Übungen zur Kurvendiskussion (4)

(1)

MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_4.mcd

Übungen zur Kurvendiskussion (4)

Aufgaben: Diskutieren Sie die folgenden Funktionen vollständig.

(1) f1 k x( , ) 2

3⋅x⁴ 4 3 ⋅x³⋅k

+ 4

3⋅x³

+ 8

3 ⋅k⋅x²

+ −6 x⋅ ²−12 k⋅ ⋅x−12 x⋅ −24 k⋅ :=

in Abhängigkeit vom reellen Parameter k. (1) Nullstellen

(2) Symmetrie (3) Grenzverhalten Setze k = 3/2

(4) Monotoniebereiche (5) Extrempunkte (6) Krümmungsverhalten (7) Wendepunkte (8) Wertetabelle, Graph

(2) f2 k x( , ) 3

4⋅x³+3 k⋅ ⋅x² 15 4 ⋅x²

− −15 k⋅ ⋅x 9 2 ⋅x

+ + 18 k⋅

:= (1) Nullstellen

(2) Symmetrie (3) Grenzverhalten (4) Monotoniebereiche (5) Extrempunkte (6) Krümmungsverhalten (7) Wendepunkte (8) Wertetabelle, Graph für k = 0.5 in Abhängigkeit vom reellen Parameter k.

(2)

Wenn Symmetrie, dann Achsensymmetrie:

f1 k( ,−x)−f1 k x( , )=0vereinfachen −8

3 ⋅x³⋅k 8 3⋅x³

− +24 k⋅ ⋅x+24 x⋅ =0

→ für alle x

f1 k( ,−x)−f1 k x( , )=0auflösen k, →−1 Für k = -1 ist die Funktion achsensymmetrisch.

∞

∞ x ∞

f1 k x( , ) lim

→

∞

→

∞

∞ x −

f1 k x( , ) lim

→

∞

(3) Grenzverhalten:

→ Sei ab jetzt sei k = 3/2

(4) Monotonie:

f1d x( ) f1 3 2,x

 



 



2

3 ⋅x⁴ 10

3 ⋅x³−2 x⋅ ²−30 x⋅ −36 +

→

:= mit BP bei -3

xn₂ xn₂ 3 2

 



 

:=



xn₃ xn₃ 3

2

 



 

:=



Nullstellen: xn^T =(3 −2 −3 −3)

Lösungen:

(1) f1 k x( , ) 2

3⋅x⁴ 4 3 ⋅x³⋅k

+ 4

3⋅x³

+ 8

3 ⋅k⋅x²

+ −6 x⋅ ²−12 k⋅ ⋅x−12 x⋅ −24 k⋅ :=

(1) Nullstellen:

Finde xn₀:= 3

Polynomdivision f1r k x( , ) f1 k x( , )

x−xn₀ vereinfachen 2

3⋅x³ 4 3 ⋅k⋅x²

+ 10

3 ⋅x²

+ + 4 x⋅ 20

3 ⋅k⋅x

+ +8 k⋅

→ :=

Finde xn₁:= −2

Polynomdivision f1r k x( , ) f1r k x( , )

x−xn₁ vereinfachen 2

3 ⋅x²+2 x⋅ 4 3⋅k⋅x

+ +4 k⋅

→ :=

D k( ) 2 4 3k



+

 

 



2 4 2

⋅ 3 ⋅4k

− vereinfachen

faktor

4

9⋅(2 k⋅ −3)²

→ :=

xn₂( )k

2 4 3k



+

 

 

−



2

3 ⋅(2 k⋅ −3)

−

2 2

⋅ 3

−2⋅k

→

:= xn₃( )k

2 4 3k



+

 

 

−



2

3 ⋅(2 k⋅ −3) +

2 2

⋅ 3

−3

→ :=

f1 k x( , ) faktor 2

3 ⋅(x−3)⋅(x+3)⋅(x+2)⋅(x+ 2 k⋅ )

→

Falls 2k = 3, -3, -2 gibt es Berührpunkte, sonst nur SP

(2) Symmetrie:

(3)

ye

0 71.098

− 0.527

 



 

=



ye f1d xe( )

→ := 

Max bei -2.347, Min bei -3 und 1.597 Aus dem Monotonieverhalten (4) =>

1.Ableitung von f(x)

(5) Extrempunkte:

1.597≤x smost für

2.347≤x≤1.597 smofa für

−3≤x≤−2.347 smost für

x≤−3 Der Graph von f1 ist smofa für

=>

fallen steigen fallen steigen Skizze der 1. Ableitung:

5 4 3 2 1 0 1 2 3

30 20 10 f1da xx( )

xx xe

−3 1.597

2.347

−

 



 

=



xe f1da x( ) =0 auflösen x,

−3

−3 8

1 8 249

1

⋅ 2 +

−3 8

1 8 249

1

⋅ 2

−

 

 



 

 



→ :=

f1dr x( ) f1d x( )

x−xe₀ vereinfachen 2

3 ⋅x³ 4

3⋅x²−6 x⋅ −12 +

→ :=

xe₀:= −3 Setze sofort

f1da x( ) x

f1d x( ) d d

8

3 ⋅x³+10 x⋅ ²−4 x⋅ −30

→ :=

1.Ableitung:

 

(4)

yw −41.631 0.256

 



 

=



yw f1d xw( )

→ := 

=> WP existieren!

f1daaa xw( ) 22.978 22.978

−

 



 

