Kombinatorische Geometrien

KAPITEL 5

Kombinatorische Geometrien

Beispiele von

”Geometrien“ wurden schon als Inzidenzstrukturen (z.B. pro- jektive Ebenen) gegeben. Wir nehmen hier einen anderen Standpunkt ein und verstehen unter einer

”Geometrie“ zun¨achst eine Grundmenge M, auf der eine

”Abh¨angigkeitsstruktur“ gegeben ist. Diese Begriffe k¨onnen unter verschiedenen Aspekten spezifiziert werden.

1. H ¨ullensysteme und Abschlussoperatoren

EinH¨ullensystemist eine FamilieHvon TeilmengenH ⊆M derart, dass (HS1) M ∈ H.

(HS2) \

H⁰∈H⁰

H⁰ ∈ H f¨ur alleH⁰ ⊆ H.

Hist also stabil unter beliebigen Durchschnitten und enth¨alt die Grundmen- geM. H definiert einenH¨ullenoperator (oderAbschlussoperator) auf der Potenzmenge vonM:

S → S =∩{H ∈ H |S ⊆H} ∈ H.

Offenbar gilt

S =S ⇐⇒ S ∈ H.

Die Mengen H heissen deshalb auch abgeschlossen. Die (Halb-)Ordnung (H,⊆) der abgeschlossenen Mengen ist ein Verband (H,∨,∧) mit den Operationen

H1∨H2 = H1 ∪H2

H₁∧H₂ = H₁ ∩H₂ = H₁∩H₂.

EX. 5.1. Die Potenzmengen sind trivialerweise H¨ullensysteme. Die linearen Teilr¨aume eines Vektorraums bilden ein H¨ullensystem. Aber z.B. auch die Menge aller konvexen Teilmengen desRⁿ bildet ein H¨ullensystem. Ebenso die Menge aller Polyeder inRⁿetc.

Wir machen f¨ur die weitere Diskussion in diesem Kapitel die Annahme, dass die GrundmengeM endlich ist. Ein H¨ullensystem(H,⊆)ist dann ein

85

endlicher Verband und besitzt eine Rangfunktion

r(H) = max{k | ∃H_i ∈ Hso, dassH₀ ⊂H₁ ⊂. . .⊂H_k =H}, die in nat¨urlicher Weise auf die Potenzmenge von M fortgesetzt werden kann:

r(S) =r(S) f¨ur alleS ⊆M . Offenbar gilt nun f¨ur allea ∈M:

a ∈S ⇐⇒ r(S∪a) = r(S).

Das heisst:

• Das H¨ullensystemHist durch seine Rangfunktionr:P ot(M)→ Neindeutig bestimmt:

S =∪{a∈M |r(S∪a) =r(S)}.

Man beobachtet nun sofort:rist0-normiertundstark monotonim folgen- den Sinn. F¨ur alle TeilmengenS ⊆T ⊆M und Elementea∈M gilt:

(RF.0) r(∅) = 0 ;

(RF.1) r(S∪a)≥r(S);

(RF.2) r(T ∪a)> r(T) =⇒ r(S∪a)> r(S).

LEMMA 5.1. SeiM eine endliche Menge,r :P ot(M)→Neine Funktion mit den Eigenschaften (RF.0)-(RF.2) und

S ={a∈M |r(S∪a) =r(S)} f¨ur alleS ⊆M . Dann istH={S|S ⊆M}ein H¨ullensystem.

Beweis. Da r eine monotone Funktion ist, gilt offenbarM = M und deshalb M ∈ H. Seien nun H1, H2 ∈ H und H = H1 ∩H2. Wir m¨ussen H ∈ H nachweisen und betrachten dazu ein beliebigesa∈M\Hmitr(H∪a) =r(H).

WegenH₁, H₂ ∈ Hund (RF.2) wissen wir, dassa∈H₁unda∈H₂gelten muss.

Also haben wira∈Hund schliessen somitH ∈ H.

