MK 4.6.2003 Kurvendisk_Pol_Ueb_2.mcd
Übungen zur Kurvendiskussion (2)
Aufgaben:
(1) Wie lautet die Gleichung der Wendenormalen der folgenden Funktion f x( ) 1
6 ⋅x3−x2+x −2 :=
(2) Bestimmen Sie die Parameter c und d so, dass f c d( , ,x) 1
4 ⋅x4+ x3 1 3⋅x3⋅c
− 3
2 ⋅x2⋅c
− +d
:=
in (2 / 1) einen Extrempunkt besitzt.
Bestimmen Sie die restlichen Extrempunkte und Wendepunkte.
Skizzieren Sie den Graphen von f(c,d,x).
(3) Gegeben ist die zusammengesetzte Funktion f(p,x). Bestimmen Sie p so, dass f überall stetig ist und bestimmen Sie die absoluten Extrempunkte von f. Skizzieren Sie den Graphen von f.
f1 p x( , ):= x3+ 5 x⋅ 2+7 x⋅ +3 für −4≤x≤1
f2 p x( , ):= −x2+p x⋅ −5 für 1<x≤6
Minimum
f cc dd( , ,epx)
6.333 9.417
− 1
= Minimum
faa epx( )
−6 15 10
epx = 0
−3 2
=
Maximum faa x( )
xfa cc dd( , ,x) d
d vereinfachen →3 x⋅ 2+2 x⋅ −6 :=
epx fa cc dd( , ,x)=0 auflösen x, 0
−3 2
→ :=
fa cc dd( , ,x)→x3+ x2−6 x⋅
dd f cc d( , ,2)=1auflösen d, 19
→ 3 :=
f cc d( , ,2) −16 3 + d
→
cc:= fa c d( , ,2)=0 auflösen c, →2 fa c d( , ,2)→20−10 c⋅
fa c d( , ,x)
xf c d( , ,x) d
d vereinfachen →x3+3 x⋅ 2−c x⋅ 2−3 c⋅ ⋅x :=
Bestimmen Sie die Parameter c und d so, dass f c d( , ,x) 1
4 ⋅x4+ x3 1 3 ⋅x3⋅c
− 3
2⋅x2⋅c
− +d
:=
in (2 / 1) einen Extrempunkt besitzt.
Bestimmen Sie die restlichen Extrempunkte und Wendepunkte.
Skizzieren Sie den Graphen von f(c,d,x).
(2)
g x( ) mn⋅x+ t x 14
− 3
→ :=
Normale:
⇒
⇒
⇒
⇒
t wpy=mn⋅wpx+tauflösen t, −14
→ 3 wpy f wpx( ) −8 :=
→ 3 mn −1 :=
fa wpx( ) → 1 :=
<>0, d.h. der Wendepunkt existiert.
faaa x( )
xfaa x( ) d
d →1
:=
wpx:= faa x( )=0auflösen x, →2 faa x( )
xfa x( ) d
d vereinfachen → x−2 :=
fa x( )
xf x( ) d
d vereinfachen 1
2⋅x2−2 x⋅ + 1
→ :=
Wie lautet die Gleichung der Wendenormalen der folgenden Funktion f x( ) 1
6⋅x3−x2+x−2 :=
(1) Lösungen:
x:= x pp:= f1 p 1( , )=−6+p auflösen p, →22
0 h
f2 p 1( , +h) lim
→
−6+p
→ f1 p 1( , )→16
1<x≤6 f2 p x( , ):= −x2+p x⋅ −5 für
−4≤x≤1 f1 p x( , ):= x3+ 5 x⋅ 2+7 x⋅ +3 für
Gegeben ist die zusammengesetzte Funktion f(p,x). Bestimmen Sie p so, dass f überall stetig ist und bestimmen Sie die absoluten Extrempunkte von f. Skizzieren Sie den Graphen von f.
(3)
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
10 5 5
f cc dd( , ,x)
x x:= −5,−4.99..4
f cc dd( , ,wpx) 3.433 2.594
−
=
faaa wpx( ) 8.718 8.718
−
=
wpx 1.12 1.786
−
=
WP existiertWP existiert faaa x( )
x faa x( ) d d
6 x⋅ + 2
→ :=
wpx faa x( )=0auflösen x,
−1 3
1 3 19
1
⋅ 2 +
−1 3
1 3 19
1
⋅ 2
−
→ :=
0 h
f1aa 1( −h) lim
→
→16 RS:
0 h
f2aa 1( +h) lim
→
−2
→ Ein VZW der 2. Ableitung ergibt einen Wendepunkt!
Ränder: f1a(−4)→15 ⇒⇒⇒⇒ Randminimum f1 pp( ,−4)=−9 ⇒⇒⇒⇒ Absoltes Minimum f2a 6( ) →10 ⇒⇒⇒⇒ Randmaximum f2 pp 6( , )=91 ⇒⇒⇒⇒ Absoltes Maximum
x1:= −4,−3.99..1 x2:= 1 1.01, ..6
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
20 40 60 80 100
f1 pp x1( , ) f2 pp x2( , )
x1 x2, f1a x( )
xf1 pp x( , ) d
d vereinfachen → 3 x⋅ 2+10 x⋅ +7 :=
f2a x( )
xf2 pp x( , ) d
d vereinfachen → −2⋅x+22 :=
ep1x f1a x( ) =0 auflösen x,
−7 3
−1
→
:= ep2x:= f2a x( ) =0 auflösen x, → 11 ∉∉∉∉ D
f1aa x( )
xf1a x( ) d
d →6 x⋅ + 10
:= f2aa x( )
xf2a x( ) d
d →−2
:=
Maximum Minimum ep1x −2.333
−1
=
f1aa ep1x( ) −4 4
=
f1 pp ep1x( , ) 1.185 0
=
wp1x f1aa x( ) =0 auflösen x, −5
→ 3
:= f2aa x( ) ≠0 keine weiteren WP
f1aaa x( )
xf1aa x( ) d
d →6
:= Wendepunkt existiert f1 pp wp1x( , )=0.593
Noch ein Wendepunkt: Der Nahtpunkt.
LS: