1. Leiten Sie die Wellengleichung f¨ ur eine eindimensionale ebene Welle mit (

1. Leiten Sie die Wellengleichung f¨ ur eine eindimensionale ebene Welle mit (

=

= 0) aus den Maxwellschen Gleichungen f¨ ur den zeitharmonischen Fall her.

Betrachtet wird zun¨ achst Vakuum (κ = 0). Mit den gegeben Vereinfachungen folgt f¨ ur Maxwell- Gleichungen in Differentialform:

rot E = − jωµ H (1)

rot H = jωε E (2)

− ∂

∂z E

= − jωµH

∂

∂z H

= jωεE

(3)

∂

∂z E

= − jωµH

− ∂

∂z H

= jωεE

(4) Die Komponentenpaare { E

, H

} und { E

, H

} bilden jeweils eine unabh¨ angige L¨ osung. Sie bilden die beiden m¨ oglichen Polarisationen einer ebenen Welle. Durch Elimination einer der Feldkomponenten innerhalb der Komponentenpaare erh¨ alt man eine gew¨ ohnliche Differential- gleichung vom Typ einer Helmholtz-Gleichung:

∂

∂z

+ ω

µε

f (z) = 0 (5)

Wie lassen sich Leitf¨ ahigkeitsverluste ber¨ ucksichtigen?

Leitf¨ ahigkeitsverluste lassen sich mit einer komplexen Permittivit¨ at ber¨ ucksichtigen ε = ε + κ

jω (6)

Geben Sie die Zeitbereichsdarstellung der L¨ osung der skalaren Wellengleichung an.

L¨ osung der Helmholtz-Gleichung ist eine Superposition zweier Exponentialfunktionen

f (z) = C

e

+ C

e

(7)

Mit p = α+jβ = jk ergibt sich exemplarisch f¨ ur die Zeitbereichsdarstellung einer E

-polarisierten Welle

E

(z, t) = C

cos(ωt − kz)e

+ C

cos(ωt + kz)e

(8) H

(z, t) = 1

Z (C

cos(ωt − kz)e

+ C

cos(ωt + kz)e

) (9) 2. Gegeben sei die Welle E(z) = e

A

e

+ e

B

e

. Geben Sie Bedingungen an die

Faktoren A

und B

an, so dass die Welle ...

(a) ... linear polarisiert ist.

arg(A

) = arg(B

) (10)

(b) ... zirkular polarisiert ist.

|A

| = |B

| ∧ arg(A

) − arg(B

) = ± π

2 (11)

(c) ... elliptisch polarisiert ist.

| A

| = | B

| ∧ arg(A

) − arg(B

) = ± π

2 (12)

3. Geben Sie den Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem Phasor einer ebenen Welle an. Wie lautet der allgemeine Zusammenhang?

H = 1

Z ( n × E) (13)

bzw. die Maxwellschen Gleichungen

rot E = − jωµ H (14)

rot H = jωε E. (15)

F¨ ur die folgenden Teilaufgaben sei eine Welle gegeben, mit dem Phasor des elektrischen Feldes E(z) = E

e

e

. (16) 4. Wie h¨ angen Wellenvektor, Wellenzahl, Phasen- und D¨ ampfungskonstante vonein-

ander ab?

Die komplexe Wellenzahl k enth¨ alt die Leitungsverluste aus ε mit k = ω √

µε (17)

und l¨ asst sich in die Phasenkonstante (oder Ausbreitungskonstante)

β = { k } (18)

und in die D¨ ampfungskonstante

α = −{ k } (19)

aufspalten. Der Wellenvektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der Welle. Es gilt

k = k

e

+ k

e

+ k

e

(20) 5. Geben Sie das elektrische Feld der Welle im Zeitbereich an.

E(z, t) = { E · e

} = E

cos(ωt − { k } z)e

(21) 6. Geben Sie die Phase, die Periodendauer und die Amplitude der Welle an.

• Die Phase ist das Argument der Kosinusfunktion im Zeitbereich. Also:

ϕ = ωt − kz (22)

• Die Periodendauer ist definiert als T =

.

• Die Amplitude der Welle ist | E(z) · e

|.

7. Skizzieren Sie

(a) die Zeitabh¨ angigkeit der elektrischen Feldst¨ arke an der Stelle z = 0.

(b) die elektrische Feldst¨ arke in Abh¨ angigkeit von z f¨ ur den Zeitpunkt t = 0.

Beschriften Sie die Achsen.

