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105.593 Einf¨ uhrung in die Stochastischen Prozesse und Zeitreihen ALT, VO, 2.0h, 3.0EC
29.Juni 2018 Hubalek/Scherrer
90 Minuten
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1. Gegeben ist ein white noise Prozess (t) ∼ WN(σ2) mit σ2 > 0. Betrachten Sie nun den Prozess (xt|t∈Z), der definiert ist durch
xt= 0 f¨urt≤0
xt=−xt−1+t f¨urt >0.
(a) Berechnen Sie die ErwartungswerteExtund die Autokovarianzfunktionγ(t, s) =Cov(xt, xs).
(b) Ist dieser Prozess (xt) station¨ar?
(c) Zeigen Sie, dass die optimale h Schrittprognose f¨ur xt+h (f¨urt >0 und h > 0) aus der unendlichen Vergangenheit (d.h. gegeben (xs, s≤t)) einfach gleich
ˆ
xt+h = (−1)hxt
ist. Hinweis: Verwenden Sie den Projektionssatz.
(d) Berechnen Sie die Varianz des entsprechenden Prognosefehlers ˆut+h =xt+h−xˆt+h.
2. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) sei eine Brownsche Bewegung (W(t), t ≥ 0) gegeben. Weiters sei (F(t), t≥0) die nat¨urliche Filtration von W.
(a) Geben Sie E[W(s)], E[W(s)2],E[W(t)2], E[W(t)4] undE[W(s)W(t)2] f¨ur 0≤s≤tan.
(b) Wir fixieren nun zwei Zeitpunkte 0 < s < t und definieren die Funktion f : R2 → R durch1
f(c0, c1) =E[(W(t)2−c0−c1W(s))2], c0, c1 ∈R. Finden Sie c0, c1 sodassf(c0, c1) minimal wird. (Begr¨undung!)
(c) Seic∗0, c∗1 die L¨osung aus der vorherigen Teilaufgabe. Geben Sief(c∗0, c∗1) an.
(d) Gibt es eineF(s)-messbare Zufallsvariable Y mitE[(W(t)−Y)2]< f(c∗0, c∗1) ? Wenn ja, geben Sie ein konkretes Beispiel an und berechnen SieE[(W(t)−Y)2], wenn nein, geben Sie eine Begr¨undung, warum nicht.
(e) Sei
f(t) =e−t2/4, t≥0.
Istf ∈M2 ? Wenn ja, berechnen Sie die Varianz des stochastischen Integrals Z ∞
0
f(t)dW(t)
mit einer Methode ihrer Wahl, und geben Sie das Ergebnis als Dezimalzahl gerundet auf vier Nachkommastellen an. Wenn nein, geben Sie eine Begr¨undung warum nicht?
3. (a) Gegeben sei eine Markovkette (Yn)n≥0 mit Zustandsraum I = {1,2,3}, Anfangsvertei- lungλ= (0,2/5,3/5) und folgendem ¨Ubergangsgraph:
1 2 3
1/2
1/2
1/3
1/3
1/3 1/4
1/2 1/4
Berechnen Sie
i. P[X3= 1, X2= 3, X1= 3|X0= 2], ii. P[X3= 1|X2= 3, X1= 3, X0= 2].
(b) (Fortsetzung) Sei
H= inf{n≥0 :Xn= 1}.
die Trefferzeit f¨ur den Zustand 1.
i. Stellen Sie das Gleichungssystem f¨ur die Trefferwahrscheinlichkeitenhi =Pi[H <∞]
f¨uri= 1,2,3 auf, das sich aus der schwachen Markov-Eigenschaft ergibt.
ii. Ermitteln Sie diese Trefferwahrschenlichkeiten.
(c) (Fortsetzung) Bestimmen Sie die erwartete Trefferzeit des Zustands 1, alsoE[H].
(d) Gegeben sei eine Markovkette (Rn)n≥0 mit Zustandsraum I ={1, . . . ,8}, Anfangsver- teilung die diskrete Gleichverteilung aufI, und ¨Ubergangsmatrix
P =
0.0 0.1 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.2 0.0 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.3 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.9 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
.
Geben Sie die Kommunikationsklassen an. Ist die Kette irreduzibel?
(e) Gegeben sei (Zn)n≥0∼Markov(λ, P) mit ZustandsraumI ={1,2,3,4}, Anfangsvertei- lungλ= (1/4,1/4,1/4,1/4). Die Potenzen der ¨Ubergansmatrix P sind
P2n−1 =
0 21−2n 12 12 −21−2n 21−2n 0 12 −21−2n 12
0 0 12 12
0 0 12 12
, n≥1,
und
P2n=
2−2n 0 12 −2−2n 12 0 2−2n 12 12−2−2n
0 0 12 12
0 0 12 12
, n≥1.
Zerlegen Sie den Zustandsraum in Kommunikationsklassen und untersuchen sie (mit genauer Begr¨undung) welche Klassen rekurrent bzw. transient sind.
4. In dieser Aufgabe geht es um einen AR(4) Prozess (xt):
xt=a1xt−1+a2xt−2+a3xt−3+a4xt−4+t, (t)∼WN(σ2).
Die Autokovarianzen bis zum lag 4 sind bekannt:
γ(0) = 9, γ(1) =γ(2) =γ(3) = 0, γ(4) = 6.
(a) Berechnen Sie die AR-Koeffizienten a1, . . . , a4 und die Varianz σ2 Hinweis: Verwenden Sie die Yule-Walker Gleichungen und zeigen Sie insbesondere a1 =a2=a3 = 0.
(b) ˜A?berzeugen Sie sich, dass das AR Modell die Stabilit¨atsbedingung erf¨ullt.
(c) Berechnen Sie die MA(∞) Darstellung des Prozesses. Hinweis: es giltxt=P
j≥0bjt−4j. (d) Zeigen Sie, dass γ(k) = 0 f¨ur alle k ∈ Z gilt, die nicht durch 4 teilbar sind. Hinweis:
Sie k¨onnen die Yule-Walker Gleichungen verwenden oder die MA(∞) Darstellung von Punkt (c).
(e) Sei ˆxt+h dieh-Schrittprognose f¨urxt+h aus der unendlichen Vergangenheit (d.h. gegeben (xs, s ≤ t)) und σ2h die Varianz des entsprechenden Prognosefehlers. Zeigen Sie f¨ur 1≤h≤4, dass
ˆ
xt+h =a4xt+h−4
und
σh2 =σ2.
