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105.695 Einf¨ uhrung in die Stochastischen Prozesse und Zeitreihen 2018S, VO, 2.5h, 4.0EC
28.September 2018 Hubalek/Scherrer
90 Minuten
Unterlagen: ein handbeschriebener A4-Zettel sowie ein nichtprogrammierer Taschenrechner sind erlaubt
Sie erhalten eine E-Mail mit dem schriftlichen Ergebnis und Information zur Anmeldung zur m¨undlichen Pr¨ufung.
Bsp. Max. Punkte
1 5
2 5
3 5
4 5
P 20
Schriftlich:
AssistentIn:
M¨undlich:
Gesamtnote:
1. (a) Skizzieren Sie den ¨Ubergangsgraphen einer Markovkette mit Zustandsraum{1,2,3,4}, sodass die Kette zwei Kommunikationsklassen C1 ={1,2} und C2 ={3,4} hat, wobei C1 rekurrent und C2 transient sein soll. Verwenden Sie konkrete Zahlenwerte f¨ur die Ubergangswahrscheinlichkeiten.¨
(b) Gegeben sei eine Markovkette (Xn)n≥0 mit Zustandsraum I ={1,2,3}, Anfangsvertei- lungλ= (1/5,2/5,2/5) und folgender ¨Ubergangmatrix
P =
1 2
1
2 0
1 3
1 3
1 1 3 4
1 4
1 2
.
Berechnen Sie
i. P[X3= 1, X2= 3, X1= 3],
ii. P[X3= 1|X2= 3, X1= 3, X0= 2].
(c) (Fortsetzung) Sei
T = inf{n≥0 :Xn= 3}.
die Trefferzeit f¨ur den Zustand 3 unterP1. Berechnen Sie E1[T].
(d) Gegeben sei eine Markovkette (Yn)n≥0 mit Zustandsraum I ={0,1,2}, einer Anfangs- verteilung λ und ¨Ubergangsmatrix P. Es gelte λi > 0 und pij > 0 f¨ur alle i, j ∈ I.
Sei H = inf{n ≥ 0 : Xn = 1} und hi = Pi[H < ∞] f¨ur i ∈ I. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung von (h0, h1, h2) m¨oglichst ¨ubersichtlich dar.
(e) Ist das Gleichungssystem aus der vorherigen Teilaufgabe immer eindeutig l¨osbar? Wenn ja, geben Sie einen Beweis, wenn nein, ein konkretes Gegenbeispiel.
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2. Sei (t) ein white noise Prozess mit Varianz σ2. Sind die folgenden Prozesse (xt) station¨ar?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort! Berechnen Sie auch immer (wenn m¨oglich) die Erwartungswerte Extund die Kovarianzen Cov(xt, xs) f¨urt, s∈Z.
(a) (xt=t+−t)
(b) (xt= 15(t−2+t−1+t+t+1+t+2))
(c) (xt = (1 +t)2) (Hinweis: hier gen¨ugt es zu argumentieren, wieso dieser Prozess im allgemeinen nicht schwach station¨ar ist.)
(d) (xt= (1 +t)2+t) (e) (xt= 1−t+ 21−t)
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3. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) sei eine Brownsche Bewegung (W(t), t ≥ 0) gegeben. Weiters sei (F(t), t ≥ 0) die nat¨urliche Filtration von W. Wir fixieren nun drei Zeitpunkte 0< r < s < t.
(a) Geben Sie E[(W(t) +W(r))2|F(s)] undE[(W(t) +W(s))2] an.
(b) Wir fixieren nun drei Zeitpunkte 0< r < s < t und definieren die Funktion f :R2 →R durch
f(c1, c2) =E[(W(t)−c1W(r)−c2W(s))2], c1, c2 ∈R. Finden Sie c1, c2 sodassf(c1, c2) minimal wird. (Begr¨undung!)
(c) Seic∗1, c∗1 die L¨osung aus der vorherigen Teilaufgabe. Geben Sief(c∗1, c∗2) an.
(d) Sei
H(t) = exp
−W(t)2+1
2W(t)−t
, t≥0.
Dann istH ein Ito-Prozess. Das m¨ussen und sollen Sie bei dieser Pr¨ufung nicht zeigen.
Sie sollen aber die entsprechende Darstellung vonH als Ito-Prozess in Differential-und Integralform angeben.
(e) Die letzte Aufgabe ist etwas anspruchsvoller. Untersuchen Sie, ob H ∈M2 oder nicht!
(Genaue Begr¨undung)!
4
4. Gegeben ist folgendes AR System:
xt= 2xt−1−xt−2+t, (t)∼WN(σ2).
(a) Erf¨ullt dieses AR System die Stabilit¨atsbedingung?
(b) Wir betrachten nun eine spezielle L¨osung des AR Systems, die mit x0 = x−1 = 0
“startet”: Berechnen Siex1, x2, x3, d.h. stellen Siex1, x2, x3 als Linearkombination von 3, 2, . . . dar. Ist diese L¨osung station¨ar?
(c) Berechnen Sie die Varianzen und KovarianzenCov(xt, xs) f¨urt, s= 1,2,3.
(d) Zeigen Sie, dass ˆx4 = 2x3 −x2 die beste Prognose f¨ur x4 gegeben x3, x2, x1 ist und berechnen Sie auch die Varianz des Prognosefehlers (E(x4−xˆ4)2).
(e) Zeigen Sie, dass ˆx5 = 3x3 −2x2 die beste Prognose f¨ur x5 gegeben x3, x2, x1 ist und berechnen Sie auch die Varianz des Prognosefehlers (E(x5 −xˆ5)2). (Hinweis f¨ur die letzten beiden Punkte k¨onnen Sie z.B. den Projektionssatz verwenden.)
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