11_VerhaltenAnRaendernDesDefinitionsbereichs_Opp.docx
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs – Lösung
1. Untersuche das Verhalten der folgenden Funktionen für
x → ±∞
und gib gegebenenfalls die Gleichung der Asymptote an:a)
( )
+
∞
→
=
∞
= +
− 3 0
1 lim 3
2x
x ,
( )
+
−∞
→
=
∞
= +
− 3 0
1 lim 3
2x
x , da ZG < NG, also
y = 0
.b)
3
2 5 3
4
lim 2 =
+
−
±∞
→
x
x
x , da ZG = NG, also
3
= 2 y
c)
( )
( )( )
( )
9 5 5
4 5 2 2
5 2 1 : 4 3 2
2
1 2 9
−
−
−
− +
− +
−
−
−
= + +
− +
x x x x
x x
x
x x
, also
y = 2 x − 5
d)
0 , 5
4 2 4
4
7 2 lim 5
22
− −
− = +
−
±∞
→
x
x x
x
, da ZG = NG, also
y = − 0 , 5
2. Untersuche das Verhalten der Funktionen an den Grenzen ihres jeweiligen Definitionsbereiches:
a)
= + ∞
−
−
∞
→
1
4 lim 2
4
x x
x
, „
∞
“ da ZG >> NG; „+“ da Vorzeichen+ +
∞
−
− =
−
−∞
→
1
4 lim 2
4
x x
x , „
∞
“ da ZG >> NG; „–“ da Vorzeichen− +
∞
−
− =
− =
−
→+
0
+2 1
4 lim 2
4
1
x
x
x
,
− = + ∞
− =
−
→−
0
−2 1
4 lim 2
4
1
x
x
x
b)
( )
( x )
x x x
f −
= + 5
7
2 2
( 5 ) 0
lim
27
2
− = +
±∞
→
x x
x
x , da ZG < NG
( − ) = = + ∞
+
→ ±
0
+7 5
lim
27
2
0
x x
x
x
,
( − ) = = − ∞
+
→ +
0
−32 5
lim
27
2
5
x x
x
x
,
( − ) = = + ∞
+
→ −
0
+32 5
lim
27
2
5
x x
x
x
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3. Untersuche das Verhalten der folgenden Funktionen für
x → ±∞
und gib gegebenenfalls die Gleichung der Asymptote an:a)
( ) ( )
( )
( )
30 6 46
30 50 10
6 4 10
6 10 2
10 2 3 5 : 6 4 2
2 2 3
2 3 3 4
3 5
30 6 46 2
3 2
4
2 3
2
−
− +
−
−
−
− +
−
−
+ +
= +
− +
− − +
−
−
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
; also
lim ( ) = 2 + 10
±∞
→
f x x
x
b)
( ) ( )( )
( )( ) 3
5 3
5 1
6 3
4 5 2
lim 3
55 2 2
2 2
−
− =
= +
−
−
−
−
±∞
→
x
x x
x x
x x x
x
c)
( )( )
∞ +
− =
−
−
∞
→ 2
3 2
4 5 lim 2
x x x
x , „
∞
“ da ZG >> NG; „+“ da Vorzeichen= +
−
−
⋅ + ) ( ) (
( )( )
∞
−
− =
−
−
−∞
→ 2
3 2
4 5 lim 2
x x x
x , „
∞
“ da ZG >> NG; „–“ da Vorzeichen= −
− +
⋅ + ) ( ) (
4. Untersuche das Verhalten der Funktionen an den Grenzen ihres jeweiligen Definitionsbereiches:
a)
( ) ( )( )
( )( ) 2
2 3 2 2
2 2
3
+
= −
− +
−
= −
x x x
x
x x x
f
−
− = + =
−
→
4
1 4
1 2
2 lim 3
2
x x
x
2
2 2
lim 3 = − +
−
±∞
→
x
x
x
, da ZG = NG;
= = + ∞
+
−
− +
→ +
0
7 2 2 lim 3
2
x
x
x
,
= = − ∞
+
−
− −
→ −
0
7 2 2 lim 3
2
x
x
x
c)
( ) ( )( )
( x )( x )
x x x x
f + −
+
= −
3 3
1
2
;1
9
lim
22
2 3
+
−
− =
−
−
±∞
→
x
x x x x
x , da
( ) ( ) ( )
( )
x x
x x x
x x
x x
x x
x
2 9
9 2 9
1 9 : 2
2 2 3
9 2 2
2 3
2
− +
−
−
+
−
−
−
−
− +
−
= +
−
−
− −
( )( )
( )( ) = − ∞
= −
− +
+
−
− +
→ +
0
30 3
3
1 lim 2
3
x x
x x x
x
,
( ) = + ∞
− −
→
x f
x
lim
3 , da Polstelle mit VZW.
( )( )
( + )( − ) = = − ∞
+
−
→ +
0
−12 3
3
1 lim 2
3
x x
x x x
x
,
( ) = + ∞
→ −
x f
x
