Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12

Aufgabenblätter: 11 13. Jänner 2012 Grundbegriffe der Mathematik, WS11/12

1. Aufgabenblatt vom 7.10.2011

1. (Formalisierung von Aussagen) Es seien A; B; C Aussagen. Formalisieren Sie die folgenden umgangs- sprachlichen Formulierungen: a) „ A oder B ist falsch.“ b) „ A und B schließen einander aus.“ c) „Weil sowohl A als auch B nicht gilt, muß C zutreffen.“.

2. (Formalisierung von Aussagen ) Es seien p und q Aussagen und P (x) , Q(x) Aussageformen. Drücken Sie die folgenden umgangssprachlichen Konstrukte durch logische Verknüpfungen und Quantoren aus.

a) „Wenn p gilt, dann gilt auch q ; und wenn p nicht gilt, so gilt ebenfalls q .“

b) „Wenn für ein x die Aussage P (x) wahr ist, so muß notwendigerweise Q(x) gelten.“

c) „ Q(x) und P (x) können nicht gleichzeitig zutreffen.“

3. (Mehrere Quantoren ) Es sei P (x; y) eine Aussageform mit zwei freien Variablen x; y . Formalisieren Sie die folgenden Behauptungen, bilden Sie ihre Negation und drücken Sie diese umgangssprachlich aus.

a) „Zu jedem x existiert ein y , so daß P (x; y) nicht zutrifft.“

b) „Es gibt ein x, so daß P (x; y) für alle y gilt.“

c) „Wenn zu jedem y ein x existiert, so daß P (x; y) zutrifft, so gibt es auch zu jedem x ein y , so daß P (x; y) gilt.“

4. (Logische Struktur mathematischer Sätze) Verwenden Sie Aussageformen und Quantoren zur For- malisierung der folgenden (gültigen) mathematischen Sätze. Identifizieren Sie dazu die freien Variablen, und verwenden Sie geeignete Aussageformen anstelle der mathematischen Begriffe.

Beispiel: „Jede auf der ganzen komplexen Ebene holomorphe Funktion, die beschränkt ist, ist konstant.“ Freie Variable f , Aussageform H(f) ( f ist eine auf der ganzen komplexen Ebene defi- nierte holomorphe Funktion.), B(f) ( f ist eine beschränkte Funktion.), K(f) ( f ist eine konstante Funktion). Dann lautet die Behauptung:

8f : (H(f) ^ B(f) =) K(f))

a) „Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.“

b) „Wenn a; b; c reelle Zahlen sind mit der Eigenschaft b ² 4ac > 0 , so hat die Gleichung ax ² + bx + c = 0 eine reelle Lösung“.

c) „Jede stetige Funktion f : [0; 1] ! R mit f(0)f(1) < 0 hat eine Nullstelle.“

2. Aufgabenblatt vom 14.10.2011

5. Gilt allgemein (p =) q ^ r) () (p =) q) ^ (p =) r) ? 6. (Rechenregeln für Mengenoperationen)

Sei X eine Menge und A; B; C Teilmengen von X . Zeigen Sie folgende Mengengleichheiten:

a) (A [ B) ^c = A ^c \ B ^c ,

b) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) , c) A \ A ^c = ;.

7. Zeigen Sie: n 2 N n ist ungerade = m 2 N m ² ist ungerade .

8. (Potenzmenge der leeren Menge) Geben Sie die Mengen P(;) und P(P(;)) explizit an.

9. Gibt es eine Funktion f : R ! R mit f(x) = 8 <

:

2x , wenn x 0

3x + 1 , wenn x 0 ?

10. Geben Sie eine Erweiterung von f : R n f 1g ! R , x 7! _x+1 ¹ , auf ganz R an, und zwar so, daß die Erweiterung surjektiv und invertierbar ist. Berechnen Sie die Inverse. Welche Eigenschaft(en) von f benötigt man zur Konstruktion einer derartigen Erweiterung?

11. a) Es seien X; Y Mengen, f : X ! Y eine Abbildung und A; B 2 P(Y ) . Begründen Sie die Rechen- regeln f ¹ (A \ B) = f ¹ (A) \ f ¹ (B) und f ¹ (A [ B) = f ¹ (A) [ f ¹ (B) und, wenn zusätzlich A B, f ¹ (A) f ¹ (B).

b) Geben Sie für X = Y = f1; 2; 3; 4g ein Beispiel für eine Funktion g : X ! Y und zwei Teilmengen A; B von Y mit A ( B , so daß g ¹ (A) = g ¹ (B) .

