Name:
Mat.Nr.: Studium:
Bitte keinen Rotstift verwenden!
105.695 Einf¨ uhrung in die Stochastischen Prozesse und Zeitreihen 2020S, VO, 2.5h, 4.0EC
25.Juni 2018 Hubalek/Scherrer
(Dauer 90 Minuten, Unterlagen: ein handbeschriebener A4-Zettel sowie ein nichtprogrammierer Taschenrechner sind erlaubt)
Sie erhalten eine E-Mail mit dem Ergebnis
Bsp. Max. Punkte
1 5
2 5
3 5
4 5
P 20
1. Gegeben ist ein MA(∞) Prozess
xt=
∞
X
j=0
bjt−j (1)
mit einem white noise Prozess (t)∼WN(σ2) und Koeffizienten der Form
bj =c1aj1+c2aj2 f¨urj≥0 (2) wobeic1, c2, a1, a2 ∈Rund |a1|<1 und|a2|<1 gilt.
(a) Zeigen Sie, dass die Koeffizienten absolut summierbar sind, d.h. zeigen Sie
∞
X
j=0
|bj|<∞. (3)
Bemerkung: Daher gilt nat¨urlich auchP∞
j=0b2j <∞, der MA Prozess ist also wohldefiniert.
(b) Berechnen Sie nun bitte die Autokovarianzfunktion des Prozessesγ(k) = Cov(xt+k, xt) = E(xt+kxt). Zeigen Sie auch insbesondere, dass die ACF die Form
γ(k) =m1ak1 +m2ak2 f¨urk≥0 mit geeigneten Koeffizientenm1, m2 ∈R hat.
(c) Wir betrachten nun die h-Schritt Prognosen ˆxt+h f¨ur xt+h aus der unendlichen Ver- gangenheit (xs|s≤t). Welche Bedingung muss gelten, damit diese h-Schrittprognosen gegeben sind durch:
ˆ
xt+h=X
j≥h
bjt+h−j. (4)
Sie m¨ussen diese Bedingung nur anf¨uhren, aber nicht beweisen.
(d) Zeigen Sie nun, dass die h-Schrittprognosen (unter der im obigen Punkt angef¨uhrten Bedingung) die Form
ˆ
xt+h=z1ah1 +z2ah2
haben, wobei z1, z2 zwei Zufallsvariable sind. (Es gilt z1, z2 ∈H(t) = span{s|s≤t}.) Hinweis: Das klingt vielleicht schwierig, ist aber ganz einfach zu zeigen, wenn Sie diebj’ s aus Gleichung (2) in (4) einsetzen.
(e) Erkl¨aren Sie die Begriffe ,,Innovationen“ und ,,regul¨arer station¨arer Prozess“.
2. (a) Gegeben seieine Markovkette (Xn)n≥0 mit ZustandsraumI ={1,2}, Anfangsverteilung λ= (1/2,1/2) und ¨UbergangsmatrixP =
1/3 2/3 3/4 1/4
. Berechnen Sie:
• P[X4= 2|X3= 2, X2= 1, X1= 1, X0= 2]
• P[X4= 2, X3= 2, X2= 1, X1 = 1, X0 = 2]
(b) (Fortsetzung) Berechnen Sie:
• P[X4= 2, X3= 2, X2= 1, X1 = 1]
• P[X0= 2|X1= 1, X2= 1, X3= 2, X4= 2]
(c) Gegeben sei eine Zahlp ∈(0,1) und eine Markovkette (Yn)n≥0 mit ZustandsraumI = {1,2,3,4,5}, Anfangsverteilung δ1 und folgendem ¨Ubergangsgraph:1
1 2 3 4 5
p p p p 1
1−p 1−p 1−p 1−p
SeiH = inf{n≥0 :Yn= 5}. Berechnen SieE[H].
(d) Gegeben sei eine Markovkette (Rn)n≥0mit ZustandsraumI ={1, . . . ,8}, Anfangsverteilung die diskrete Gleichverteilung auf I, und ¨Ubergangsmatrix
P =
0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.2 0.0 0.0 0.3 0.3 0.0 0.2 0.3 0.0 0.0 0.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.0 0.0 0.0 0.6 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.4 0.2 0.0 0.3 0.0 0.1 0.0 0.0 0.4 0.2 0.0 0.3 0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
.
