Prof. Carsten Lutz/Dr. Stefan G¨ oller/Dr. Thomas Schneider SS 2011
Theoretische Informatik 2 Gewertete Aufgaben, Blatt 6
Abgabe bis 4. 7. 11 ins Postfach Ihres Tutors/Ihrer Tutorin Besprechung: KW 27
1. (15 %) Gegeben ist die DTM A = ({q
0, q
1, q
2}, {a}, {a, 6 b}, q
0, ∆, {q
2}) mit
∆ : q
0a a r q
1q
1a a r q
0q
06 b a n q
0q
16 b 6 b n q
2sowie die Eingabe w = a. Geben Sie das MPKP f(A, w) an, wobei f die aus der Vorlesung bekannte Reduktion des Halteproblems auf das MPKP ist. Geben Sie außerdem eine L¨ osung von f (A, w) an.
2. (35 % = 10 % + 10 % + 15 %) Zeigen Sie, dass f¨ ur beliebige L, L
0⊆ Σ
∗gilt:
a) Wenn L ∈ P und L
0∈ P, dann L ∪ L
0∈ P.
b) Wenn L ∈ P und L
0∈ P, dann L · L
0∈ P.
c) Wenn L ∈ P, dann L
∗∈ P.
(Hinweis: verwenden Sie dynamisches Programmieren, um in polynomieller Zeit nacheinander f¨ ur alle Teilw¨ orter der Eingabe zu testen, ob sie in L
∗sind.)
3. (20 % = 2 × 10 %) Begr¨ unden oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
Dabei sind L, L
0, L
00⊆ Σ
∗beliebig.
a) Wenn L ≤
pL
0and L
0≤
pL
00, then L ≤
pL
00.
b) Wenn L ≤
pL
0und L
0∈ PSPACE, dann L ∈ PSPACE.
4. (30 % = 3× 10 %) Zeigen Sie, dass die folgenden Probleme in NP sind. Ar- gumentieren Sie analog zum Beweis aus der Vorlesung, dass SAT in NP ist.
In (a), (b) wird angenommen, dass nat¨ urliche Zahlen bin¨ ar kodiert sind.
Sie d¨ urfen verwenden, dass Addition, Multiplikation und Teilbarkeitstest nat¨ urlicher Zahlen in polynomieller Zeit ausgef¨ uhrt werden k¨ onnen.
a) A = {n ∈ N | n ist keine Primzahl}
b) B = {a
1, . . . , a
n, b ∈ N | ∃J ⊆ {a
1, . . . , a
n} : X
ai∈J
a
i= b}
1c) C = {Graph G = (V, E ) | G ist 3-f¨ arbbar}
Ein Graph heißt 3-f¨ arbbar, wenn es eine Abbildung f : V → {r, g, b} gibt, so dass f¨ ur jede Kante (u, v) ∈ E gilt: f (u) 6= f (v).
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