1.1. Geometrische Rangfunktionen. Wollen wir die Rangfunktion r eines H¨ullenoperators

”geometrisch“ interpretieren k¨onnen, so erwarten wir sicher, dass die Hinzunahme eines weiteren Punktesa zu einer Teilmenge Sden Rang allenfalls um1erh¨oht, d.h.

(RF.3) r(S∪a) = r(S) oder r(S∪a) =r(S) + 1.

Unter einer geometrischen Rangfunktion verstehen wir deshalb eine nor- mierte stark monotone Funktion r mit der Eigenschaft (RF.3) (d.h. eine Funktion mit den Eigenschaften (RF.0)-(RF.3)).

1. H ¨ULLENSYSTEME UND ABSCHLUSSOPERATOREN 87

PROPOSITION5.1. Es sei reine geometrische Rangfunktion auf der endli- chen MengeM mit H¨ullenoperator

S →S ={a∈M |r(S∪a) = r(S)}.

Dann istrgenau die wieder aus dem H¨ullenoperator abgeleitete Rangfunk- tion.

Beweis. F¨ur die Zwecke des Beweises bezeichnen wir mitrdie Rangfunktion des H¨ullenoperatorsS→S. Sei nun die Kette abgeschlossener Mengen

∅ ⊂S₁⊂. . .⊂S_k=S

derart, dassk=r(S). Dann gilt notwendigerweise f¨ur jedesa∈Si\Si−1

Si= (Si−1∪a),

dennSi−1 ⊂(Si−1∪a) ⊂Si w¨urde jar(S)≥k+ 1bedeuten. Die Eigenschaft (RF.3) garantiert nun

r(S_i) =r(Si−1) + 1 d.h r(S) =k=r(S_k) =r(S). Allgemein erhalten wir deshalb: r(S) =r(S) =r(S) =r(S).

Die Eigenschaft (RF.3) ist st¨arker als (RF.1). Ist sie gegeben, so kann man geometrische Rangfunktionen auch durchSubmodularit¨at(d.h. Eigenschaft (21) im folgenden Lemma 5.2) charakterisieren, was f¨ur sp¨atere Verallge- meinerungen vorteilhaft ist.

LEMMA 5.2. Sei r : P ot(M) → N eine 0-normierte Funktion mit der Eigenschaft (RF.3). Genau dann istreine geometrische Rankfunktion, wenn gilt

(21) r(S∪T) +r(S∩T) ≤ r(S) +r(T) f¨ur alleS, T ⊆M . Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dassr im Sinne von (21) submodular ist, und beweisen (RF.2). In der Tat haben wir im Fall S ⊆ T wegenS = T ∩(S ∪a), T∪a=T ∪(S∪a)und der Submodularit¨at vonr

r(T) +r(S∪a)≥r(T ∪a) +r(S) d.h. r(S∪a)−r(S)≥r(T ∪a)−r(T)und somit (RF.2).

Umgekehrt nehmen wir nun an, dass r die Eigenschaft (RF.2) besitzt, und be- weisen, dass dann auch (21) gelten muss. Wir argumentieren per Induktion ¨uber n = |M|, wobei der Fall n ≤ 1 trivial ist. Sei also (21) garantiert wennimmer

|M| ≤n−1.

Im Fall S ⊆ T haben wir S ∩T = S und deshalb (21). Andernfalls gibt es ein a ∈ S mit a /∈ T. Sei S⁰ := S \a und folglichS ∩T = S⁰ ∩T. Nach Induktionsvoraussetzung (bzgl.M\a) gilt dann

r(S⁰∪T) +r(S∩T) ≤ r(S⁰) +r(T) bzw. r(S⁰∪T)−r(S⁰) ≤ r(T)−r(S∩T).

Im Fallr(S∪T) =r(S⁰∪T)folgt (21) sofort ausr(S⁰)≤r(S). Im Fallr(S∪T) = r(S⁰∪T) + 1haben wir wegen (RF.2) auchr(S) =r(S⁰) + 1und somit ebenso die G¨ultigkeit von (21).

BEMERKUNG.Es gibt von H¨ullenoperatoren abgeleitete Rangfunktionen, die zwar submodular, aber keinegeometrischenRangfunktionen im oben eingef¨uhrten Sinn sind.

