1. Schlichte Graphen

KAPITEL IV

Kombinatorik und Graphen

1. Schlichte Graphen

Graphen sind ein besonders wichtiges Hilfmittel der Informatik.

Sie gehoren zwar nicht direkt in das Gebiet der algebraischen Grundstrukturen und der linearen Algebra. Sie werden jedoch haug in Beweisen verwendet,geben Anla zur Konstruktion von speziellen Matrizen und sind eng verwandt mit geometrischen und kombinatorischen Problemen und besonderen Abzahlungen.

Wir wollen daher in diesemKapitel einigeelementareEigenschaf- ten von Graphen erlautern.

Denition 1.1.

Die Menge AA = ^ffa;b^gja;b² A^{g P}(A) heit Menge der ungeordneten Paare in A.

Denition 1.2.

Ein Graph ist ein Tripel (V;E;) bestehend aus der MengeV derKnoten (engl. vertex, vertices), der Menge E der Kanten (engl. edge) und der Endpunktbildung : E ^;! V V: Fur eine Kante k ² E heien die Knoten a und b mit (k) = ^fa;b^g Endpunkte von k. Eine Kante k und ein Knoten a heien ^inzident, wenn a ein Endpunkt von k ist. Eine Kante heit eine Schlinge, wenn (k) = ^fa^g einelementige Menge ist.

Ein Graph heitschlicht, wenn injektivist und der Graph ohne

Schlingen ist. Ein Graph heitendlich, wenn er nur endlich viele Kanten und Knoten besitzt.

Bemerkung 1.3.

Ein endlicher schlichter Graph wird haug durch seineAdjazenzmatrix dargestellt; z.B.

v¹ v² v³ v⁴

v¹ 0 0 1 0

v² 0 0 1 1

v³ 1 1 0 1

v⁴ 0 1 1 0

=

0

B

B

B

@

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0

1

C

C

C

A

wobei V = ^fv¹;::: ;v^4g und E dargestellt ist durch die 1-en in der Matrix. Diese Matrix stellt den Graphen

;

;

;

;

;

;

r r

r r

dar. Die Matrix mu spiegelsymmetrisch zur Diagonalen sein, weil jeder Kante nur ein ungeordnetes Paar ^fvi;vj^g zugeordnet wird.

Denition 1.4.

EinTeilgraph eines Graphen (V;E;) besteht aus TeilmengenE¹ E;V¹ V , so da (E¹)V¹V¹ gilt. Ein Teilgraph (V¹;E¹) heitspannender Teilgraph, wennV¹ =V ist.

Ein Teilgraph (V¹;E¹) heit gesattigter Teilgraph oder von V¹ induziert, wenn ^;1(V¹V¹) =E¹:

Denition 1.5.

Sei X = (V;E;) ein endlicher Graph. Der Grad d(a) eines Knotens a²V ist die Anzahl der mit a inzidie- renden Kanten, wobei eine Schlinge mit Endpunkt a doppelt zu zahlen ist. a²V heit ^isolierter Punkt, wennd(a) = 0.

Allgemeingilt fur einen endlichenschlichtenGraphen 0d(a)

jV^j;1: a²V heit ein Endknoten in X, wenn d(a) = 1.

Sind je zwei verschiedene Knoten eines endlichen schlichten Gra- phen X durch eine Kante verbunden, so heit X vollstandig. Die Vervollstandigung eines endlichen schlichten Graphen X = (V;E;) ist (V;V V;id).

Ein erstes einfaches aber weitreichendesAbzahlprinzip ist in dem folgenden Satz angegeben.

Satz 1.6.

In einem endlichen schlichten GraphenX = (V;E;) gilt

X

a²Vd(a) = 2^jE^j:

Beweis. Jede Kante in E hat zwei Endpunkte, die beide in der linken Summe berucksichtigt werden. Sie wird also links ge- nau zweimal gezahlt.