0 pi 2 pi 3 pi 4 pi 5 pi

−E0 0

E0 (a)

(b)

8. Geben Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sowie den Feldwellenwider- stand in Abh¨ angigkeit von der Permittivit¨ at an.

v

= ∂ω

∂k

(23) Z =

µ

ε (24)

9. Geben Sie die Phasengeschwindigkeit und Wellenl¨ ange in Abh¨ angigkeit von der Phasenkonstante, sowie die Energiegeschwindigkeit an.

v

= ω

β (25)

λ = 2π

β (26)

v

= S

w

+ w

bzw. v

= { S }

w

+ w

(27)

10. Was verstehen Sie unter Dispersion?

Dispersion wurde in der TET-A als Effekt einer Leitung definiert, der zu einer Pulsverzerrung

f¨ uhrt.

1. F¨ ur das elektrische Feld des TE

-Modes gilt E

= 0, und das transversale Feld zeigt 2 Sinus- Halbb¨ ogen in x-Richtung: Es besitzt daher nur eine y-Komponente. Es gilt also:

E = E

e

mit E

= E

sin 2πx

L e

(28) mit der Separationsbedingung (

)

+ k

= k

.

Das magnetische Feld folgt aus dem Induktionsgesetz:

H = − 1

jωµ rot E = − 1 jωµ

e

e

e

∂

∂x

0 −jk

0 E

0

(29)

⇒ H

= − k

ωµ E

(30)

H

= − E

k

jωµ cos 2πx

L e

(31)

2. Das Verh¨ altnis zwischen transversalem elektrischem und magnetischem Feld ist die Feldwellen- impedanz

Z

= − E

H

= ωµ

k

. (32)

(Vorzeichen aus Rechte-Hand-Regel oder einfach Betrag bilden.) 3. Die beiden Wellen besitzen die Wellenvektoren

k

= k( − cos Φ e

+ sin Φ e

), k

= k(+ cos Φ e

+ sin Φ e

). (33) Wegen des Brechungsgesetzes Φ

= Φ

muss nur ein Winkel angesetzt werden, der zum Lot hin gez¨ ahlt wird. Die Vorzeichen sind so gew¨ ahlt, dass die in der Skizze gezeigten Ausbreitungsrich- tungen gelten (Welle 1 von oben links, Welle 2 von unten links). k = ω √ εµ ist die Wellenzahl.

x

y

k k

f

f

z

1 2

Setzt man die Amplituden der Wellen mit E

= E

e

und E

= − E

e

an (Reflexionsfaktor

−1 am elektrischen Halbraum), so ergibt sich:

E

= E

(e

− e

) e

(34)

= E

(e

− e

) e

(35)

= E

e

(e

− e

) e

(36)

= − 2j E

e

sin(k cos Φ x) e

(37)

Um das oben angegebene Feld zu erhalten, muss also gelten:

− 2jE

= E

k sin Φ = k

2π

L = k cos Φ (38)

Die letzte Beziehung ist die gesuchte Bedingung an den Winkel Φ, aus der zweiten folgt dann die oben bereits genannte Separationsgleichung.

4. Aus der Separationsbedingung folgt die Dispersionsbeziehung k

=

( ω

c )

− ( 2π

L )

. (39)

Die Cutoff-Frequenz folgt aus der Forderung k

= 0 zu f

= c

L ≈ 3 · 10

m/s

0.1m = 3GHz. (40)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0

20 40 60 80 100 120 140

f / GHz k / (m )

TE

TE

v

v

TEM

Zur graphischen Ermittlung der Geschwindigkeiten zeichnet man die Ursprungsgerade (Phasen- geschwindigkeit) bzw. Tangente (Gruppengeschwindigkeit) im Arbeitspunkt f = 4.5 GHz. Im dargestelltem Diagramm k

(ω) muss die Steigung abgelesen und invertiert werden. (Wahlweise:

Steigung im Diagramm ω(k

).)

5. Moden mit kleinerem Cutoff sind der TE

-Mode (f

= 1.5 GHz) und der TEM-Mode (f

= 0).

Außerdem existiert (im Gegensatz zum Hohlleiter) auch ein TM

-Mode, da in y-Richtung keine

Randbedingungen eingehalten werden m¨ ussen. (Kein Punkt daf¨ ur).

1. Der Potentialansatz f¨ ur die transversale Feldverteilung lautet (wegen ∂/∂ϕ = 0 und f¨ ur eine Welle in +z-Richtung):

E = − gradΦ e

mit ∆Φ() = 1

d d

dV

d

= 0 (41)

Zweimaliges Integrieren gibt die L¨ osung f¨ ur das Potential

Φ() = C

ln + C

(42)

und damit f¨ ur das Feld:

E = − gradΦ e

= − C

e

e

. (43)

Das magnetische Feld berechnet man aus dem Induktionsgesetz:

H = − 1

jωµ rot E = . . . = − 1 Z

C

e

e

. (44) mit Z =

µ/ε.

