Übungen zur Kurvendiskussion (3) - Gleichung aus Eigenschaften Aufgaben:

MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_3.mcd

Übungen zur Kurvendiskussion (3) - Gleichung aus Eigenschaften

Aufgaben:

(1) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der Graph geht durch (-3 / 2) und hat dort die Steigung -2. Außerdem schneidet er die Abszisse bei 1.

(2) Gesucht wird die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vom Grade 3, die die folgenden Eigenschaften aufweist: Der Graph hat in (2

3 / 56

27 ) seinen Wendepunkt. Er hat eine Nullstelle bei 1 sowie die Wendenormale: y 3

19x 1010 + 513

= .

(3) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der achsensymmetrische Graph berührt die Abszisse bei 2 und schneidet die Ordinate bei 4.

(4) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der Graph berührt die Abszisse bei 1 und besitzt bei x = -1 die Wendenormale: 17+ x+ 4y=0

c:= c b:= b

a:= a

3 2 1 0 1 2 3

1 1 2 3 4

f k

(

₀,k₁,k₂,x

)

x

f k

(

₀,k₁,k₂,x

)

³

8⋅x² 1 4⋅x 5

− 8 +

→

⇒

⇒

⇒

⇒ k Suchen a b( , ,c)

3 8 1 4

−5 8

 

 

 



 

 

 



→ :=

a+ b+ c=0

−6⋅a+ b=−2 9 a⋅ −3 b⋅ + c=2 Vorgabe

c:= 0 b:= 0

a:= 0

(III) f a b( , ,c,1)=0→a+b+ c=0

fa a b( , ,c,−3)=−2→−6⋅a+b=−2 (II) f a b( , ,c,−3) =2→ 9 a⋅ −3 b⋅ + c=2 (I) fa a b( , ,c,x)

xf a b( , ,c,x) d

d vereinfachen →2 a⋅ ⋅x+b :=

f a b( , ,c,x):= a x⋅ ²+b x⋅ + c

(1) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der Graph geht durch (-3 / 2) und hat dort die Steigung -2. Außerdem schneidet er die Abszisse bei 1.

Lösungen:

d:= d c:= c

b:= b a:= a

3 2 1 0 1 2 3 4

20 10 10 20

f k

(

₀,k₁,k₂,k₃,x

)

x

f k

(

₀,k₁,k₂,k₃,x

)

^{→x3−2 x⋅ 2−5 x⋅ +6}

⇒

⇒

⇒

⇒ k Suchen a b( , ,c,d)

1

−2

−5 6

 

 

 

 

 

 

→ :=

4 3⋅a 4

3 ⋅b

+ + c −19

= 3 4 a⋅ + 2 b⋅ =0

8

27⋅a 4 9 ⋅b

+ 2

3⋅c

+ +d 56

=27 a+ b+ c+d=0

Vorgabe

d:= 0 c:= 0

b:= 0 a:= 0

fa a b, ,c,d 2 (IV) ,3

 



 



−19

= 3 4

3 ⋅a 4 3⋅b

+ + c −19

= 3

→

(III) faa a b, ,c,d 2

,3

 



 



^{=0→ 4 a⋅ +2 b⋅ =0}

f a b, ,c,d 2 (II) ,3

 



 



56

=27 8

27 ⋅a 4 9⋅b

+ 2

3 ⋅c

+ +d 56

= 27

→

f a b( , ,c,d,1)=0→a+b+ c+d=0 (I) faa a b( , ,c,d,x)

x

fa a b( , ,c,d,x) d

d

vereinfachen →6 a⋅ ⋅x+2 b⋅ :=

fa a b( , ,c,d,x) x

f a b( , ,c,d,x) d

d

vereinfachen →3 a⋅ ⋅x²+2 b⋅ ⋅x+c :=

f a b( , ,c,d,x):= a x⋅ ³+b x⋅ ²+c x⋅ +d

(2) Gesucht wird die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vom Grade 3, die die folgenden Eigenschaften aufweist: Der Graph hat in (2