Folgerung 1.7.

Die Anzahl der Knoten ungeraden Grades in einem endlichen schlichten Graphen ist gerade.

Ebenso wie bei algebraischen Grundstrukturen gibt es auch bei Graphen Homomorphismen,also Abbildungen, die die besondere Struktur von Graphen berucksichtigen.

Denition 1.8.

Seien X = (V;E;) und Y = (V⁰;E⁰;⁰) Gra- phen. Ein Homomorphismus f : X ^;! Y besteht aus zwei Ab- bildungen fV :V ^;!V⁰;fE :E ^;!E⁰ mit

8k²E[(k) = ^fa;b^g=⁾⁰fE(k) =^ffv(a);fv(b)^g]:

Es werden also Knoten auf Knoten und Kanten auf Kanten so abgebildet, da ihre Inzidenz erhalten bleibt.

Ein Isomorphismus f : X ^;! Y ist ein Homomorphismus, zu dem ein weiterer Homomorphismus g : Y ^;! X existiert mit gf = idX und fg = idY. Zwei Graphen heien isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus existiert.

Selbst bei endlichen Graphen ist es oft nicht leicht, zu erkennen, ob zwei gegebene Graphen isomorph sind. Fur diesen Zweck wol- len wir jetzt ein kleines Hilfsmittel entwickeln.

Denition 1.9.

Sei Y = (V⁰;E⁰) ein Teilgraph des schlichten Graphen X = (V;E;). Dann ist XⁿY := (V;E ⁿE⁰) ein Teil- graph von X, genannt Komplement von Y in X. Das Komple- ment eines schlichten Graphen X = (V;E;) ist sein Komple- ment in der Vervollstandigung.

Beispiele 1.10.

1) Das Komplement von

r r r r

in ^;;

@

@

@

@

;

; r r r r

r r ist ^;;

@

@

@

@

;

; r r r r

r r

2) Das Komplement von

;

;

;

r r r r

ist

@

@

@

r r r r

Satz 1.11.

Zwei schlichte Graphen sind genau dann isomorph, wenn ihre Komplemente isomorph sind.

Beweis. Da das doppelte Komplement eines Graphen der Graph selbst ist, genugt es aus der Isomorphie X = Y auf die Isomorphie X⁰ = Y⁰ zu schlieen. Wir identizieren ent- lang , also E V V . Sei f : VX ^;! VY bijektiv und f(EX) = EY, wobei f(EX) = ^fff(a);f(b)^gjfa;b^{g 2} E^g. Dann istf(VX VX ⁿEX) =VY VY ⁿEY:

Beispiel 1.12.

H

H

H

H

H H H H H H

J J J J J

r r

r r r r

=

J

J

J

J J J

r r

r r r r

, denn

J

J

J

J J J

r r

r r r r

=

H

H

H

H

H H H H H H

J J J J J

r r

r r r r

2. Ebene Graphen

Wir beginnen diesen Abschnitt mit zwei einfachen Problemen aus der Graphentheorie, die zu ihrer Losung schon tieiegende allgemeinere Satze benotigen.

Probleme 2.1.

(1) Gegeben seien drei Hauser a¹;a²;a³ und drei Versorgungsanschlusse a⁴;a⁵;a⁶(fur Gas, Wasser und Strom). Kann man alle drei Hauser an die Versorgung so anschlieen, da sich die Leitungen nicht uberschneiden?

S

S

S

S

S S

S

S

S

S

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

r r r

q q q

a¹ a² a³

a⁴ a⁵ a⁶ Kann der Graph mit der Adjazenzmatrix

a¹ a² a³ a⁴ a⁵ a⁶

a¹ 0 0 0 1 1 1

a² 0 0 0 1 1 1

a³ 0 0 0 1 1 1

a⁴ 1 1 1 0 0 0

a⁵ 1 1 1 0 0 0

a⁶ 1 1 1 0 0 0

in der Ebene ohne Uberschneidungen realisiert werden?

