenn f¨ur allex2[x0+ ]⇥[x0 ] gilt

(1) (x,'(x))2U (2)

'⁰₁(x) = f1(x,'1(x), . . . ,'n(x)) '⁰₂(x) = f2(x,'1(x), . . . ,'n(x))

...

'⁰_n(x) = fn(x,'1(x), . . . ,'n(x)) (3) '1(x0) = c1, . . . ,'n(x0) =cn

Definition 1.26. Eine Abbildung f : U ! Rⁿ gen¨gut einer Lipschitz-Bedingung wenn es ein L >0 gibt mit

||f(x, y) f(x,y)˜ ||L||y y˜||, 8(x, y),(x,y)˜ 2U, dabei ist ||y|| = p

y₁²+. . .+y_n² die gew¨ohnliche Norm in Rⁿ. Ferner, f gen¨ugt lokal einer Lipschitz-Bedingung, wenn es zu jedem Punkt von U eine Umgebung U⁰ ⇢ U gibt , in der f einer Lipschitz-Bedingung gen¨ugt.

Ahnlich wie (1.5) beweisst man:¨

Hauptsatz 1.27. (Existenz- und Eindeutigkeitsatz)

Es sei U ⇢Rⁿ⁺¹ o↵en, die Abbildung f :U !Rⁿ sei stetig und gen¨uge einer lokal L-B. Dann existiert durch jeden Punkt (x0, c) 2 U genau eine L¨osung ' : [x0 + ]⇥[x0 ] ! Rⁿ der Di↵erentialgleichungy⁰ =f(x, y) durch (x0, c).

Es sei I ⇢R ein o↵enes Intervall, f¨ur i, j = 1, . . . n seien a_ij :I !R und b_I :I !R stetige Funktionen, setzt man

A(x) = 0

@

a11(x) · · · a1n(x)

... ...

an1(x) · · · ann(x) 1

A b(x) =

0

@ b1(x)

...

bn(x) 1 A

so istA :I !Rⁿ²,x7!A(x) eine stetige Matrix undb :I !Rⁿ,x7!b(x) ein stetiger Vektor.

Dann heißt y⁰ = A(x)·y +b(x) ein lineares Di↵erentialgleichungssystem. Ausf¨uhrlich geschriben lautet

y₁⁰ = a11(x)y1+ . . . +a1n(x)yn b1(x) y₂⁰ = a21(x)y1+ . . . +a2n(x)yn b2(x)

... ... ...

y⁰_n = an1(x)y1+ . . . +ann(x)yn bn(x)

Behauptung: y⁰ =A(x)·y+b(x) gen¨gut einer lokal Lipschitz-Bedingung. Somit geht durch jeden Punkt eine eindeutige L¨osung.

Man kann beweisen, dass in diesem Fall die L¨osungen auf ganz I existieren. Wir setzen L(A, b) :={':I !Rⁿ | ' ist di↵erenzierbar und '⁰ =A'+b}

die Menge alle L¨osungen von y⁰Ay+b. SoL(A,0) ist die L¨osungsmenge der zugeh¨origen homo- genen Gleichungssystem y⁰ =Ay.

Bemerkug 1.28. (1) L(A,0) ist ein R-Vektorraum, wo das neutrales Element ist die tri- viale L¨osung ' ⌘0.

(2) L(A, b) ist ein affiger Raum undL(A,0) ist der zugeh¨orige Vektorraum. Ist' 2L(A, b), so ist

L(A, b) ='+L(A,0).

Begr¨undung: Aus' 2L(A, b),'2L(A,0) folgt'+ 2L(A, b), und aus','˜2L(A, b), folgt' '˜2L(A,0).

(3) Aus Eindeutigkeitssatz: ist '2L(A,0) und besitzt eine Nullstelle, so ist' ⌘0.

Satz 1.29. Elemente '1, . . . ,'k 2 L(A,0) sind genau dann lineare unabh¨angig wenn sie in einem Punkt x₀ 2I linear unabh¨angig sind.

Erinnerung: '1, . . . ,'k 2L(A,0) sind lineare unabh¨angig wenn f¨ur c1, . . . , ck 2R c1'1+. . .+ck'k = 0 ) ci = 0, i= 1, . . . , k.