12. Es sei X eine nichtleere Menge und x 0 2 X . Untersuchen Sie die Funktion ': P(X) ! P(X) , A 7!

A4fx ₀ g, hinsichtlich der Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Dabei könnte es

sinnvoll sein, zunächst zu untersuchen, wie '(A) aussieht, wenn x ₀ 2 A bzw. x ₀ 62 A . Wie sieht die

Abbildung ' ' aus?

4. Aufgabenblatt vom 29.10 und 4.11.2011

13. Es seien U; V; W; X Mengen. Ferner seien f : U ! V , g : V ! W und h: W ! X Funktionen.

a) Dann sind h (g f) und (h g) f Funktionen mit Definitionsbereich U und Wertebereich X . Zeigen Sie, daß diese beiden Funktionen gleich sind.

b) Beweisen Sie, daß für alle Teilmengen A von U und alle Teilmengen C von W gilt:

(i) (g f)(A) = g(f(A)) (ii) (g f) ¹ (C) = f ¹ (g ¹ (C))

c) Für A U sei j _A : A ! U die Einbettung von A in U . Dann ist offensichtlich f _A = f j _A . Zeigen Sie, daß für alle Teilmengen B von V gilt: (f _A ) ¹ (B) = f ¹ (B) \ A .

14. Es sei I := fy 2 R 1 < y und y < 1g . Für x 2 R sei der Absolutbetrag jxj definiert durch jxj = x , wenn x 0 , und durch jxj = x , wenn x < 0 .

a) Zeigen Sie, daß x

1 + jxj 2 I für alle x 2 R .

b) Daher ist f : R ! I, f(x) = _1+jxj ^x , wohldefiniert. Zeigen Sie, daß f bijektiv ist.

c) g : R ! R sei gegeben durch x 7! _1+x ^x

. Bestimmen Sie das Bild g(R) von R unter g . (Hinweis:

Schulwissen über quadratische Gleichungen )

15. Es sei A := f1; 2; 3; 4g und M := P(A) n fAg . Dann ist eine Halbordung auf M . Bezüglich dieser Ordnung hat M ein Minimum und mehrere maximale Elemente. Bestimmen Sie diese.

16. Es seien A und B nichtleere Mengen und : A B ! A die Projektion auf A . Finden Sie eine Rechtsinverse zu .

17. Die Teilmengen A und B von N seien gegeben durch A := f3; 4; 5; 6; 7; 10; 12; 15g und B := f3; 4; 5; 7g .

Für alle n 2 A sei B n := fm 2 B : m teilt ng und C n := fk 2 B n : k ist ein maximales Element von B n g .

Zeigen Sie, daß f(n; m) 2 A B : n 2 A und m 2 C _n g der Graph einer Funktion f : A ! B ist. Be-

stimmen Sie f ¹ (f5g) und f ¹ (f4g) . Ist f injektiv (surjektiv)?

18. Eine Menge R nichtleerer Teilmengen einer gegebenen Menge M heißt Partition von M , wenn es zu jedem x 2 M genau eine Menge R 2 R gibt, so daß x 2 R.

a) Zeigen Sie: Ist eine Äquivalenzrelation auf M , so ist M= eine Partition von M .

b) Es sei R eine Partition von M . Für x; y 2 M definiere man x y :() 9R 2 R x; y 2 R . Zeigen Sie, daß eine Äquivalenzrelation auf M ist.

c) Auf Z ist durch x y :() x y ist gerade eine Äquivalenzrelation definiert. Bestimmen Sie die zugehörige Partition.

19. Es sei b 2 B und es sei f : A ! A B definiert durch f(a) := (a; b) . Bestimmen Sie eine Linksinverse

zu f .

6. Aufgabenblatt vom 18.11.2011

20. Es sei g : R ! R wie in Aufgabe 14c. Zeigen Sie, daß f(x; y) 2 R R g(x) = g(y)g eine Äquivalenzre- lation auf R darstellt, und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.

21. Auf der Menge Z (Z n f0g) sei folgende Relation definiert:

(a; b) (c; d) :, ad = bc:

Zeigen Sie, daß eine Äquivalenzrelation definiert.

22. Zeigen Sie mit direkten Beweisen:

a) Die Summe gerader Zahlen ist gerade.

b) Das Produkt ungerader Zahlen ist ungerade.

23. Zeigen Sie mit indirekten Beweisen:

a) Es sei < die übliche „echt kleiner“-Relation auf Z . Dann folgt aus x 6= y , daß x < y oder y < x .

b) Es gibt keine ganzen Zahlen a; b für die gilt: 28a + 42b = 100.

24. Es sei M eine nichtleere Menge. Für A; B 2 P(M) sei A B :() A \ B = ; . Untersuchen Sie diese Relation auf die Eigenschaften Symmetrie, Antisymmetrie, Reflexivität und Transitivität.