(2) (Problem der Konigsberger Brucken)

West Kneiphof Pregel

C

A

B

D

Gibt es einen Weg vonA;B oder C nach D, der uber jede der 7 Brucken genau einmal fuhrt? (Euler 1736)

Die gestellten Probleme benotigen einige weitere Begrie.

Denition 2.2.

(1) Ein endlicherGraph heitebener Graph, wenn er sich durch Punkte und Kurven ohne Uberschnei- dungen in der Ebene realisieren lat.

(2) EinWeg W derLange n in einem Graphen X besteht aus einer endlichen Folge von Kantenk¹;::: ;kn mit (k¹) =

fa⁰;a^1g;(k²) = ^fa¹;a^2g;::: ;(ki) = ^fai^;1;ai^g;(kn) =

fan^;1;an^g: a⁰ heit Anfangspunkt, an Schlupunkt des Weges, beide heien Endpunkte von W: Ein Weg heit geschlossen oder eine Schleife, wenn a⁰ = an gilt, sonst heit er oen. Ein Weg heit einfach, wenn alle Kno- ten a⁰;a¹;::: ;an des Weges paarweise verschieden sind mit Ausnahme der Endpunkte. Der Weg von a⁰ nach a⁰ heit trivial. Ein Kreis ist eine einfache nicht-triviale Schleife.

Satz 2.3.

Jeder Weg von a nachb in einem GraphenX enthalt einen einfachen Weg von a nach b.

Beweis. Fur a = b ist der triviale Weg einfach. Sei a⁶=b und k¹;::: ;kn⁺¹ der Weg von a nach b. Fur n = 1 ist W einfach.

Enthalte jeder Weg der Lange n einen einfachen Weg. Seien i <

j mit ai = aj gegeben. Dann ist k¹;::: ;ki;kj⁺¹;::: ;kn⁺¹ ein Weg, denn(ki) =^fai^;1;aj^g;(kj⁺¹) =^faj;aj^+1g. Da die Lange dieses Weges kleiner alsn+1 ist, enthalt er einen einfachen Weg von a nach b.

Denition 2.4.

Der Abstand d(a;b) zweier Knoten a und b in einem Graphen X ist die kleinste Lange eines (einfachen) Weges vona nach b. Wenn es keinen Weg von a nach b gibt, dann setzen wir d(a;b) =¹. Es gelten die Gesetze einer Metrik

(1) d(a;b) = 0 genau dann, wenn a = b;

(2) d(a;b) = d(b;a) fur alle a;b²V;

(3) d(a;c)d(a;b) + d(b;c) fur alle a;b;c²V:

Ein Graph heitzusammenhangend, wenn je zwei seiner Knoten durch einen Weg verbunden sind. Ein Graph "zerfallt\ in seine Zusammenhangskomponenten, weil der Zusammenhang zweier Knoten (d(a;b) <¹) eine Aquivalenzrelation ist.

Denition 2.5.

Jede geometrische Realisierung eines ebenen Graphen in der Ebene zerlegt die Ebene in zusammenhangen- de Gebiete, von denen genau eines, das Auengebiet, nicht be- schrankt ist.

A

A

A

A

@

@

;

; r

r r

r

und ^;;

@

@

@

@

;

; r

r r

r

sind zwei ebene Realisierungen desselben Graphen.

Satz 2.6.

(Euler) Sei X = (V;E;) ein zusammenhangender ebener nichtleerer Graph und Gdie Menge der Gebiete des Gra- phen. Dann gilt

jV^{j ; j}E^j + ^jG^j = 2: (Eulersche Polyederformel)

Beweis. Induktion nach ^jE^j. Sei ^jE^j = 1. Dann besitzt X genau eine Kante und entweder einen Knoten (die Kante ist ei- ne Schlinge) oder zwei Knoten. Mehr treten nicht auf, weil X zusammenhangend ist. Im ersten Fall gilt ^jG^j = 2;^jV^j = 1 und

jV^{j ; j}E^j + ^jG^j= 2: Im zweiten Fall gilt^jG^j = 1;^jV^j = 2 und

jV^j;jE^j + ^jG^j= 2. Sei die Behauptung richtig, wenn ^jE^j=n.