Die Spannung U (z) ist U (z) =

b a

E

(, z)d = − C

e

d

= − C

e

ln b

a . (45)

F¨ ur den Strom I (z) gilt:

I(z) =

2π

0

H

(, z) dϕ = − C

Z e

2π

0

dϕ = − 2π C

Z e

. (46) Dies f¨ uhrt zur Leitungsimpedanz (nicht gefragt):

Z

= U (z) I (z) = Z

2π ln b

a . (47)

2. Aufteilung in 2 Teilbereiche:

z < 0 :

E

= E

e

+ re

H

= E

Z

e

− re

(48) z > 0 :

E

= E

te

H

= E

Z

te

(49)

Im verlustbehafteten Raumteil z > 0 sind dabei sowohl β

2

= ω √ εµ als auch Z

= µ

/ε

komplex,

man setzt dazu ε

= ε

+

.

Aus den Stetigkeitsbedingungen bei z = 0 (und f¨ ur alle ) folgt das Gleichungssystem zur Berechnung des elektrischen und des magnetischen Feldes:

E

(1 + r) = E

t E

Z

(1 − r) = E

Z

t (50)

Daraus die bekannten Formeln f¨ ur Reflexion und Transmission:

r = Z

− Z

Z

+ Z

, t = 2Z

Z

+ Z

. (51)

3. N¨ aherung f¨ ur die komplexe Ausbreitungskonstante im Raum z > 0:

β

= ω

µ(ε

+ κ

jω ) = ω √ µε

1 − j κ

ωε

≈ ω √

µε

(1 − j κ

2ωε

). (52)

1.)

H(x, y, z) = rot A = A

( e

k

sin(k

x) cos(k

y) − e

k

cos(k

x) sin(k

y))

=g_t

e

E(x, y, z) = 1

jωε

rot H = A

jωε

( ∓ jk

) ( e

k

cos(k

x) sin(k

y) + e

k

sin(k

x) cos(k

y))

=f_t

+ e

k

sin(k

x) sin(k

y) + k

sin(k

x) sin(k

y)

=f_z

e

Aus den Randbedingungen

e

× E

x=0,a

= 0, e

× E

y=0,b

= 0 folgt

k

= nπ

a , k

= mπ

b mit n = 1, 2, 3 . . . , m = 1, 2, 3 . . . . 2.)

Mit Hilfe der Dispersionbeziehung

k

= ω

µε

− nπ a

₂

− mπ b

₂

l¨ asst sich der Ausdruck

ω

= 1

√ µε

nπ

a

+ mπ b

₂

f¨ ur die cut-off Frequenzen bestimmen. Mit b = 2/3a folgt:

ω

= π a √ µε

n

+ 9/4m

Damit nur ein TM-Mode ausbreitungsf¨ ahig ist muss die Frequenz ω

im Bereich π

a √ µε

1 + 9/4 < ω

< π a √ µε

4 + 9/4 (53)

liegen. Somit gilt f¨ ur die Kantenl¨ ange a:

π ω

√ µε

1 + 9/4 < a < π ω

√ µε

4 + 9/4

3.)

Aus (53) ergibt sich mit ε

< ε

:

√ ε

< √

ε

< π aω

√

µ

4 + 9/4

4.)

e

× E

z=−c,d

= 0 (54)

e

× E

− E

z=0

= 0 (55)

e

× H

− H

z=0

= 0 (56)

5.) Ansatz mit hin- und r¨ ucklaufender Welle jeweils in beiden Teilr¨ aumen (i = 1, 2, z

= − c, d).

H

(x, y, z) = g

A

e

+ A

e

E

(x, y, z) = k

ωε

f

− A

e

+ A

e

+ 1

jωε

f

A

e

+ A

e

Aus (54) folgt:

H

(x, y, z) = g

A

2 cos(k

(z − z

))

E

(x, y, z) = j2k

ωε

f

A

sin(k

(z − z

)) + 2 jωε

f

A

cos(k

(z − z

)) Aus (55) folgt:

k

ε

A

sin(k

c) = k

ε

A

sin(k

d) (57)

Aus (56) folgt:

A

cos(k

c) = A

cos(k

d) (58) Teilt man (57) durch (58) erh¨ alt man die Eigenwertgleichung

k

ε

tan(k

c) = k

ε

tan(k

d)