=



f1daaa x( ) x

f1daa x( ) d

d

16 x⋅ + 20

→ :=

3. Ableitung:

oder benutze die xw₁

xw₀ und Aus dem Krümmungsverhalten: VZW der 2. Ableitung bei

(7) Wendepunkte:

xw₁≤x −5 4

1 4 33

1

⋅ 2

− ≤x

→ konvex (rechtsgekrümmt) für

xw₀≤x≤xw₁ konkav (linkssgekrümmt) für

x≤xw₀ x −5 4

1 4 33

1

⋅ 2 +

≤

→ Der Graph von f1 ist konvex (rechtsgekrümmt) für

=>

Skizze der 2. Ableitung:

4 3 2 1 0 1

20 f1daa xx( )

xx

xw f1daa x( )=0auflösen x,

−5 4

1 4 33

1

⋅ 2 +

−5 4

1 4 33

1

⋅ 2

−

 

 



 

 



→ :=

f1daa x( ) x

f1da x( ) d

d :=

2.Ableitung:

(6) Krümmungsverhalten:

(5)

(8) Wertetabelle, Graph:

xs:= −4,−3.99..4

i:= 0 8.. xz_i:= i−4 xz^T =(−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4)

yz_i^:= f1d xz

( )

_i ^yz^T =

(

^{9.333 0} ⁻^5.329^×¹⁰⁻¹⁵ ⁻^10.667 ⁻³⁶ ⁻⁶⁴ ⁻^66.667 ^{0 196}

)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

80 60 40 20 f1d xs( )

ye yw

xs xe, ,xw

(6)

f2 ist monoton zunehmend in R \ ] xe₀ ; xe₁ [ f2 ist monoton abnehmend in [ xe₀ ; xe₁ ] Sei xe₀ < xe₁:

xe k( ) f2a k x( , )=0 auflösen x,

−4

3 ⋅k 5 + 3 1

3

(

16 k⋅ ²+ 20 k⋅ +7

)

1 2

⋅ +

−4

3 ⋅k 5 3

1

3

(

16 k⋅ ²+20 k⋅ +7

)

1 2

⋅

− +

 

 

 

 

 

 

→ :=

=> D(k) > 0 für alle k!

Dk 45² 4 36⋅ 63

⋅ 4

− → −243

:=

D k( ) 6 k⋅ 15

− 2

 



 



2 4 9

⋅ 4 9

2 −15 k⋅

 



 

⋅



− vereinfachen 36 k⋅ ²+45 k⋅ 63 + 4

→ :=

f2a k x( , ) x

f2 k x( , ) d

d

9

4 ⋅x² 6 k⋅ ⋅x 15 2 ⋅x

− −15 k⋅

+ 9

+ 2

→ :=

1.Ableitung von f(x)

(4) Monotonie:

(3) Grenzverhalten:

∞∞

∞∞ x −

f2 k x( , ) lim

→

∞∞

−

→

∞∞

∞∞ x

f2 k x( , ) lim

→

∞∞

→

Keine Symmetrie erkennbar

⇒⇒

⇒⇒ weder f(k,x) noch -f(k,x)

f2 k( ,−x)−f2 k x( , ) vereinfachen −3

2 ⋅x³+ 30 k⋅ ⋅x−9 x⋅

→

(2) Symmetrie:

^{f2 k}⁽ ^,⁻^x⁾⁺^{f2 k x}⁽ ^, ⁾ vereinfachen 6 k⋅ ⋅x² 15 2 ⋅x²

− + 36 k⋅

→ f2 k x( , ) faktor 3

4 ⋅(x−2)⋅(x−3)⋅(x+4 k⋅ )

→ Linearfaktorzerlegung:

xn₂( )k

9

−4 +3k

 



 

−



3

4 ⋅(4 k⋅ +3) +

2 3

⋅ 4

→ 3 :=

xn₁( )k

9

−4 +3k

 



 

−



3

4 ⋅(4 k⋅ +3)

−

2 3

⋅ 4

−4⋅k

→ :=

D k( ) 9

−4 + 3k

 



 



2 4 3

⋅ 4 ⋅(−9k)

− vereinfachen

faktor

9

16⋅(4 k⋅ + 3)²

→ :=

f2r k x( , ) f2 k x( , )

x−xn₀ vereinfachen 3

4⋅x² 9 4⋅x

− +3 k⋅ ⋅x−9 k⋅

→ :=

Polynomdivision xn₀:= 2 Finde

(1) Nullstellen:

f k x( , ) 3

4⋅x³+3 k⋅ ⋅x² 15 4 ⋅x²

− −15 k⋅ ⋅x 9 2 ⋅x

+ + 18 k⋅ :=

(2)

(7)

3 2 1 0 1 2 3 4

10 5 5 10

f2 k xs( , ) ye k( ) yw k( )

xs xe k, ( ),xw k( )

yz^T =(−22.5 0 9 9 4.5 0 0 9 196) yz_i^:= f2 k xz

(

, _i

)

xz^T =(−3 −2 −1 0 1 2 3 4 4) xz_i:= i−3

i:= 0 7..

k:= 0.5 xs:= −3,−2.99..4

(8) Wertetabelle, Graph:

yw k( ) f2 k xw k( , ( ))

→



:=

> 0, also existiert der WP x

f2aa k x( , ) d

d

9

→ 2 Aus (6) oder

(7) Wendepunkte:

xw k( ) ≤x und konkav (links) für

x≤xw k( ) f2 ist konvex (rechtsgekr.) für

xw k( ) f2aa k x( , )=0auflösen x, −4 3 ⋅k 5

+ 3

→ :=

f2aa k x( , ) x

f2a k x( , ) d

d

vereinfachen 9

2 ⋅x 6 k⋅ 15

− 2 +

→ :=

2. Ableitung:

(6) Krümmungsverhalten:

ye k( ) f k xe k( , ( ))

→ := 

Aus (4) => Das linke (xe₀) Extremum ist ein Max (steigen -> fallen), das rechte (xe₁) ein Min (fallen -> steigen)

(5) Extrempunkte:

(8)

Grenzverhalten