SeiX ein zusammenhangender ebener Graph mit^jE^j = n + 1:

Fall 1:X besitzt einen Endpunkt a (mit d(a) = 1) mit anhangen- der Kante k((k) = ^fa;b^g). Dann ist auch X⁰ = (V ^nfa^g;E ⁿ

fk^g;) ein zusammenhangender ebener Graph. Die Anzahl der Gebiete verandert sich nicht, weil durch k kein Gebiet abge- schlossen werden kann. Also ist 2 = (^jV^j;1)^;(^jE^j;1)+^jG^j=

jV^j;jE^j+^jG^j:

Fall 2: Es gibt keine Endpunkte. Sei k mit (k) = ^fa;b^g eine Kante auf der Begrenzung eines endlichen Gebietes. Ein solches Gebiet existiert, sonst istX ein zusammenhangender Graph mit

jV^j Knoten und ^jE^j =^jV^j;1 Kanten, insbesondere mit einem Endpunkt. Wir entfernenk aus X und erhalten einen Graphen X^nfk^g, der ein Gebiet weniger alsX hat, also 2 =^jV^j;(^jE^j; 1) + (^jG^j;1) =^jV^j;jE^j+^jG^j:

Folgerung 2.7.

Sei X ein zusammenhangender ebener schlich- ter Graph mit mindestens 2 Kanten. Dann ist 3^jG^j 2^jE^j und

jE^j3^jV^j;6: Auerdem gilt d =min^fd(a)^ja²V^g5:

Beweis. Jedes innere Gebiet wird von mindestens 3 Kanten begrenzt, weil X schlicht ist. Jede Kante grenzt an hochstens 2 Gebiete. Also ist 3^jG^j 2^jE^j , wenn wir die Inzidenzpaare (Kante, Gebiet) zahlen. Das gilt auch, wenn nur 2 Kanten und kein inneres Gebiet existieren. Mit dem Satz von Euler folgt 2 =

jV^j;jE^j+^jG^{j j}V^j;jE^j+^23jE^j=^jV^j;13jE^j, oder 3^jV^j;6

jE^j. Weiter ist d^jV^j 2^jE^j 6^jV^j;12, ein Widerspruch fur d6:

Folgerung 2.8.

Die beiden Graphen K³;³ = ^SS

S

S

S S

S

S

S

S

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

r r r

r r r

und K⁵ = ^CC C

C c

c

c

c

c

#

#

#

#

#

B B B B B B

Q Q Q

r

r r

r r

sind nicht eben.

Beweis. K³;³ : Es ist ^jV^j = 6 und ^jE^j = 9. Ware K³;³ eben, so mute ^jG^j = 2^{; j}V^j+^jE^j = 5 gelten. Jedes Gebiet wird von mindestens 4 Kanten begrenzt (es gibt keine Dreiecke in K³;³). Jede Kante grenzt an 2 Gebiete an. Also ist 4^jG^j 2^jE^j: Dann ware aber 20 = 45 29 = 18, was nicht moglich ist.

K⁵ : Es ist^jV^j= 5 und ^jE^j= 10. Dann ist 3^jV^j;6 = 15^;6 = 9< 10 =^jE^j in Widerspruch zu Folgerung 2.7

Bemerkung 2.9.

Mit Folgerung 2.8 ist auch das Versorgungs- problem 2.1 (1) gelost, und zwar negativ.

Da wir jetzt einige Graphen gefunden haben, die nicht eben sind, erhebt sich die Frage, ob es noch weitere solche Graphen gibt.

