Gradvergleichsresultate f¨ur den Leray-Schauder-Grad
¨aquivarianter Vektorfelder
Der Abbildungsgrad ¨aquivarianter Abbildungen zwischen endlichdimensio- nalen G-Mannigfaltigkeiten ist nicht v¨ollig beliebig wie im nicht-¨aquivarian- ten Fall (Satz von Hopf), sondern man erh¨alt gewisse Relationen, die allein durch die Gruppenwirkung gegeben sind. Damit kann z.B. die Existenz von L¨osungen nichtlinearer Gleichungen unter der Annahme gewisser Symmetri- en des Problems oft einfacher nachgewiesen werden als im unsymmetrischen Fall. Die Frage nach Verallgemeinerungen auf den unendlichdimensionalen Fall und damit nach Gradvergleichsresultaten f¨ur den Leray-Schauder-Grad
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aquivarianter Vektorfelder ist daher naheliegend, um diese Ergebnisse dann beispielsweise auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen anwenden zu k¨onnen. Dieser Vortrag gibt eine kurze Einf¨uhrung in die Theorie des Ab- bildungsgrades, faßt die Ergebnisse im Endlichdimensionalen zusammen und verallgemeinert diese dann auf einige spezielle Situationen im Unendlichdi- mensionalen. Der Ausgangspunkt der Theorie liegt bei dem Satz von Bor- suk ¨uber den Grad ungerader Abbildungen und darauffolgenden Arbeiten von Borsuk, Krasnoselski, Lusternik und Schnirelman. Die hier vorgestell- ten Resultate beruhen haupts¨achlich auf den Arbeiten von Z.Balanov und A.Kushkuley aus der Mitte der 90er Jahre.
Philipp Wruck (Uni HH)
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![Sei g ∈ K[x] ein Polynom, grad(g) ≥ 1. F¨ ur jedes f ∈ K[x] heißt die Menge [f ] g := {h ∈ K[x] : h − f ist durch g teilbar}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)