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Finanzmathematik 1: diskrete Modelle (Vorlesungspr¨ ufung)
26. Februar 2018 Stefan Gerhold
(Dauer 90 Minuten, Erlaubte Hilfsmittel: Schreibutensilien, nicht programmierbarer Taschenrechner, 1 selbstbeschriebenes A4 Blatt (beidseitig))
Anmeldung zur m¨undlichen Pr¨ufung nach Absprache.
Bsp. Max. Punkte
1 10
2 5
3 3
P 18
1. Betrachten Sie das folgende Zweiperiodenmodell mit einem risikolosen Finanzgut B und einer AktieS, auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}.
Die Filtration (Ft)t=0,1,2 wird vonS erzeugt, d.h.,Ft=σ(S0, . . . , St) f¨urt= 0,1,2.
B0 = 1 //B1 = 98 //B2 = 65 S2(ω1) = 36 S1(ω1,2) = 27
22,,
S0 = 16
22,,
S2(ω2,3) = 24 S1(ω3,4) = 9
22 ,,
S2(ω4) = 6
(2 pts.)
(i) Finden sie alle ¨aquivalenten Martingalmaße P∗. (Identifizieren Sie P∗ mit (p1, p2, p3, p4)∈R4; erkl¨aren Sie, was diese Identifikation bedeutet.)
(3 pts.)
(ii) Es bezeichneXt=St/Bt den diskontierten Preisprozess. Wir betrachten einen diskontierten amerikanischen claimH, definiert durch
H2 = (25−X2)+, H1 = (X1−10)+, H0 = 13.
Berechnen Sie die Snell-Einh¨ullende dieses claims (bzgl. P∗).
(2 pts.)
(iii) Berechnen Sie die Stoppzeit τmin.
(3 pts.)
(iv) Wie ist der gestoppte Prozess Uτmin definiert? Geben Sie ihn explizit an. Ist Uτmin ein Martingal? Falls ja, zeigen Sie die Martingaleigenschaft durch Be- rechnung der bedingten Erwartungswerte.
2. Wir betrachten ein arbitragefreies, vollst¨andiges Mehrperiodenmodell ( ¯St)t=0,...,T = (St0, St1, . . . , Std)t=0,...,T,
wobeiS0 positiv ist. Die diskontierten Preisprozesse sind Xi =Si/S0. Definiere f¨ur K >0 den diskontierten claim
H =1 T
T
X
k=1
Xk1−K+
(asiatischer Typ, d.h. underlying ist ein ¨uber mehrere Zeitpunkte gemittelter Kurs).
(3 pts.)
(i) Benutzen Sie die Jensensche Ungleichung, um eine untere Absch¨atzung f¨ur den Preis vonH zu erhalten.
(2 pts.)
(ii) Berechnen Sie den Preis dieses europ¨aischen claims im Modell aus Beispiel 1, als explizite Funktion von K.
2
(3 pts.)
3. Zur Erinnerung: Ein Einperioden-Modell heiß nicht redundant,falls f¨ur alle Portfo- lios ¯ξ ∈Rd+1
ξ¯S¯= 0 f.s. =⇒ ξ¯= 0
gilt. Geben Sie ein beliebiges Beispiel f¨ur ein redundantes Einperioden-Modell an (komplette Definition, alsoW-Raum, Anfangspreisvektor ¯π, Preisvektor ¯S).
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