Daruber gibt der Satz von Kuratowski Auskunft, den wir hier nur angeben wollen, weilsein Beweis weitereHilfsmittelbenotigt.

Um die Aussage des Satzes zu verstehen, benotigen wir erst noch einen weiteren Begri.

Denition 2.10.

Ein schlichter GraphY = (V⁰;E⁰;⁰) entsteht aus dem schlichten Graphen X = (V;E;) durch einfache Un- terteilung der Kante k²E, wenn gelten

V⁰ = V ^[fa^gmita⁶²V;

E⁰ = (E^nfk^g)^[fl;m^g mitl;m =²E;k ²E;

(k) = ^fb;c^g;⁰(l) =^fa;b^g;⁰(m) =^fa;c^g:

Y entsteht aus X durchUnterteilung, wennY durch eineendliche Folge von einfachen Unterteilungen aus X entsteht.

Satz 2.11.

(Kuratowski) Ein schlichter endlicher Graph ist ge- nau dann eben, wenn er keinen Teilgraphen besitzt, der eine Un- terteilung von K³;³ oder K⁵ ist.

Eine weitere schone Anwendung der Eulerschen Polyederformel ist die Aufzahlung der moglichen Platonischen Korper.

Bemerkung 2.12.

(Platonische Korper) Ein Platonischer Kor- per besteht aus einer Realisierung eines schlichten Graphen auf der 2^;Sphare S² (Kugeloberache), so da alle entstehenden Gebiete kongruent sind und sich in jedem Knoten gleich vie- le Gebiete treen. Sei m die Anzahl der Kanten bzw. Knoten eines (jeden) Gebietes,n die Anzahl der Gebiete, die einen Kno- ten gemeinsam haben. Wir setzen weiterhin m;n 3 voraus.

Schneiden wir ein Gebiet auf, so entsteht ein ebener Graph, der das aufgeschnittene Gebiet als Auengebiet hat. Sei P = (V;E) eine solche Realisierung eines platonischen Korpers. Also ist 2^jE^j=m^jG^j, wenn man die Inzidenzpaare (Kanten, Gebiete) zahlt. Zahlen wir die Inzidenzpaare (Knoten, Gebiete), so gilt m^jG^j = n^jV^j. Mit Eulers Satz folgt 0 < 2 = ^jV^j;jE^j+^jG^j = (^m_n ^{; m2} + 1)^jG^j also ^2m;mn2_n⁺²ⁿ > 0 oder (m ^; 2)(n ^; 2) = (^;2m + mn^;2n) + 4 < 4. Es konnen hochstens folgende Falle auftreten:

m = 3; n = 3; (m^;2)(n^;2) = 1; Tetraeder, m = 4; n = 3; (m^;2)(n^;2) = 2; Wurfel, m = 3; n = 4; (m^;2)(n^;2) = 2; Oktaeder, m = 5; n = 3; (m^;2)(n^;2) = 3; Dodekaeder, m = 3; n = 5; (m^;2)(n^;2) = 3; Ikosaeder.

Denition 2.13.

Gibt es in einem Graphen X einen geschlos- senen WegW, der jede Kante aus EX genau einmal enthalt und jeden Knoten (mindestens) einmal enthalt, so heit X ein Eu- lerscher Graph und W eine Eulersche Linie.

Satz 2.14.

Fur einen Graphen X sind aquivalent:

(1) X ist ein Eulerscher Graph.

(2) Jeder Knoten von X hat geraden Grad und X ist ein zusammenhangender, endlicher Graph.

Beweis. (1) =⁾(2) : Eine Eulersche Linie, die in einen Kno- ten hineinlauft, mu ihn auf einer anderen Kante auch wieder verlassen. Bei jedemBesucheines Knotens werden 2 weitereKan- ten belegt. Man beachte, da hier Schlingen bei der Bestimmung

des Grades von Knoten doppelt gezahlt werden. Es ist klar, da X zusammenhangend und endlich ist.