Beweis. ()) Angenommen: 9x0 2I und c1, . . . , ck 2R nicht alle Null, so dass c₁'₁(x₀) +. . .+c_k'_k(x₀) = 0.

Wir setzen :=c1'1+. . .+ck'k, dann ist 2 L(A,0) und (x0) = 0. Nach Bemerkung (3) ist ⌘0, dann sind'1, . . . ,'k lineare abh¨angig als Elementen von L(A,0).

(()

⇤ Definition 1.30. Eine Basis ('1, . . . ,'n) von L(A,0) bezeichnet man als Fundamentalsy- stem zur Di↵erentialgleichungssystem y⁰ =Ay

Satz 1.31. Ein n-Tupel ('1, . . . ,'n) von Elementen aus L(A,0) ist genau dann ein Funda- mentalsystem, wenn ein x0 2 I existiert so dass '1(x0), . . . ,'n(x0) linear unabh¨angig in Rⁿ sind.

Beweis. (() Es sei x0 2I und ('1(x0), . . . ,'n(x0)) eine Basis des Rⁿ. Zu zeigen ist, dass jede 2 L(A,0) eindeutig als Linearkombination der '1, . . . ,'n darstellbar ist. Zu (x0) gibt es genau 1, . . . , n 2 R mit (x0) = 1'1(x0) +. . .+ n'n(x0). Nach Eindeutigkeitssatz folgt (x) = 1'1(x) +. . .+ n'n(x), 8x2I.

()) Einfach. ⇤

Definition 1.32. Seien '1, . . . ,'n2L(A,0) dann heißt W(x) : det('1, . . . ,'n) =

'11 . . . '1n

... ...

'n1 . . . 'nn

Aus Satz 1.31 folgt

Satz 1.33. Wenn W(x0) = 0 f¨ur ein x0 2 I dann W(x) ⌘ 0. Ferner, ('1, . . . ,'n) ist genau dann ein Fundamentalsystem zu y⁰ =A(x)y wenn W nicht identisch Null ist.

Satz 1.34. Ist W die Wronski-Determiante eines n-Tupels ('1, . . . ,'n) aus L(A,0)so gilt:

W⁰ = (SpA(x))W wobei Sp(A) bezeichnet die Spur von A.

Somit: ist S :I !R eine Stammfunktion von Sp, so ist W =ce^S.

Nun behandeln wir das inhomogene System y⁰ = A(x)y+b(x). Ist : I ! Rⁿ eien L¨osung davon, dann L(A, b) = +L(A,0). Ist ('1, . . . ,'n) ein Fundamentalsystem zu y⁰ =A(x)y, ist

{ +c1'1+. . .+cn'n | c1, . . . , cn2R}

die L¨osungsmenge des inhomogenen Systems.

1.4. Di↵erentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Wir betrachten eine konstante Matrix A 2Mn⇥n(R).

Lemma 1.35. Ist ein Eigenwert von A2M_n⇥n(R) und v 2Rⁿ ein Eigenvektor zu so ist ':R!Rⁿ, x7!e ^xv

eine L¨osung von y⁰ =Ay.

Beweis. Sei ein Eigenwert von A. Daraus folgt (e ^xv)⁰ =e ^x v =e ^xAv =A(e ^xv). ⇤ Satz 1.36. Ist(v1, . . . , vn)eine Basis desRⁿ, die aus Eigenvektoren vonAbesteht und 1, . . . , n

die zugeh¨orige Eigenwerte, so ist

(e ^1xv1, . . . , e ^nxvn) ein Fundamentalsystem zu y⁰ =Ay.