Was ergibt sich im Fall M = ; ?

25. Zeigen Sie: Es existiert genau ein n 2 N , so daß n ² + (n + 1) ² = (n + 2) ² . 26. Zeigen Sie: Für alle x; y 2 R mit x; y > 0 gilt p x + y 6= p

x + py .

8. Aufgabenblatt vom 4.12.2011

27. Beweisen Sie durch (eine geeignete) Fallunterscheidung, daß für alle x 2 R gilt: 1 + x ⁴ > x .

28. Es seien X; Y nichtleere Mengen und f : X ! Y , g : Y ! X Abbildungen. Zeigen Sie: Aus f g = id _Y folgt, daß g injektiv ist und f surjektiv.

29. Es sei M eine Menge, es seien a; b 2 M und a 6= b . Zeigen Sie: Es existiert keine Totalordnung auf M , die symmetrisch ist.

30. Zeigen Sie: Für alle n 2 N gilt: ₁₂ ¹ + ₂₃ ¹ + ₃₄ ¹ + : : : + _n(n+1) ¹ = 1 _n+1 ¹

31. Beweisen Sie, daß für alle x 1 und alle n 2 N die Bernoullische Ungleichung gilt: (1+x) ⁿ 1+nx . 32. Beweisen Sie, daß für alle q 2 R n f1g und alle n 2 N gilt: ^{P n} _l=0 q ^l = q ⁿ⁺¹ 1

q 1 . Was ergibt sich für diese Summe, wenn q = 1 ?

33. Zeigen Sie, daß die Zahl 31 alle Zahlen a n := 6 ²ⁿ⁺¹ + 5 ⁿ⁺² , n 2 N , teilt.

34. Es sei n 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, daß es eine Primzahl p gibt, die n teilt.

Hinweis: Betrachten Sie die Menge A := fm 2 N : m 2; m teilt ng , zeigen Sie, daß sie nichtleer ist, und untersuchen Sie deren Minimum p .

35. Es sei M eine Menge und a; b 2 M . := _a;b : M ! M sei definiert durch (a) := b, (b) := a und (x) := x , wenn x 2 M n fa; bg .

a) Zeigen Sie, daß = id _M .

b) Verwenden Sie Aufgabe 28 zum Nachweis der Bijektivität von .

c) Es sei N eine weitere Menge, es sei u 2 N und f : N ! M eine Funktion, die injektiv bzw.

surjektiv bzw. bijektiv ist. Zeigen Sie, daß es eine injektive bzw. surjektive bzw. bijektive Funktion

g : N ! M gibt mit g(u) = a . (Hinweis: Versuchen Sie es mit g = a;b f und geeignetem b .)

10. Aufgabenblatt vom 19.12.2011 36. (Division mit Rest) Es sei d 2 N . Zeigen Sie:

Für alle n 2 N existiert ein q 2 N ₀ und ein r 2 f0; 1; : : : ; d 1g, so daß n = qd + r.

37. Die Funktion ': R R ! R sei definiert durch '(x; 0) := 0 und '(x; y) := ¹ ₃ (x + ³ _y ), wenn y 6= 0. Die Funktion b: N ! R habe die Eigenschaften b(1) = b(2) = 1 und b(n) = '(b(n 1); b(n 2)) für alle 2 < n 2 N . Zeigen Sie: Für alle n 2 N gilt: 1 b(n) ³ ₂ .

38. Die sogenannte Ackermann-Funktion A: N N ! N hat die Eigenschaften, daß für alle x; y 2 N gilt:

a) A(1; y) = y + 1 b) A(x + 1; 1) = A(x; 2) und c) A(x + 1; y + 1) = A(x; A(x + 1; y)) . Zeigen Sie: Für alle x; y 2 N gilt A(x; y) > y .

39. (Rentenrechnung) Wenn zu Beginn eines Jahres jeweils der Betrag r angelegt wird und mit dem Zinssatz p > 0 verzinst wird, so erfüllt der Wert W (n) dieser „Rente“ am Ende des Jahres n die Bedingungen W (1) = a(1 + ₁₀₀ ^p ) und W (n + 1) = (W (n) + a)(1 + ₁₀₀ ^p ) .

Finden Sie eine explizite Formel für W (n).

40. Zeigen Sie: Zu jeder unendlichen Menge X existiert eine injektive Abbildung f : N ! X .

41. Zeigen Sie: Ist X eine unendliche und E eine endliche Menge, so sind X und X [E gleichmächtig.

42. Zeigen Sie: R und [0; 1) := fx 2 R : 0 x < 1g sind gleichmächtig.