(2) =⁾(1) : Wenn^jE^j= 1; dann ist X von der Form^r . Wenn

jE^j= 2, dann hatX die Form^r oder^{r r}. In beiden Fallen ist die Eulersche Linie klar. Sei die Aussage wahr fur Graphen mit hochstens n Kanten. Habe X = (V;E;) n + 1 Kanten. Sei a²V als Anfangspunkt gewahlt. Wir bilden einen Weg W von a ausgehend, bei dem jede Kante hochstens einmal auftritt. Wenn dieser Weg nicht mehr zu verlangern ist, d.h. keine Kante mehr aus dem letzten Knoten herausfuhrt, dann mu der Endpunkt dieses Weges a sein, weil alle anderen besuchten Knoten gera- den Grad haben. Sind in diesem Weg alle Kanten und Knoten enthalten, so sind wir fertig. Sonst bilden wir X ⁿ W. Dieser Graph kann in Zusammenhangskomponenten zerfallen. Aber je- de Komponente hat wieder nur Knoten von geradem Grad, und hat daher Eulersche Linien. Diese mussen sich mit W treen, weil X zusammenhangend war. Man kann sie daher mit W zu einer Eulerschen Linie zusammenfugen.

Bemerkung 2.15.

(Losung des Konigsberger Bruckenproblems) Der Graph ist

;

;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r

Wir fugen einen zusatzlichen "Ruckweg\ ein und erhalten

;

;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r oder ^;;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r oder ^;;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r

In keinem Fall liegt ein Eulerscher Graph vor.

Beispiel 2.16.

Das Konigsberger Bruckenproblem kann wie folgt erweitert werden. Der reiche BaronA wohnt in A. Er argert sich, da er nach einem Besuch des Kneiphofes auf der Insel D nicht so nach Hause gehen kann, da er jede der Brucken genau einmal uberquert. Deshalb baut er eine weitere Brucke, so da er uber die nunmehr acht Brucken abends heimgehen kann.

Der auf seinen guten Ruf bedachte GrafB wohnt in B und argert sich, da zwar der Baron A jetzt abends vom Kneiphof uber al- le Brucken heimgehen kann, er selbst aber nicht. Daher baut er noch eine weitere Brucke. Nun kann Graf B abends uber alle neun Brucken heimgehen und jede dabei genau einmal uberque- ren, aber nicht mehr der Baron A.

Weil die Kosten fur den Bruckenbau die Finanzen der beiden Herren stark belastet haben, einigen sie sich auf den Bau nur noch einer weiteren Brucke, so da sie beide auf einer einzigen Eulerschen Linie den Kneiphof besuchen und wieder heimkehren konnen. Wie wurden die drei weiteren Brucken gebaut?

Zur Losung wurde die achte Brucke so gebaut:

;

;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r und ergab mit Hinweg ^;;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r

einen Eulerschen Graphen. Die neunte Brucke wurde so gebaut:

;

;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r und ergab mit Hinweg ^;;

;

@

@

@;

;

;

@

@

@ r

r r

r

einen Eulerschen Graphen. Die zehnte Brucke wurde so gebaut

;

;

;

@

@

;

;

@

@

@ r

r

r

3. BAUME 145

Dieser Graph ist Eulersch.

3. Baume

Besonders haug benutzte Graphen in der Informatik sind soge- nannte Baume. Sie werden ausfuhrlich in anderen Vorlesungen studiert, so da wir uns hier mit einer Charakterisierung und einigen Beispielen begnugen konnen.

Denition 3.1.

EinBaum ist ein zusammenhangender schlich- ter Graph ohne Kreise. Ein Wald ist ein schlichter Graph ohne Kreise.

Satz 3.2.

SeiX ein schlichter Graph mit nKnoten undmKan- ten. Dann sind aquivalent

(1) X ist ein Baum.

