Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 5, ohne Gew¨ahr, Seite 1 von 1
S 5.5.Berechnen Sie jeweils die Winkel zwischen den angegebenen Vektoren. Sie k¨onnen elektroni- sche Hilfsmittel benutzen, um die Umkehrfunktion arccos des Kosinus zu berechnen.
a) v= (1,0,1), w= (1,1,−1) in V =R3, Es isthv, wi= 0, also ist der Winkelπ/2 (bzw. 90 Grad).
b) v= (1,0,1), w= (1,1,−1) inV =R3 mit dem Skalarprodukt aus 5.1b),
hv, wi= 2 + 1 + 0 + 0−1 = 2, kvk= 2 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3, kwk= 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 7 cos(α) = hv, wi
kvkkwk = 2 3·7 = 2
21, d.h. α≈1,475.
c) v= (1,1,1), w= (1,1,−1) inV =R3,
hv, wi= 1 + 1−1 = 1, kvk=√
3, kwk=√ 3, arccos(α) = 1
3, d.h.α≈1,23
d) f(x) = sin(πx), g(x) =x+ 1 inV =C([0,1]) mit hf(x), g(x)i=R1
0 f(x)g(x)dx.
hv, wi= Z 1
0
sin(πx)(x+ 1)dx= Z 1
0
sin(πx)dx+ Z 1
0
sin(πx)x dx= 2 π + 1
π = 3 π, kvk=
s Z 1
0
(sin(πx))2dx= r1
2,
kwk= s
Z 1 0
(x+ 1)2dx= r7
3, α = arccos 3/π
p7/6
! .
S 5.6. Weisen Sie nach, dass die in Aufgabe 5.1 b) definierte Abbildung ein Skalarprodukt ist.
SP1 hv, wi= 2v1w1+v1w2+v2w1+ 2v2w2+v3w3= 2w1v1+w1v2+w2v1+ 2w2v2+w3v3 =hw, vi SP2 hλv, wi= 2λv1w1+λv1w2+λv2w1+ 2λv2w2+λv3w3 =λ(2v1w1+v1w2+v2w1+ 2v2w2+v3w3) =
λhv, wi,
SP3 hu+v, wi= 2(u1+v1)w1+ (u1+v1)w2+ (u2+v2)w1+ 2(u2+v2)w2+ (u3+v3)w3 = 2u1w1+ u1w2+u2w1+ 2u2w2+u3w3+ 2v1w1+v1w2+v2w1+ 2v2w2+v3w3 =hu, wi+hv, wi,
SP4 hv, vi= 2v21+ 2v1v2+ 2v22+v32 =v21+ 2v1v2+v22+v12+v22+v32 = (v1+v2)2+v12+v22+v32≥0, hv, vi= 0 ⇔ (v1+v2)2+v12+v22+v23 = 0 ⇔ (v1+v2)2 = 0, v12 = 0, v22 = 0, v32= 0 ⇔ v= 0.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
