(a) Bestimmen Sie die Ordnungen der folgenden Permutationen: σ1=(3,4)∈S4, σ S10, σ S6 (b) Bestimmen Sie die Ordnungen aller Elemente der Gruppe (Z/12

U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern

Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach

Abgabetermin:04.01.2019, 13 Uhr WS 2018/19

— Blatt 8 —

Aufgabe1. (a) Bestimmen Sie die Ordnungen der folgenden Permutationen:

σ1=(3,4)∈S₄, σ2=(1,3,6,4,5)(2,10,7)∈S₁₀, σ3= 1 2 3 4 5 6 3 5 4 1 6 2

!

∈S₆

(b) Bestimmen Sie die Ordnungen aller Elemente der Gruppe (Z/12,+).

Aufgabe2. (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

Ψ: (Z/2)[X]→(Z/2)[X], f 7→ f² ein Ring-Homomorphismus ist.

(b) Es seiidie imagin¨are Einheit inC(d.h. i²=−1). Zeigen Sie, dass Z[i]={a+ib|a,b∈Z}

ein Unterring von (C,+,·) ist. IstZ[i] ein K ¨orper?

Aufgabe3. (a) Bestimmen Sie|(Z/12)^×|mithilfe der Eulerschenϕ-Funktion.

(b) Bestimmen Sie f ¨ur jede Einheit von Z/12 ihr Inverses mithilfe des Euklidischen Algorithmus.

Aufgabe4. (a) Zeigen Sie, dass f ¨ur alle f,g∈Z[X]\ {0}, die Gradformel deg(f)+deg(g)=deg(f g)

gilt.

(b) Geben Sie zwei Polynome f,g∈(Z/6)[X]\ {0}an f ¨ur die deg(f)+deg(g),deg(f g).