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Numerik Partieller Differentialgleichungen, Sommersemester 2011/2012 Aufgabenblatt 4

Prof. Peter Bastian Abgabe 23. Mai 2012

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 OPERATOR AUFHILBERTRAUM

SeiH ein Hilbertraum undY ein abgeschlossener Teilraum. Die AbbildungP : H → Y ist f ¨ur jedesv∈Hdefiniert durch:

∀y∈Y : (P(v), y) = (v, y).

Zeigen Sie:

1. P ist linear und stetig.

2. F ¨urv∈Hgilt

kP(v)−vk= min

y∈Y ky−vk

(Verwenden Sie hierzu das Lemma vonLax-Milgramund den zugeh ¨origenCharakterisierungs- satz).

5 Punkte

U¨BUNG2 PROJEKTIONEN

SeiY der Unterraum eines VektorraumesX. Die lineare AbbildungP :X →Xheißt Projektion aufY, falls

P² =P und Im(P) =Y.

Zeigen Sie:

1. P ist Projektion genau dann, wennP :X→Y undP =IaufY. 2. IstPProjektion, dann giltX =Ker(P)⊕Im(P).

3. Die AbbildungP aus Aufgabe 1 ist eine Projektion.

5 Punkte

U¨BUNG3 SATZ VONRIESZ (KONSTRUKTIV)

Zeigen Sie: SeiHein Hilbert-Raum, dann existiert f ¨ur jedesL∈H⁰genau einu∈H, so dass

∀v∈H:L(v) = (u, v)

und es istkLk_H⁰ =kuk_H. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

1. Zeigen Sie zun¨achst unter Annahme der Existenz, die Eindeutigkeit vonu.

2. SeiM ={v∈V|L(v) = 0}. Zeigen Sie, dass dannM^⊥ein eindimensionaler Unterraum vonH ist (oderL= 0gilt) und außerdemH =M⊕M^⊥.

3. Zeigen Sie, dass f ¨urz∈M^⊥der Vektorugem¨aß u= L(z)

kzk²_Hz

bestimmt werden kann und damit dann auch den Rest der Behauptung.

5 Punkte U¨BUNG4 LINEAREOPERATOREN

1. SeienU, V normierte Vektorr¨aume undT :U →V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dassT genau dann stetig ist, wenn

∃C∈R:∀u∈U :kT(u)k ≤Ckuk.

2. Die reellen trigonometrischen Polynome habe die Form

t(x) =a₀+

∞

X

n=1

a_ncosnx+b_nsinnx

mitan, bn ∈R. SeiXder Raum aller reellen trigonometrischen Polynome aufΩ = (−π, π)mit endlicher Norm

ktk= Z π

−π

|t(x)|dx.

(a) Zeigen Sie, dass die Ableitung _∂x^∂ einen linearen Operator vonXnachXdarstellt.

(b) Zeigen Sie, dass dieser Operator nicht beschr¨ankt und damit auch nicht stetig ist.

(c) Es istX ⊂H¹(Ω)und es soll nun_∂x^∂ :H¹(Ω)→L₂(Ω)betrachtet werden. Zeigen Sie, dass die Ableitung unter diesen Umst¨anden einen stetigen Operator darstellt.

5 Punkte