(2) Je zwei Knoten sind in X durch genau einen Weg ver- bunden.

(3) X ist zusammenhangend und fur jede Kante k ² E gilt, da X ^nfk^g= (V;E^nfk^g) nicht zusammenhangend ist.

(4) X ist zusammenhangend, und es gilt m = n^;1:

(5) X ist ein Graph ohne Kreise, und fur jede Kante k ^im Komplement vonX ^ist X^[fk^g= (V;E^[fk^g)ein Graph mit genau einem Kreis.

Ohne Beweis.

Denition 3.3.

Ein Baum zusammen mit einem ausgezeichne- ten Knotenw (= Wurzel) heit einWurzelbaum. Ein Endknoten eines Wurzelbaumes heit Blatt. Beachte: Die Baume der Infor- matik bzw. Mathematik wachsen im Himmel, d.h. die Wurzel wird immer zuoberst gezeichnet. Sinda und b benachbarte Kno- ten in einemWurzelbaum und istd(a;w) < d(b;w), so heit a der Vater vonb und b einSohn vona. Wenn jeder Knoten hochstens n Sohne hat, so sprechen wir von einem n^;aren ^Wurzelbaum. Wenn jeder Knoten, auer den Blattern, genau n Sohne hat, so nennen wir den Baum einenregularen n^;aren Wurzelbaum.

Bemerkung 3.4.

Ein regularer binarer Wurzelbaum hat genau einen Knoten von Grad 2, namlichdie Wurzel. Alle anderen Kno- ten haben den Grad 1 oder 3. Folglich hat er eine ungerade An- zahl von Knoten, denn wegen ^Pa²V d(a) = 2^jE^jgerade und weil alle Summanden d(a) auer d(w) ungerade sind, mu eine un- gerade Anzahl von Summanden vorliegen. Wenn der regulare binare Baum n Knoten hat, dann hat er (n+1)=2 Blatter. Denn hat ert Blatter, so hat er n^;t^;1 Knoten vom Grad 3, also ist

jE^j= ¹²(t + 3(n^;t^;1) + 2) =n^;1. Daraus bestimmt sich t = (n + 1)=2. Die Knoten in einem Baum, deren Grad groer als eins ist, heien innere Knoten. Ein regularer binarer Baum besitzt also (n ^;1)=2 innere Knoten, also genau einen inneren Knoten weniger, als er Blatter hat.

Beispiele 3.5.

(1)

;

;

;

;

;

;

;

;

@

@

@

@

@

@

@

@ r

r

r r r

r r r

r r r

r r

ist ein Baum.

(2)

;

;

;

;

;

@

@

@

@

@

@

r r

r r

r

r

r

e ist ein regularer binarer Wurzelbaum.

(3)

@

@

@

@

@

@

@

;

;

;

;

;

r r

r

r r

r r

e ist ein Wurzelbaum, der als Baum (Graph) zu dem in Beispiel 2) gezeigten isomorph ist.

(4) Die Veranstaltung eines Sportwettkampfes nach dem k.o.

System (der Sieger eines Matches kommt eine Runde wei- ter, Freilose sind moglich) induziert einen regularen bi- naren Wurzelbaum. Die Teilnehmer sind die Blatter, die inneren Knoten sind die einzelnen Turnierkampfe.Es wer- den genau n^;1 Turnierkampfe stattnden, wenn n Teil- nehmer gemeldet sind.

(5) Ein algebraischer Ausdruck ((a+ b)c+ d(e+ fg))h

3. BAUME 147

deniert einen regularen binaren Baum mit den Blattern a;::: ;h und den Knoten +;;+;;+;;:

Der Baum ist

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

r r

r r

r r

r

r r

r r

r r

r r

a b c d

e f g

h +

+

+

q

q

q

q

Beim Auftreten von nicht-kommutativen Operationen ist die Reihenfolge in der Schicht der Sohne eines Knotens zu beachten.