Abgabetermin: 28.6.2017 (in der Übung, vorher per Mail oder in der Vorlesung); Alternativ:

Informatik LS XIV Software Engineering Prof. Dr. Jakob Rehof Jan Bessai

Übungen zur Vorlesung

Komponenten- und Service-orientiere Softwarekonstruktion

Sommersemester 2017 Übungsblatt Nr. 8

Abgabetermin: 28.6.2017 (in der Übung, vorher per Mail oder in der Vorlesung); Alternativ:

Bis am 30.6.2017 per Mail oder in OH14, Raum 129 Aufgaben(teile) mit der Markierung

⋆ sind Zusatzaufgaben.

Gemeinsame Abgaben von Gruppen bis zu 3 Personen sind möglich. 23.6.2017

Type assignment rules for combinatory logic with intersection types and distributing covariant constructors.

n∈N⁰ Natural number or zero

x, y, z∈O Combinators

α, β, γ∈V Type Variables

C, C1, C2, . . . , Cn∈C Constructor Symbols

| · |:C→N⁰ Constructor Arity

≤C⊆ {(C1, C2)∈C×C| |C1|=|C2|}Constructor Preorder

S:V→T Substitution

S^∗(σ) = Slifted toTV→T

C(S^∗(σ1), S^∗(σ2), . . . , S^∗(σ_|C|)) ifτ=C(σ1, σ2, . . . , σ_|C|)

ω ifτ=ω

S^∗(σ)→S^∗(τ) ifτ=σ→τ

S^∗(σ)∩S^∗(τ) ifτ=σ∩τ

S(α) ifτ=α

TV∋σ, τ, ρ, σ1, σ2, . . . , σn::= Type Scheme C(σ1, σ2, . . . , σ_|C|) constant

ω omega

σ→τ function

σ∩τ intersection

α variable ofV

T=T∅∋a,a1,a2, . . . ,an

b,b1,b2, . . . ,bn

Type T ∋M, N, N1, N2, . . . , Nn::= Term

x variable

(M N) application

Γ :O→TV Type Context

WF⊆V→T Function space of

well-formed substitutions Subtyping(≤ ⊆T×T):

C1≤CC2 |C1|=|C2| ∀n:an≤bn

(CAx) C1(a1,a2, . . . ,a_|C1|)≤C2(b1,b2, . . . ,b_|C2|)

(≤ω) a≤ω

(CDist) C1(a1,a2, . . . ,a_|C1|)∩C1(b1,b2, . . . ,b_|C1|)≤C1(a1∩b1,a2∩b2, . . . ,a_|C1|∩b_|C1|)

(→ω)

ω≤ω→ω a2≤a1 b1≤b2

(Sub) a1→b1≤a2→b2

(Dist) (a→b1)∩(a→b2)≤a→b1∩b2

(Idem)

a≤a∩a a1≤a2 a2≤a3

(Trans) a1≤a3

a≤b1 a≤b2

(GLB) a≤b1∩b2

(LUB1)

a∩b≤a (LUB2)

a∩b≤b Type assignment(⊢ ⊆(O→TV)× T ×T):

Γ(x) =τ S∈WF (Var) Γ⊢x:S^∗(τ)

Γ⊢M:a→b Γ⊢N:a (→E) Γ⊢(M N) :b

Γ⊢M:a a≤b (≤) Γ⊢M:b

Γ⊢MΓ:⊢aM:aΓ∩⊢bM:b (∩I)

Aufgabe 1 (Subtyping) (5 Punkte)

Zeigen Sie unter Verwendung der obigen Regeln, dass folgende Aussagen für alle Typen aus

gelten:

1. ω ≤ a → ω

2. (a

→ b

) ∩ (a

→ b

) ≤ (a

∩ a

) → (b

∩ b

) 3. a ∩ b ≤ b ∩ a

4. wenn a

≤ a

und b

≤ b

, dann a

∩ b

≤ a

∩ b

5. a ≤ a

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Aufgabe 2 (Typableitungen) ( 5 Punkte) Finden Sie jeweils einen Term und eine zugehörige Typableitung im oben beschriebenen System für die folgenden Probleme:

1.

WF = {{ α 7→ blue } , { α 7→ red }}

≤

= { (Shopper, P erson) }

Γ = { hipster : Item(red ∩ blue) → Shopper ∩ Happy, Shoes : Item(α) } Γ ⊢ ? : P erson ∩ Happy

2.

WF = {{ α 7→ DropDown } , { α 7→ RadioButtons }}

Γ = { customerForm : ( String → java.net.URL → OptionSelection → Form ) ∩

(T itle → Location(Logo) → ChoiceDialog(α) → OrderM enu(α)) dropDownSelector : ( java.net.URL → OptionSelection ) ∩

(Location(Database) → ChoiceDialog(DropDown)) radioButtonSelector : ( java.net.URL → OptionSelection ) ∩

(Location(Database) → ChoiceDialog(RadioButtons)) companyTitle : String ∩ T itle

databaseLocation : java.net.URL ∩ Location(Database) logoLocation : java.net.URL ∩ Location(Logo) alternateLogoLocation : java.net.URL ∩ Location(Logo) } Γ ⊢ ? : Form ∩ OrderM enu(ω)

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