EX. 5.2. M ={a, b}mit H¨ullensystemH={∅, b,{a, b}}ergibt 0 = r(∅)< r(a) = 2 6= r(∅) + 1.

(RF.3) ist also auch bei Submodularit¨at echt st¨arker als (RF.1).

Typische Beispiele von geometrischen Rangfunktion erh¨alt man so. Wir be- trachten eine Matrix A ∈ K^m×n ¨uber einem K¨orper K und nehmen als GrundmengeM die Menge aller Spaltenvektoren vonA.

Einer TeilmengeS ⊆ M mit|S| =k entspricht die aus der Spaltenmenge Sgebildete UntermatrixA_S ∈K^m×k. Als Rangfunktion aufM w¨ahlen wir den Matrixrang:

r(S) := rgA_S .

In diesem Beispiel bedeutetr(S∪a)> r(S), dass der Spaltenvektoranicht von den Vektoren inSlinear abh¨angt. Aus dem Gaussverfahren zur L¨osung linearer Gleichungen ist klar, dass der Rang einer Matrix h¨ochstens um 1 w¨achst, wenn eine weitere Spalte hinzugef¨ugt wird.

Liegt r(T ∪a) > r(T) vor, dann h¨angt a nat¨urlich auch nicht von einer UntermengeS der VektormengeT ab: r(S∪a) > r(S)(d.h. Eigenschaft (RF.2) ist erf¨ullt).

BEMERKUNG (KOORDINATISIERUNGEN). Es gibt auch geometrische Rang- funktionen, dienichtauf eine Matrixkonstruktion wie oben zur¨uckgef¨uhrt werden k¨onnen. Die Frage, wann eine solcheKoordinatisierungeiner gegebenen geome- trischen Rangfunktion m¨oglich ist, ist im allgemeinen sehr offen. Wenn man die Frage einschr¨ankt auf Koordinatisierung ¨uber einem fest vorgegebenen K¨orperK, so sind Charakterisierungen bzgl. einiger weniger endlicher K¨orper (K=GF(2), GF(3),GF(4)) bekannt.

2. UNAHH ¨ANGIGKEITSSYSTEME UND GEOMETRISCHE RANGFUNKTIONEN 89

2. Unahh¨angigkeitssysteme und geometrische Rangfunktionen Bzgl. eines H¨ullensystems mit Rangfunktion rauf der (endlichen) Menge M sagen wir, dassa∈M von der TeilmengeS ⊆M \aabh¨angt, falls

a∈S .

Dementsprechend nennen wir eine MengeI ⊆M unabh¨angig, wenn a ∈S =⇒ a /∈(S\a) (bzw. r(S\a)< r(S) ).

Mit jeder unabh¨angigen Menge I ist sicher auch jede Teilmenge I⁰ ⊆ I unahbh¨angig (denn a ∈ I⁰ ∈ I⁰\a impliziert ja immer a ∈ I\a). Das Mengensystem

I =I(r) ={I ⊆M |I unabh¨angig bzgl.r}

ist also ein Unabh¨angigkeitssystem (bzw. ein Simplizialkomplex).

Entfernen wir aus einer Teilmenge S ⊆ M sukzessive Elemente a ∈ S mit der Eigenschaft r(S \ a) = r(S), so erhalten wir eine unabh¨angige Teilmenge gleichen Ranges. Das heisst

r(S) = max{r(I)|I ∈ I(r), I ⊆S}.

Aus der Intuition der linearen Algebra (vgl. die aus Matrizen gewonnenen geometrischen Rangfunktionen oben) w¨urde man erwarten:

(22) r(I) = |I| f¨ur alleI ∈ I(r).

Man sieht jedoch leicht, dass im allgemeinen zwar f¨ur unabh¨angige Mengen I immer

|I| ≤r(I)

gilt, Gleichheit aber nicht unbedingt gew¨ahrleistet ist. Wir nennen deshalb die Rangfunktionrmatroidal, wennI(r)die Eigenschaft (22) besitzt. Ma- troidale Rangfunktionenrzeichnen sich also durch die Eigenschaft aus

S∈ I(r) ⇐⇒ r(S) = |S|. Alternativ haben wir die folgende Charakterisierung:

(23) r matroidal ⇐⇒ r(S) ≤ |S| f¨ur alleS ⊆M .