Beweis. F¨ur j = 1, . . . , n setzt man 'j : x 7! e ^jxvj. Nach dem vorherigen Lemma, sind 'j

L¨osungen von y⁰ = Ay. Ist 'j(0) = vj, dann sind '1(0), . . . ,'n(0) linear un abh¨angig. Nach Satz 1.31 sind '1, . . . ,'n linear unabh¨anging und damit ein Fundamentalsystem. ⇤

Beispiel 1.37. Gegeben sind zwei Bakterienkulturen, die sich gegenseitig bek¨ampfen. Man bezeichnet mit x(t) bzw. y(t), die Anzahl der Bakterien von Typ 1 bzw. von Typ 2, zu Zeit t und mit a² und b² die ,,K¨ampf-Kraft” Konstanten wobeia, b > 0. Man hat ein Di↵erentialglei- chungssytem

x⁰ = a²y

y⁰ = b²x Die Eigenwerte der Matrix

A=

✓ 0 a² b² 0

◆

sind = ±ab. Der Eigenvektor zu = ab ist ^a_b und zu = ab ist ^a_b . Damit ein Funda-

mentalsystem ist ✓✓

a b

◆ e^abt,

✓a b

◆ e ^abt

◆ .

Nun seien Anfangswerte x(0) =A und y(0) =B. Aus der Gleichungssystem x(t) = aC0e^abt+aC1e ^abt

y(t) = bC₀e^abt+bC₁e ^abt ergibt sich zu t= 0

A = aC₀+aC₁ B = bC₀+bC₁ Man rechnet die Konstanten C₀, C₁ aus:

C₁ = 1 2

✓A a + B

b

◆

>0 C₀ = 1 2

✓A a

B b

◆ .

Wir unterscheiden zwei F¨alle C₀ > 0 und C₀ = 0 (der Fall C₀ < 0 folgt nach Vertausch der Funktionen x und y).

Fall C0 >0. Man hat x(t)>0 f¨ur allet 0 und y(t) besitzt eine Nullstellet0 >0 mit t0 = 1

2abln

✓C1

C0

◆ .

In diesem Fall die Population von Type 2 ist zut0 ausgestorben. Dax⁰(t0) = 0 gilt,x(t) besitzt in t0 ein Minimum.

Fall C0 = 0. In diesem Fall ^A_a = ^B_b. Dann ist

x(t) =Ae ^abt y(t) = Be ^abt.

Die beiden Populationen sterben nie aus, gehen monotonfallend gegen 0. Der Quotient ^x(t)_y(t) = ^A_B ist konstant.

Beispiel 1.38. (Variation der Konstanten).

Zu l¨osen ist y⁰ =Ay+b, wobei A=

✓ 3 2

1 0

◆

, b =

✓ 1 2

◆

Zun¨achst findet man ein Fundamentalsystems des homogenen Gleichung y⁰ = Ay. Die Eigen- werte von A sind = 2 und = 1 mit Eigenvektor v1 = ₁² zu Eigenwert 2, bzw.

v2 = ¹₁ zu Eigenwert 1. Somit ist

= ('1,'2) =

✓✓ 2 1

◆ e ^2x,

✓ 1 1

◆ e ^x

◆ ein Fundamentalsystem. Dann gilt c1'1 +c2'2 = ·c, mit c = ^c_c¹

2 2 R² alle L¨osungen des homognes System y⁰ =Ay.

Nun findet man eine ,,spezielle” L¨osung durch Variation der Konstanten. Ansatz: = ·c, mit c:I !Rⁿ eine di↵erenzierbare Abbilidung. Dann

0 = ⁰c+ c=A c+ c⁰ =A + c⁰ =A +b

wo die letzte Gleichung folgt aus der Annahme, dass eine L¨osung ist. Daher folgtb = c, so c⁰ =b ¹( ) und man kann causrechnen. In dem Beispiel

=

✓ 2e ^2x e ^x e ^2x e ^x

◆

dann

✓c⁰₁ c⁰₂

◆

= 1

e ^3x

✓ e ^x e ^x e ^2x 2e ^2x

◆ ✓ 1 2

◆

=

✓e^2x 3e^x

◆

Somit ist eine spezielle L¨osung

= c=

✓ 2e ^2x e ^x e ^2x e ^x

◆ ✓₁

2e^2x 3e^x

◆

=

✓ 2

5 2

◆ Die L¨osungsmenge ist

⇢✓ 2

5 2

◆

+c1e ^2x

✓ 2 1

◆

+c2e ^x

✓ 1 1

◆

| c1, c2 2R

Andere Perspektive um y⁰ =Ay zu l¨osen.