Geben Sie die Kommunikationsklassen an.
Begr¨unden Sie detailliert, dass die Zust¨ande 2 und 8 kommunizieren, indem Sie entsprechende Verbindungen i1, . . . , in−1 mitp2,i1· · ·pin−1,8 >0 und umgekehrt angeben.
(e) Mit einem Satz aus der Vorlesung k¨onnen wir rasch und ohne l¨angere Rechnung begr¨unden, dass die Kommunikationsklassen der Kette aus der vorigen Aufgabe alle rekurrent sind.
Wie lautet dieser Satz, was sind genau die Voraussetzungen?
1Diese Aufgabe ist von der UNIQA 4WARD Math Challenge#2 inspiriert. Die Aufgabe dort ist allerdings etwas schwieriger. https://fam.tuwien.ac.at/lehre/news/
3
3. Gegeben ist das AR(2) System:
xt= 1
3xt−1+1
3xt−2+t, (t)∼WN(σ2 = 4 3) (a) ¨Uberpr¨ufen Sie die Stabilit¨atsbedingung.
(b) Berechnen Sie die Autokovarianzfunktionγ(k) = Cov(xt+k, xt) des entsprechenden AR(2) Prozesses (xt). Berechnen Sie mindestens γ(0), γ(1), γ(2) undγ(3).
(c) Bestimmen Sie die Einschritt-Prognose ˆxt+1 f¨urxt+1 und die Zweischritt-Prognose ˆxt+2 f¨ur xt+2 (aus der unendlichen Vergangenheit) und die entsprechenden Prognosefehler- Varianzen.
(d) Bestimmen Sie die Prognose ˆzt+2=c0+c1xt+c2xt−1 f¨ur zt+2:= 2 +xt+1+xt+2
(d.h. bestimmen Sie die entsprechenden Koeffizienten c0, c1, c2) und die entsprechende Fehlervarianz. Geben Sie auch den Quotienten Var(zt+2−ˆzt+2)/Var(zt+2) an.
4. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) sei eine Brownsche Bewegung (W(t), t ≥ 0) gegeben. Weiters sei (F(t), t≥0) die nat¨urliche Filtration vonW.
(a) Gegeben sei eine Konstante a∈R. Untersuchen Sie, ob der Prozess (W(t)−at, t≥0) ein Martingal2, ein Submartingal, ein Supermartingal oder nichts davon ist. F¨uhren Sie eine vollst¨andige Diskussion f¨ur alle a∈Rdurch!
(b) Gegeben sei eine Konstante b∈R. Untersuchen Sie, ob der Prozess (W(t)2+bt, t≥0) ein Martingal2, ein Submartingal, ein Supermartingal oder nichts davon ist. F¨uhren Sie eine vollst¨andige Diskussion f¨ur alle b∈Rdurch!
(c) Sei Y(t) = exp(1 + 2t+ 3W(t)) f¨ur t≥0. Dann ist Y ein Ito-Prozess und kann in der Form
Y(t) =Y(0) + Z t
0
a(s)ds+ Z t
0
b(s)dW(s), t≥0
dargestellt werden. Geben Sie Y(0),a(t) undb(t) an. Die Voraussetzungen zur Anwen- dung der Ito-Formel m¨ussen und sollen Sie hierbei nicht ¨uberpr¨ufen!
(d) F¨ur jede ganze Zahln≥1 sei fn(t) =
n−1
X
j=0
W(j)I[j,j+1)(t), t≥0.
Begr¨unden Sie genau (Messbarkeit und Integrierbarkeit!), dassfn∈Mstep2 und berechnen SieE[I(f101)2] mit der Ito-Isometrie.
(e) Ist fn ein Gaußscher Prozess? Wenn ja, geben Sie die Mittelwertfunktion und die Ko- varianzfunktion an, wenn nein, eine genaue Begr¨undung, warum nicht.
2Ein Martingal ist automatisch immer auch ein Submartingal und ein Supermartingal, das m¨ussen Sie in diesem Fall nicht extra dazuschreiben.
5
