J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 25.10.2018
1. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A1: Es seien (X,k · k) ein Banachraum und L⊂X ein Teilraum. Zeigen Sie: (L,k · k|L) ist genau dann ein Banachraum wenn L abgeschlossen inX ist.
A2: a) Zeigen Sie, dassc0 ein abgeschlossener Teilraum von (`∞,k · k∞) ist.
b) Es seie(k) ∈CN der k-te Einheitsvektor in CN, also e(k)j :=
(1, falls j =k 0, sonst ,
und es sei L = span{e(k) : k ∈ N} der Teilraum der abbrechenden Folgen.
Zeigen Sie, dass L dicht in (c0,k · k∞) ist.
A3: Es sei I = [a, b]⊂R. Mit
kfk1 :=
Z b
a
f(t)dt (f ∈C(I))
ist (C(I),k·k1) ein normierter Raum. Zeigen Sie: Das FunktionalT0 :C[−1,1]→C, definiert durch T0f :=f(0) f¨urf ∈C[−1,1], ist nicht beschr¨ankt.
A4: Es seien (X,k · k) und (Y,k · k) normierte R¨aume und T ∈L(X, Y). Zeigen Sie:
a) kT xk ≤ kTk kxk f¨ur x∈X,
b) kTk= inf{c≥0 :kT xk ≤ckxkf¨urx∈X},
c) Sind (Z,k · k) eine weiterer normierter Raum undS ∈L(Y, Z), so ist kS◦Tk ≤ kSk · kTk.
A5: Es sei I = [a, b]⊂R. Beweisen Sie:
a) Ist (fn) eine Folge in C1(I) mit fn → f und fn0 → g gleichm¨aßig auf I, so ist f ∈C1(I) und f0 =g.
b) (C1(I),k · k1,∞) ist ein Banachraum.