3 / 56

27 ) seinen Wendepunkt. Er hat eine Nullstelle bei 1 sowie die Wendenormale: y 3

19x 1010 + 513

= .

ee:= ee d:= d

c:= c b:= b

a:= a

4 2 0 2 4

5 10 15

f k

(

₀,0,k₁,0,k₂,x

)

x

f k

(

₀,0,k₁,0,k₂,x

)

¹

4 ⋅x⁴−2 x⋅ ²+4

→

⇒⇒

⇒⇒ k Suchen a c( , ,ee)

1 4

−2 4

 

 

 

 

 

 

→ :=

32 a⋅ + 4 c⋅ =0 16 a⋅ + 4 c⋅ + ee=0 ee=4

Vorgabe

ee:= 0 c:= 0

a:= 0

(III) fa a 0( , ,c,0,ee,2)=0→32 a⋅ +4 c⋅ =0

f a 0( , ,c,0,ee,2)=0→16 a⋅ +4 c⋅ +ee=0 (II) f a 0( , ,c,0,ee,0)=4→ee=4 (I)

b=d=0 Symmetrie:

fa a b( , ,c,d,ee,x) x

f a b( , ,c,d,ee,x) d

d

vereinfachen →4 a⋅ ⋅x³+ 3 b⋅ ⋅x²+ 2 c⋅ ⋅x+ d :=

f a b( , ,c,d,ee,x):= a x⋅ ⁴+b x⋅ ³+c x⋅ ²+d x⋅ +ee

(3) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der achsensymmetrische Graph berührt die Abszisse bei 2 und schneidet die Ordinate bei 4.

4 3 2 1 0 1 2 3

10 5 5 10

f k

(

₀,k₁,k₂,k₃,k₄,x

)

x

f k

(

₀,k₁,k₂,k₃,k₄,x

)

¹

4 ⋅x⁴ 3 2 ⋅x²

− 2 x⋅ 3

− 4 +

→

⇒

⇒

⇒

⇒ k Suchen a b( , ,c,d,ee)

1 4 0

−3 2 2

−3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→ :=

a−b+c−d+ee=−4

−4⋅a+ 3 b⋅ −2 c⋅ + d=4 12 a⋅ −6 b⋅ + 2 c⋅ =0 4 a⋅ + 3 b⋅ + 2 c⋅ + d=0 a+ b+ c+d+ee=0 Vorgabe

ee:= 0 d:= 0

c:= 0 b:= 0

a:= 0

f a b( , ,c,d,ee,−1)=−4→a−b+ c−d+ ee=−4 (V)

⇒

⇒

⇒

⇒ 17−1+4y=0

fa a b( , ,c,d,ee,−1)=4→−4⋅a+3 b⋅ −2 c⋅ +d=4 (IV) (III) faa a b( , ,c,d,ee,−1)=0→12 a⋅ −6 b⋅ + 2 c⋅ =0 fa a b( , ,c,d,ee,1) =0→4 a⋅ +3 b⋅ + 2 c⋅ + d=0 (II) f a b( , ,c,d,ee,1) =0→a+b+c+d+ee=0 (I) faa a b( , ,c,d,ee,x)

xfa a b( , ,c,d,ee,x) d

d vereinfachen → 12 a⋅ ⋅x²+6 b⋅ ⋅x+ 2 c⋅ :=

fa a b( , ,c,d,ee,x)

xf a b( , ,c,d,ee,x) d

d vereinfachen →4 a⋅ ⋅x³+ 3 b⋅ ⋅x²+ 2 c⋅ ⋅x+ d :=

f a b( , ,c,d,ee,x):= a x⋅ ⁴+b x⋅ ³+c x⋅ ²+d x⋅ +ee

(4) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die folgende Eigenschaften aufweist:

Der Graph berührt die Abszisse bei 1 und besitzt bei x = -1 die Wendenormale: 17+ x+ 4y=0