Definition 1.39. F¨ur alle Matrizen A2Matn⇥n(R) die Reihe e^A := exp(A) =

X1 j=0

A^j

j! =In+A+ A²

2! +· · · .

Die Abbildung exp : A 7! e^A heißt Exponentialfunktion f´ur Matrizen. Sie ist unendlich oft di↵erenzierbar.

Beispiel 1.40.

exp

✓ 0 a 0 0

◆

=

✓ 1 a 0 1

◆

, 8a2R exp

✓ 0 ✓

✓ 0

◆

=

✓ cos✓ sin✓ sin✓ cos✓

◆

Einige Eigenschaften von exp:

• e⁰ =In (n⇥n Einheitsmatrix ), e^A ist invertierbar.

• e^A+B =e^Ae^B, f¨ur alle A, B 2Matn⇥n mit AB =BA.

• dete^A =eSp^A

• e^A= limn!1 1 + ^A_n ⁿ.

Sei D 2Matn⇥n(R) eine Diagonalmatrix:

(1.11)

0

@

1 . . . 0 ... ... ...

0 . . . n

1 A.

Dann das DGS y⁰ =Dy hat als allgemeine L¨osung y=

0

@ e ^1x

...

e ^nx 1

A=e^Dxc

wobeic= (c1, . . . , cn)^t. Nun nehmen wir an, dassAMatn⇥n(R) diagonalisierbar ist, d.h. existiert eine invertierbare Matrix P so dass P ¹AP ist eine Diagonalmatrix wie in (1.11). Es gilt

e^Dx =P ¹e^AxP.

Lemma 1.41. Ist = e^Dxc eine L¨osung von y⁰ = Dy (mit c 2 Rⁿ) dann ist ' = P' eine L¨osung von y⁰ =Ay.

Beweis. Es gilt

'⁰ =P ⁰ =P(D ) = P(De^Dxc) =AP(e^Dxc) = A(P ) = A'

und somit ist ' eine L¨osung von y⁰ =Ay, mit '(0) =P (0) =P c. ⇤ Bemerkug 1.42. Ist ' = P e^Dx˜c0 = e^AxPc˜0 = e^Axc0 eine L¨osung des Anfangswertproblem y⁰ =Ay, y(0) =c0, dann folt

'⁰(x) = d

dx(e^Axc₀) = Ae^Axc₀ und somit _dx^d(e^Ax) =Ae^Ax.

Insbesondere, die Spalten der Matrix e^Ax bilden ein Fundamentalsystem zur y⁰ = Ay. Sei

1, . . . , m mit j 6= k f¨ur j 6=k, 1m n und

j 2R f¨ur j = 1, . . . , p;

Im j >0 f¨ur j =p+ 1, . . . , p+q

mit p+ 2q = m. Ferner sei j := dim Ker(A jI) die geometrische Vielfachheit des EW j

und ↵j seine algebraische Vielfachheit. So 1 ^j ↵j und ↵1+· · ·+↵m =n. Sei {v_jk^l : j = 1, . . . , m;k = 1, . . . , j;l = 1, . . . , ljk}

eine Jordan-Basis zu A in Cⁿ, also lj1+· · ·lj j =↵j und es gilt Av_jk¹ = _jv_jk¹

Av_jk^l = jv^l_jk+v_jk^{l 1}, f¨ur i= 2,3, . . . , ljk, falls ljk >1.

Die EV und verallgemeinerten EV zu reellen EW seien reell gew¨ahlt. Dann bilden die folgenden n Funktionen ein Fundamentalsystem zuy⁰ =Ay:

e ^jx

l 1

X

r=0

x^r

r!v_jk^{l r}, j = 1, . . . , p; k = 1, . . . , j; l = 1, . . . , ljk; Re e ^jx

l 1

X

r=0

x^r r!v_jk^{l r}

!

, Im e ^jx

l 1

X

r=0

x^r r!v_jk^{l r}

!

, j =p+ 1, . . . , p+q; k = 1, . . . , j; l = 1, . . . , ljk. Dabei gilt

Re e ^jx

l 1

X

r=0

x^r r!v^{l r}_jk

!

