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Universit¨ at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2018 Dr. D. Huynh

Blatt 2 Aufgabe 6

Es seien H

1

, H

2

Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen oder widerlegen Sie (a) H

1

∪ H

2

ist stets eine Untergruppe von G

(b) H

1

∩ H

2

ist stets eine Untergruppe von G.

Aufgabe 7

Es sei K ein K¨ orper.

(a) Zeigen Sie

0 6= 1.

(b) Zeigen Sie: K ist nullteilerfrei.

(c) Geben Sie einen Ring an, der Nullteiler hat.

Aufgabe 8

Geben Sie einen Gruppenhomomorphismus von ( R , +) nach ( R

, ·) an.

Aufgabe 9

Es sei ϕ : V → W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorr¨ aumen. Zeigen Sie (a) Imϕ ist ein Untervektorraum von W .

(b) ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {0}.

Aufgabe 10

Welche der folgenden Teilmengen des Q

3

sind Untervektorr¨ aume des Q

3

? (a) M

1

= {(x, y, z)|xy − z = 0}

(b) M

2

= {(x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}

(c) M

3

= {(x, y, z)|x

2

+ y

4

= 0}

(d) M

4

= {(x, y, z)|x + 2y = 3z}?

Weisen Sie die Richtigkeit Ihrer Antworten nach.

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