LEMMA 5.3. Die matroidalen Rangfunktionen sind genau die geometri- schen Rangfunktionen.

Beweis. Sei die Rangfunktionr geometrisch undI ={a₁, . . . , am} ∈ I(r). Wir setzenI₀ :=∅undI_k:=Ik−1∪a_kf¨urk= 1, . . . , m. Dann haben wir

r(I_k−1)< r(I_k)< r(I_k−1) + 1 d.h r(I_k) =r(I_k−1) + 1

und folglichr(Im) = m =|I|. Ist umgekehrtrmatroidal undr(S) < r(S∪a), so existiert eine unabh¨angige MengeI ⊆SmitI =Sund

|I|=r(I) =r(S).

AusI ∪a=S∪aersehen wirr(I∪a) =r(S∪a). Also enth¨alt auchI∪aeine unabh¨angige Menge vom Rangr(S∪a), d.h.

r(S)≤r(S∪a)≤ |I∪a|=r(S) + 1.

Umgekehrt gehen wir von einem beliebigen Unabh¨angigkeitssystemI auf M aus und definieren eine Funktionr_I :P ot(M)→Ndurch

rI(S) = max{|I| |I ∈ I, I ⊆S}.

Es ist klar, dassrIdie Eigenschaften (RF.0), (RF.1) und (RF.3) besitzt. Also finden wir:

LEMMA 5.4. Die durch das Unabh¨angigkeitssystemI definierte Funktion rI ist die Rangfunktion eines H¨ullensystems genau dann, wenn rI matro- idal ist. Ist rI matroidal, dann ist I genau das zugeh¨orige System der un- abh¨angigen Mengen.

2.1. Die Steinitzsche Austauscheigenschaft. Istreine matroidale Rang- funktion auf M, dann weisen die MengenI = I(r)eine Erweiterungsei- genschaft auf, die alsAustauscheigenschaft von Steinitzbekannt ist:

(SA) Sind I, J ∈ I Mengen mit |I| ≤ |J| − 1, so existiert ein a∈J \I derart, dass I ∪a∈ I .

Wegenr(I) = |I| < r(J)existiert n¨amlich (mindestens) eina ∈ J mitr(I) <

r(I∪a) =r(I) + 1. Also mussI∪aunabh¨angig sein.

Umgekehrt gehen wir nun von einem beliebigen Unabh¨angigkeitssystemI aufM aus und definieren zu jedemS ⊆M

rI(S) := max{|I| |I ∈ I, I ⊆S}. Damit haben wir bewiesen

3. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN UND MATROIDE 91

SATZ 5.1. Das Unabh¨angigkeitssystems I aufM gen¨ugt genau dann der Steinitzeigenschaft (SA), wenn die zugeh¨orige Funktion r_I einen H¨ullen- operator aufM definiert.

3. Kombinatorische Geometrien und Matroide

Unter einerkombinatorischen Geometrieverstehen wir eine (endliche) Men- ge M zusammen mit einer geometrischen Rangfunktion r mit der Eigen- schaft

r(a) = 1 f¨ur allea ∈M.

BEMERKUNG (MATROIDE UND SCHLINGEN). Setzen wir nur eine geome- trische Rangfunktion r voraus, so ist (M, r) ein Matroid. Ein Element a ∈ M mit

r(a) = 0 (d.h. a∈ ∅)

heisst dannSchlinge(auf englisch:loop), eine Sprechweise die durch die graphen- theoretische Interpretation sp¨ater klarer werden wird. Wir haben im vorhergehen- den Abschnitt gesehen: Matroide entsprechen genau den Unabh¨angigkeitssyste- men, welche die Steinitzsche Austauscheigenschaft besitzen.

