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Finanzmathematik 1: diskrete Modelle (Vorlesungspr¨ ufung)
30. Juni 2014 Christa Cuchiero
90 Minuten
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1 12
2 12
3 12
P 36
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(12 Pkt.)
1. Betrachten Sie das folgende Zweiperiodenmodell mit einem risikolosen Finanzgut S0 und einem riskanten FinanzgutS1 auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P).
Dabei sei Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}, F = P(Ω) und P({ωi}) > 0 f¨ur i ∈ {1, . . . ,4}.
Außerdem sei die Filtration im Finanzmarktmodell durchF0 ={∅,Ω},F1 =σ(S11) und F2 =σ(S11, S21) gegeben.
S00 = 1 //S10 = 98 //S20 = 76 S21(ω1) = 35 S11(ω1,2) = 27
22,,
S01 = 16
,,22
S21(ω2,3) = 21 S11(ω3,4) = 9
,,22
S21(ω4) = 7
(i) Definieren Sie Arbitragefreiheit in diesem Finanzmarktmodell und formulieren Sie das “Fundamental Theorem of Asset Pricing” um den Zusammenhang zu Martingalmaßen zu erl¨autern.
(ii) Bestimmen Sie alle ¨aquivalenten Martingalmaße P∗ im obigen Finanzmarkt- modell. Identifizieren sie dabeiP∗mit (p1, p2, p3, p4)∈R4, wobeipi =P∗({ωi}) f¨uri∈ {1,2,3,4}.
(iii) Betrachten Sie eine asiatische Kaufoption auf das WertpapierS1und bewerten Sie diese indem Sie einen (nicht diskontierten) Preisprozess (Ct)t∈{0,1,2}angege- ben, sodass das erweiterte Finanzmarktmodell arbitragefrei ist. Diese Option ist eine Kaufoption europ¨aischen Typs deren Aus¨ubungspreis dem mittleren Preis des Wertpapiers ¨uber die betrachteten Perioden entspricht. Das heißt, der Payoff C2 is gegeben durch
C2 =
S21− 1 3
2
X
t=0
St1 +
.
(12 Pkt.)
2. Betrachten Sie folgendes Einperiodenmodell (S0, S1) auf einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω,F, P). Dabei sei das risikolose Wertpapier durch S00 = S01 = 1 und das risikante Wertpapier durch S01 = 1 und
S11 =eZ, mit Z ∼N(µ, σ2) und µ∈R, σ >0.
gegeben.
(i) Definieren Sie zuerst ein riskoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß. F¨ur welche Parameter µ und σ Ist P risikoneutral? (Hinweis: Die momenterzeugende Funktion M der N(0,1)-Verteilung ist durch M(t) = exp(t2/2) gegeben.)
2
(ii) Von nun an seiZ ∼N(0,1) unterP. F¨urν > 0 finden Sie ein zuP ¨aquivalentes WahrscheinlichkeitsmaßPν∗, sodassZ ∼N(−ν2/2, ν2) unterPν∗gilt. (Hinweis:
Versuchen Sie den Ansatz dPν∗/dP =fν(Z)) (iii) Sind die Maße Pν∗ risikoneutral?
(iv) Definieren Sie die Vollst¨andigkeit eines Finanzmarktmodells. Formulieren Sie einen aus der Vorlesung bekannten Satz, der die Vollst¨andigkeit und Arbitra- gefreiheit eines Finanzmarktmodells mittels risikoneutralen Maßen charakte- risiert. Ist das hier betrachtete Einperiodenmodell arbitragefrei? Ist es auch vollst¨andig?
(12 Pkt.)
3. Betrachten Sie das folgende Zweiperiodenmodell mit einem risikolosen Finanzgut B und einem riskanten Finanzgut X. Desweiteren sei Ω ={ω1, ω2, ω3, ω4},
F0 = {∅,Ω}, F1 = σ(X1), F2 = σ(X1, X2) = P(Ω) und P(ωi) > 0 f¨ur i ∈ {1,2,3,4}.
B0 = 1 //B1 = 1 //B2 = 1
X2(ω1) = 20 X1(ω1,2) = 16
22,,
X0 = 10
,,22
X2(ω2,3) = 10 X1(ω3,4) = 6
,,22
X2(ω4) = 4
(i) Bestimmen Sie das ¨aquivalente Martingalmaß P∗. Identifizieren sie dabei P∗ mit (p1, p2, p3, p4)∈R4, wobei pi =P∗({ωi}) f¨ur i∈ {1,2,3,4}.
(ii) Geben Sie zun¨achst allgemein die Definition der Snell-Einh¨ullenden eines nicht- negativen adaptierten Prozesses (Ht)t∈{0,...,T} mit T ∈ N an. Berechnen sie diese weiters unter dem Martingalmaß P∗ im obigen Finanzmarktmodell f¨ur den Claim (Ht)t∈{0,...,2} definiert durch
H0 = 4 H1(ω1,2) = 4 H1(ω3,4) = 6 H2(ω1) = 5 H2(ω2,3) = 15
H2(ω4) = 0.
(iii) Definiere die minimale optimale Stoppzeit τmin und berechne diese f¨ur den gegebenen Claim H im obigen Finanzmarktmodell.
(iv) Zeigen Sie, dass im obigen Finanzmarktmodell aufgrund von B0 = B1 = B2 der Preisprozess einer amerikanischen Put-Option mit jenem einer eu- rop¨aischen Put-Option ¨ubereinstimmt.
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