=eRe jx l 1

X

r=0

x^r

r! cos(Im jx)Rev_jk^{l r} sin(Im jx) Imv_jk^{l r} , Im e ^jx

l 1

X

r=0

x^r r!v_jk^{l r}

!

=eRe jx l 1

X

r=0

x^r

r! cos(Im _jx) Imv_jk^{l r}+ sin(Im _jx)Re v_jk^{l r} .

1.5. Koordinatentransformationen.

Voraussetzungen: Seien J ⇢ R ein Intervall, X ⇢ Rⁿ eine o↵ene Menge, f : J ⇥X ! Rⁿ stetig und so dass @xf existiert und stetig ist. Sei Y ⇢ Rⁿ o↵ene Menge und : J ⇥Y ! X stetig und di↵erenzierbar mit

det@y (t, y)6= 0 8(t, y)2J⇥Y.

Sei I ⇢J Intervall und y:I !Y eine L¨osung von

y⁰(t) =@y (t, y(t)) ¹(f(t, (t, y(t))) @t (t, y(t))), (1.12)

die transformiertes System zu x⁰ = f(t, x) unter die Koordinatentransfomation . Dann ist x:I !R, x⁰(t) := (t, y(t)) eine L¨osung vonx⁰ =f(t, x(t)).

Beispiel 1.43. Seien J = X = Y = (0,1). Wir betrachten eine homogene Funktion f(t, x), d.h. eine Funktion mit der Eigenschaft

f( t, x) =f(t, x) 8 , t, x2(0,1)

Die Koordinatentransformation : J⇥Y ! X, (t, y) = ty transformiert das Anfangswert- problem

(1.13) x⁰(t) =f(t, x(t)), x(⌧) =⇠ in das Anfangswertproblem

(1.14) y⁰(t) = 1

t(f(1, y(t)) y(t)), y(⌧) = ⇠

⌧

und die Di↵erentialgleichung in der neue Variable l¨aßt sich durch Trennung der Variablen ausl¨osen. Wenn y : I ! (0,1) eine L¨osung von (1.14) ist, dann ist x⁰(t) := ty(t) eine L¨osung von (1.13).

Zum Beispiel, man betrachtet das Anfangswertproblem x⁰(t) = x

t + t³

x³ =f(x, t), x(1) = 1.

O↵ensichtlich, gilt f( t, x) = f(t, x), 8 , t, x >0. Wir setzen (t, y) = ty und man ¨uberpr¨uft dass @y (t, y) =t 6= 0. Unter den Koordinatentransformation ergibt sich das Anfangswert- problem

y⁰(t) = 1

ty³, y(1) = 1, das die maximale L¨osung

y(t) = (4lnt+ 1)^1/4, t > e ^1/4

hat. Dann die maximale L¨osung f¨ur die originale Di↵erentialgleichung ist x(t) = t(4lnt+ 1)^1/4, t > e ^1/4.

Beispiel 1.44. Rotationsinvariante Systeme. Seien I =R, X =R² und Y = (0,1)⇥R. Wir betrachten f :R² !R² stetig, di↵erenzierbar und der Vektorfeldf sei Rotationsinvariant, dass heißt

f(S✓x) =S✓f(x) 8x2R², ✓ 2R wobei S✓ :=

✓ cos✓ sin✓ sin✓ cos✓

◆

Die Abbildung S✓ : R² ! R² ist eine Drehung mit Winkel ✓ durch der Ursprung. In diesem Fall, existieren g, h:R!R Funktionen, die in R\ {0} stetig di↵erenzierbar sind, mit

f(x) = g(x²₁+x²₂)x+h(x²₁+x²₂)S⇡/2x, 8y2R² wobei x= ^x_x¹

2 2R². Das Anfangswert problem x⁰(t) = f(x, t), x0(0) =

✓r0cos✓0

r₀sin✓₀

◆

6

=

✓0 0

◆

, r0 6= 0 wird dann durch Polarkoordinaten

(r,✓) =

✓rcos✓ rsin✓

◆

in zwei entkoppelte Anfangswertproblem transformiert:

r⁰(t) = g(r(t)²)r(t), r(0) =r0 Amplitudenproblem

✓⁰(t) = h(r(t)²), ✓(0) = ✓0 Phasenproblem

Beispiel 1.45. Als Beispiel von ein rotationsinvariante System betracht man das Anfangswert- problem