In einer kombinatorischen GeometrieG= (M, r)vomRang r(G) = r(M)

nennen wir die Elementea∈M diePunktevonG, abgeschlossene Mengen G=Gmitr(G) = 2Geraden.Ebenensind abgeschlossene MengenEmit r(E) = 3undHyperebenenabgeschlossene MengenH vom Rang

r(H) = r(G)−1.

Eine kombinatorische Geometrie G vom Rang r(G) = 3 ist jedoch nicht notwendigerweise eine projektive Ebene, da zwei Geraden m¨oglicherweise keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

3.1. Restriktion und Kontraktion. IstM⁰ ⊆ M eine Teilmenge von M so ist die Einschr¨ankung r⁰ der geometrischen Rangfunktion r auf die Teilmengen vonM⁰ nat¨urlich eine geometrische Rangfunktion aufM⁰. Wir bezeichnen mit

G(M⁰) = (M⁰, r⁰) = G \(M \M⁰)

dieRestriktionder kombinatorischen Geometrie (bzw. des Matroids)Gauf M⁰. (Die zweite Notation soll andeuten, dass dazu die Elemente der kom- plement¨aren MengeM \M⁰ entfernt werden.)

BEMERKUNG.Die unabh¨angigen Mengen vonG(M⁰)ergeben sich als I(r⁰) ={I ⊆M⁰ |I ∈ I(r)}.

Eine weitere M¨oglichkeit, aus einer gegebenen kombinatorischen Geome- trie eine andere zu konstruieren, wird durch die Idee der Projektion der Ge- raden durch einen Punktaauf eine

”unendlich ferne Hyperebene“ gegeben.

Konkret bedeutet dies, dass wir die GeradenG, dieaenthalten, als

”Punk- te“peiner neuen geometrischen Struktur mit der Rangfunktion

r_a({p₁, . . . , p_k{) := r({p₁∪. . .∪p_k})−1

auffassen. Die Konstruktion l¨auft darauf hinaus, dass wir auf der Menge M⁰ :=M\aeine Rangfunktionr_a, wie folgt, betrachten:

r_a(S) := r(S∪a)−1 (S ⊆M⁰).

Es ist leicht zu sehen, dassra eine geometrische Rangfunktion aufM⁰ ist.

Wir bezeichen die entsprechende kombinatorische Geometrie mit G/a = (M⁰, r_a)

und nennenG/adieKontraktion¹vonG bzgl.a.

BEMERKUNG.Aus der Definition vonr_afolgt direkt:

I(r_a) ={I ⊆M\a|I∪a∈ I}.

3.2. Dekomposition. Man kann eine kombinatorische GeometrieGauf M dekomponieren, indem man der Reihe nach Elemente aus der Grund- menge entfernt und entweder die entsprechende Restriktion oder Kontrak- tion der vorangehenden Geometrie definiert. Dabei ist es irrelevant, ob wir zuerst die Restriktionen oder die Kontraktionen durchf¨uhren, d.h. im Fall A∩B =∅erhalten wir

(G \A)/B = (G/B)\A ,

denn beide Strukturen sind aufM⁰ =M \(A∪B)definiert und haben als Rangfunktion

r_B(C) = r(C∪B) (C ⊆ M⁰).

1dieser Begriff erh¨alt eine anschauliche Erkl¨arung im Kontext von Graphen

4. PROJEKTIVE GEOMETRIEN 93

3.3. Invarianten. Ein kombinatorischen Geometrien (Matroiden)Gzu- geordneter numerischer Parameter t(G) heisst (Matroid)-Invariante, falls f¨ur alle Elementeader jeweiligen Grundmenge gilt:

(24) t(G) = t(G \a) +t(G/a).

EX. 5.3. Ist G = (M, r) eine kombinatorische Geometrie, so haben wir bzgl. eines jedena∈M:

|I \a| = |{I ∈ I |a /∈I}|

|I/a| = |{I ∈ I |a∈I}|

d.h. |I(r)| = |I \a|+|I/a|.

Die Anzahlt(G)der unabh¨angigen Teilmengen einer kombinatorischen Geo- metrieG ist folglich eine Invariante.

