P4.1 - Ungekoppelte harmonische Oszillatoren im mikrokanonischen Ensemble Wir betrachten ein System von N ungekoppelten eindimensionalen harmonischen Oszillatoren beschrieben durch die Hamiltonfunktion H =

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 4 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Mittwoch 15.11 Pr¨ asenz¨ ubungen

P4.1 - Ungekoppelte harmonische Oszillatoren im mikrokanonischen Ensemble Wir betrachten ein System von N ungekoppelten eindimensionalen harmonischen Oszillatoren beschrieben durch die Hamiltonfunktion H =

N

X

i=1

p

2m + 1

2 mω

q

.

In der Vorlesung hatten wir die mikrokanonische Zustandssumme Ω(E) durch ein kombinatori- sches Argument im großen N Limes gefunden:

Ω(E ) = Sp[δ( ˆ H − E )] =

∞

X

n1=1,...n_N=1

δ

E − ~ ω

N

X

j=1

(n

+ 1 2 )

≈ (¯ e +

)

(¯ e −

)

, e ¯ = E N ~ ω a) Quantenmechanischer Fall: Bestimmen Sie die Entropie S(E) und die kalorische Zustands-

gleichung T (E,N ) des Systems.

b) Klassischer Fall: Berechnen Sie die klassische Phasenraumoberfl¨ ache Ω(E) = R

dΓδ(H − E) des Systems.

1) Hierbei sind die Oszillatoren als unterscheidbar anzunehmen, wie lautet dann dΓ?

2) F¨ uhren Sie das Phasenraumintegral aus durch geeignete ¨ Uberf¨ uhrung in Kugelkoordinaten in 2N Dimensionen. Nutzen Sie hierzu aus, dass die Oberfl¨ ache der 2N -dimensionalen Einheitskugel gerade (2π)

/(N − 1)! ist.

3) Bestimmen Sie aus Ihrem Ergebnis f¨ ur Ω(E) die Entropie S und die Temperatur T f¨ ur große N . Bestimmen Sie die kalorische Zustandgleichung E(T,N) und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem quantenmechanischen Fall !

P4.2 - Chemisches Potential f¨ ur das ideale Gas im mikrokanonischen Ensemble Die Sackur-Tetrode Gleichung der Entropie des idealen Gases lautet

S(E,V,N ) = kN (

log

"

V N

4πm 3h

E N

# + 5

2 )

a) ¨ Uberpr¨ ufen Sie die Homogenit¨ atsrelation der Entropie S(λE, λV, λN) = λS(E,V,N ) mit λ ∈

<.

b) Bestimmen Sie das chemische Potential µ = µ(E,V,N)

c) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der thermodynamischen Relation µ =

∂F

∂N

T,V

, mit der freien Energie F = E − T S.

1

Haus¨ ubungen

H4.1 - Ideales Gas im kanonischen Ensemble im Erdschwerefeld [2P]

Wir wollen nun das ideale Gas, d.h. ein klassisches System von N wechselwirkungsfreien Teilchen der Masse m in einem Volumen V im kanonischen Ensemble betrachten, die sich unter dem Einfluß des Erdschwerefeldes befinden, betrachten.

H =

N

X

i=1

~ p

2m + mgz

.

Das Gas befinde sich in einem Zylinder der Grundfl¨ ache A und der H¨ ohe h und habe konstante Temperatur.

a) Bestimmen Sie das Zustandsintegral Z

(T,A,h) des Systems! Hierbei ist es hilfreich zun¨ achst zu zeigen, dass Z

=

(Z

)

gilt.

b) Leiten Sie hieraus die freie Energie F , die innere Energie U sowie die W¨ armekapazit¨ at c

ab.

Diskutieren Sie in den beiden letzten F¨ allen insbesondere die Grenzf¨ alle mgh sehr viel gr¨ oßer (kleiner) als kT .

c) F¨ ur den Druck des Systems gilt p = kT

, wobei wir hier nur eine Ver¨ anderung der H¨ ohe h betrachten wollen. In welchen Grenzfall erh¨ alt man die Zustandsgleichung des ideale Gases im schwerelosen Fall?

H4.2 - Barometrische H¨ ohenformel [1P]

Berechnen Sie mithilfe der kanonischen Gesamtheit aus der Aufgabe H4.1 die mittlere Teilchen- zahldichte

n(~ x) =

N

X

i=1

δ(~ x − ~ x

)

in der H¨ ohe z des Zylinders. Bestimmen Sie daraus f¨ ur h → ∞ den Druck in der H¨ ohe z definiert als P (z) :=

Z

z

dz

hn(~ x

)i mg.

H4.3 - Zweiatomiges Molek¨ ul [2P]

Ein System von N nicht miteinander wechselwirkenden, zweiatomigen Molek¨ ulen sei im Volumen V eingeschlossen und befinde sich bei der Temperatur T . Die Hamiltonfunktion eines einzelnen Molek¨ uls laute

H

= 1

2m (~ p

+ ~ p

) + α

2 (~ x

− ~ x

)

. Berechnen Sie

a) das klassische Zustandsintegral des N Molek¨ ulsystems.

b) die Zustandsgleichung p = p(T,V,N ) c) die W¨ armekapazit¨ at c

d) den mittleren quadratischen Molek¨ uldurchmesser h(~ x

− ~ x

)

i

1

Definition: c

:= (

)

2