x⁰₁(t) = x₁(t) x₂(t) x₁(t)p

x₁(t)²+x₂(t)² x₁(0) = 1/2 x⁰₂(t) = x1(t) +x2(t) x2(t)p

x1(t)² +x2(t)² x2(0) = 0

das ein rotationsinvariante System ist mit g(r(t)²) = 1 r und h(r(t)²) = 1. Das Amplituden- prblem ist

r⁰(t) = r r² r(0) = 1/2,

mit maximale L¨osung r(t) = _1+e^ett, t 2 R. Das Phasenproblem ergibt ✓⁰(t) = h(r²) = 1,

✓(0) = 0, so die maximale L¨sung ist✓(t) = 1. Dann ist die maximale L¨sung des Anfangssystemes x₁(t) = e^t

1 +e^tcost, x₂(t) = e^t

1 +e^tsint t2R.

1.6. Di↵erentialgleichungen h¨ohere Ordnung.

Wir behandeln nun Di↵erentialgleichungen n-ter Ordnung,n 2 von der Form (1.15) y⁽ⁿ⁾ =f(x, y, y⁰, . . . , y^{(n 1)}).

Sie lassen sich auf ein System von n Di↵erentialgleichungen 1. Ordnung zur¨ukf¨uhren:

y1 :=y, y2 :y⁰, . . . , yn :y^{(n 1)}, so ist (1.15) ¨aquivalent zu

y⁰₁ = y2

...

y_n⁰ ₁ = yn

y_n⁰ = f(x, y1, y2, . . . , yn).

Definition 1.46. Sei U ⇢ Rⁿ⁺¹, f : U ! R stetig und (x0, c0, c1, . . . cn 1) 2 U. Eine n- mal di↵erenzierbar Funktion ' : [x0 , x0 + ] ! R heißt eine L¨osung von (1.15) durch (x0, c0, c1, . . . cn 1) wenn 8x2[x0 , x0+ ] gilt:

(1) (x,'(x), . . . ,'^{(n 1)}(x))2U

(2) '⁽ⁿ⁾(x) =f(x,'(x),'⁰(x), . . . ,'^{(n 1)}(x))2U (3) '(x₀) = c₀, '⁰(x₀) =c₁, . . . ,'^{(n 1)} =c_{n 1}.

Hauptsatz 1.47. (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Sei f : U ! R stetig un lokal einer Lipschitz-Bedingung gen¨ugt dann existiert durch jeden Punkt (x0, c0, . . . , cn 1)2U genau eine L¨osung von (1.15).

Lineare Di↵erentialgleichung n-ter Ordnungmit Koeffizientena0, a1, . . . , an 1, bdie auf einem Intervall I stetig sind, schreibt man als

(1.16) y⁽ⁿ⁾+an 1(x)y^{(n 1)}+· · ·+a1(x)y⁰+a0(x)y =b(x).

Die L¨osungsmenge ist wieder auf ganz I definiert.

Satz 1.48. Sind a0, a1, . . . , an 1, b:I !Rstetig, so existiert zu x0 2I und (c0, . . . , cn 1)2Rⁿ genau eine L¨osung ' : I ! R von (1.16), mit '(x0) = c0,'⁰(x0) = c1, . . . ,'^{(n 1)}(x0) = cn 1. Ferner, die L¨osungsmenge der homogene Gleichung

y⁽ⁿ⁾+a_{n 1}(x)y^{(n 1)}+· · ·+a₁(x)y⁰+a₀(x)y= 0 ist ein n-dimensionale Vektorraum.

Definition 1.49. Sind '1, . . . ,'n L¨osungen der homogene Gleichungssystem so heißt

W(x) :=

'1 · · · 'n

'⁰₁ · · · '⁰_n

... ...

'⁽ⁿ₁ ¹⁾ · · · '⁽ⁿn ¹⁾

die Wronski-Determinantevon'1, . . . ,'n . WennW eine Nullstelle besitzt dann istW ⌘0.

Die L¨osungen '1, . . . ,'n lineare unabh¨ngig genau dann, wenn W(x)6= 0.