Der Wert der Invariantent(G)ist durch ihre Werte auf den kleineren kombi- natorischen GeometrienG \aundG/afestgelegt und kann deshalb rekursiv aust(∅)und der Dekompositionsstruktur vonG berechnet werden.

4. Projektive Geometrien

Einer geometrischen Sprechweise folgend heissen die abgeschlossenen Teil- mengen einer kombinatorischen Geometrie G = (M, r)auchUnterr¨aume vonG. Gilt f¨ur je zwei Unterr¨aumeS, T diemodulare Gleichung

(25) r(S∪T) +r(S∩T) = r(S) +r(T),

wirdG = (M, r)eineprojektive Geometriegenannt. Die projektiven Ebe- nen sind genau die projektiven GeometrienGvom RangG= 3.

BEMERKUNG. Die modulare Gleichung (25) wird bei projektiven Geometrien nur f¨ur Unterr¨aumevorausgesetzt. Bei (nicht abgeschlossenen) Teilmengen ist sie nicht unbedingt erf¨ullt. (Zur Erinnerung:S∪T ist der kleinste Unterraum, derS undT enth¨alt.)

Man macht sich klar:

• Die Kontraktion einer projektiven Geometrie ergibt immer eine projektive Geometrie.

• Die Restriktion einer projektiven Geometrie ist typischerweisekei- neprojektive Geometrie (aber nat¨urlich eine kombinatorische Geo- metrie).

BEMERKUNG(DIMENSION PROJEKTIVERR ¨AUME).Unter der(projektiven) Dimensioneines UnterraumsS einer projektiven GeometrieG = (M, r)versteht man die Zahl

dimS := r(S)−1. Die Elemente p ∈ M haben somit als

”Punkte“ der projektiven GeometrieG die Dimension

dimp = r(p)−1 = 0. Projektive

”Geraden“ haben Dimension1,

”Ebenen“ Dimension2usw.

4.1. Projektive Geometrien von Vektorr¨aumen. Sei V ein Vektor- raum der (Vektorraum-)Dimension dimV V = n ¨uber einem (endlichen) K¨orperKmit|K|=qElementen. Dann ist die Anzahl der Vektoren vonV

|V| = qⁿ.

Jeder1-dimensionale Unterraump=vvonV umfasstqElemente:

v ={λv|λ ∈K} (v ∈V \ {0}).

Wir nehmen nun die Menge M ={v |v ∈V\{0}} aller1-dimensionalen Unterr¨aume von V als die Menge der Punkte(!) einer kombinatorischen GeometrieP =P(V) = (M, r), wobei wir setzen

r(S) = dim_V S (S ⊆M).

Die abgeschlossenen Teilmengen der kombinatorischen Geometrie P(V) entsprechen genau den linearen Teilr¨aumen des Vektorraums V. Die (aus der linearen Algebra bekannte) Modularit¨at der Dimensionsfunktion auf dem Verband der linearen Teilr¨aume vonV zeigt:

• P(V)ist eine projektive Geometrie.

Die Grundelemente von P(V) sind bzgl. V aber nicht Vektoren sondern 1-dimensionale lineare Teilr¨aume. Die projektive(!) Dimension vonP ist

dimP(V) = dimV V −1 = n−1.

Wieviele Punkte besitzt die projektive Geometrie P? Da sich je zwei 1- dimensionale lineare Teilr¨aume vonV genau im0-Vektor schneiden, finden wir

|P| = qⁿ−1 q−1 .

Betrachten wirV =Kⁿals Koordinatenraum, so erhalten wir die (linearen) Hyperebenen vonV als die Mengen der L¨osungenx= (x₁, . . . , x_n)∈ Kⁿ von homogenen linearen Gleichungssystemen vom Rang1:

a₁x₁+a₂x₂+. . .+a_nx_n = 0.

4. PROJEKTIVE GEOMETRIEN 95

Also schliessen wir, dass auch f¨ur die MengeH der Hyperebenen der pro- jektiven GeometrieP(V)gilt:

|H| = qⁿ−1

q−1 = |P|, wie wir es schon bei projektiven Ebenen kennen.