Quantenphysik in den Sternen

Quantenphysik in den Sternen

Matthias Bartelmann

Universit ¨at Heidelberg, Institut f ¨ur Theoretische Astrophysik

Woher bezieht die Sonne ihre Energie?

(Wikipedia)

Woher bezieht die Sonne ihre Energie?

Woher bezieht die Sonne ihre Energie?

(Wikipedia)

Woher bezieht die Sonne ihre Energie?

(A. Pocar)

Woher bezieht die Sonne ihre Energie?

Wie und unter welchen Bedingungen ist Wasserstoff-Fusion m ¨oglich?

Ein einfaches Sonnenmodell

• hydrostatisches Gleichgewicht:

dP

dr =−ρdΦ

dr =−ρGM(r) r²

• polytrope Schichtung:

P P₀ = ρ

ρ₀

!γ

Ein einfaches Sonnenmodell

• f ¨uhrt auf dieLane-Emden-Gleichung:

θ⁰⁰+ 2

xθ⁰+θⁿ=0

• dabei sind:

x= r

r₀ , θ⁰= dθ

dx , θⁿ= ρ

ρ₀ , n= 1 γ−1

• die radiale Skala ist:

r₀=

s(1+n)P₀ 4πGρ²₀

Ein einfaches Sonnenmodell

• Randbedingungen:

θ

_x=0=1, θ⁰ _x=0=0

• L ¨osung f ¨urn=1:

θ= sinx x

kleinste Nullstelle beix∗=π, SternradiusR=x∗r₀, zentrale Dichteρ₀aus

M=4πρ₀r³₀ Z x∗

0

θⁿx²dx=4π²ρ₀r³₀

Ein einfaches Sonnenmodell

• Randbedingungen:

θ

_x=0=1, θ⁰ _x=0=0

• _Annahme:n=3⁽γ=4/3)

• Normierung durch Radius und Masse der Sonne

Numerische L ¨osung

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Größen relativ zum Zentrum

Radius in Sonnenradien

Dichte Temperatur Druck Masse

Numerische L ¨osung

zentrale Dichte ρ₀ 76.31 g cm⁻³

zentraler Druck P₀ 1.24·10¹⁷erg cm⁻³ zentrale thermische Energie k_BT₀ 1.7 keV zentrale Temperatur T₀ 1.97·10⁷K

Energieschwelle

• Kernfusion setzt ein, sobald die starke Wechselwirkung st ¨arker als die Coulomb-Abstoßung wird.

• Der Abstand zwischen den Protonen muss daf ¨ur

≤λ=2·10⁻¹³cmwerden.

• Die Potentialschwelle ist dortV₀=720 keV=420k_BT hoch.

Energieschwelle

r V (r)

V (r) = V

λ/r V

λ

E

r

Energieverteilung (Boltzmann-Verteilung)

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

0.01 0.1 1 10 1e+02

kumulative Wahrscheinlichkeit

thermische Energie in k_BT

Energieverteilung (Boltzmann-Verteilung)

• Thermische Energien von420k_BT kommen schlicht nicht vor.

• Schlussfolgerung:

Kernfusion in der Sonne ist unm ¨oglich.

Energieverteilung (Boltzmann-Verteilung)

• Thermische Energien von420k_BT kommen schlicht nicht vor.

• Schlussfolgerung:

Kernfusion in der Sonne istklassischunm ¨oglich.

Energieverteilung (Boltzmann-Verteilung)

• Thermische Energien von420k_BT kommen schlicht nicht vor.

• Schlussfolgerung:

Kernfusion in der Sonne istklassischunm ¨oglich.

• M ¨oglich wird sie allein durch denTunneleffekt.

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V (r) = V

λ/r V

λ

E

r

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯ V

λ r

a

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

−~²

2mψ⁰⁰+V(x)ψ=Eψ

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

ψ⁰⁰+ 2m(E−V)

~²

ψ=0

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

ψ⁰⁰−k²ψ=0,

k²= 2m(V−E)

~²

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

ψ⁰⁰−k²ψ=0,

k²= 2m(V−E)

~²

• _{L ¨osung:}

ψI =Ae^ikx+Be^−ikx ψII =Ce^k0x+De^−k0x ψIII =Ee^−ikx

Amplituden aus

Stetigkeitsbedingungen

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

ψ⁰⁰−k²ψ=0,

k²= 2m(V−E)

~²

• _{L ¨osung:}

ψI =Ae^ikx+Be^−ikx ψII =Ce^k0x+De^−k0x ψIII =Ee^−ikx

• Tunnelwahrscheinlichkeit:

T(E)= |E|²

|A|²

Tunneleffekt im eindimensionalen Fall

r V (r)

V ¯

III II I

• Schr ¨odinger-Gleichung:

ψ⁰⁰−k²ψ=0,

k²= 2m(V−E)

~²

• Tunnelwahrscheinlichkeit:

T(E)= 1 1+ ^sinh_4ε(1−ε)^2(ka)

Tunnelwahrscheinlichkeit

1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

1 10 1e+02 1e+03

Energieverteilung, Tunnelwahrscheinlichkeit

thermische Energie in k_BT

p(E) T(E) p(E)T(E)

Wirkungsquerschnitt

• ohne Tunneleffekt:

σ(E)≈











πλ² (E≥V₀) 0 (E<V₀)

Wirkungsquerschnitt

• ohne Tunneleffekt:

σ(E)≈











πλ² (E≥V₀) 0 (E<V₀)

• mit Tunneleffekt:

σ(E)≈πλ²T(E)

Wirkungsquerschnitt

• ohne Tunneleffekt:

σ(E)≈











πλ² (E≥V₀) 0 (E<V₀)

• mit Tunneleffekt:

σ(E)≈πλ²T(E)

• entscheidend ist dieReaktionsrate:

Γ =nσ(E)v(E) (Teilchendichten, Geschwindigkeitv)

Wirkungsquerschnitt

• ohne Tunneleffekt:

σ(E)≈











πλ² (E≥V₀) 0 (E<V₀)

• mit Tunneleffekt:

σ(E)≈πλ²T(E)

• mittlere Reaktionsrate:

hΓi=nhσ(E)v(E)i

Wirkungsquerschnitt

• ohne Tunneleffekt:

σ(E)≈











πλ² (E≥V₀) 0 (E<V₀)

• mit Tunneleffekt:

σ(E)≈πλ²T(E)

• mittlere Reaktionsrate:

hΓi=n Z

dE p(E)σ(E)v(E)

Wirkungsquerschnitt

1e-20 1e-19 1e-18 1e-17 1e-16 1e-15

10 1e+02 1e+03

Wirkungsquerschnitt σv [cm3 s-1]

thermische Energie in k_BT mit Tunneleffekt

ohne Tunneleffekt

Gemittelter Wirkungsquerschnitt

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

0.01 0.1

Wirkungsquerschnitt <σv> [barn cm s-1]

Radius r/R

Gemittelter Wirkungsquerschnitt

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

(ρr2) <σv> [barn cm s-1]

Radius r/R

Zusammenfassung

• physikalische Bedingungen im Inneren der Sonne aus der Lane-Emden-Gleichung

• Kernfusion ist unter solchen Bedingungen klassisch unm ¨oglich

• erst der Tunneleffekt ergibt ausreichend hohe Reaktionsraten

Zusammenfassung

• physikalische Bedingungen im Inneren der Sonne aus der Lane-Emden-Gleichung

• Kernfusion ist unter solchen Bedingungen klassisch unm ¨oglich

• erst der Tunneleffekt ergibt ausreichend hohe Reaktionsraten

• aber: eine weitere Spaßbremse bei

p+p→²H+ν_e+e⁺ ist der inverseβ-Zerfall,

p→n+ν_e+e⁺