MaximumsprinzipimFinite-Elemente-Rahmen AndreasSwoboda

LMU München • Andreas Swoboda

Maximumsprinzip im Finite-Elemente-

Rahmen

Laplace-Gleichung: Maximumprinzip

Satz (Maximumprinzip für die Laplace-Gleichung) Sei Ω ⊂

oen, beschränkt und sei f : Ω →

Lösung der Laplace-Gleichung, d. h. ∆f (x) = 0, x ∈ Ω . Dann gilt max f ( ¯ Ω) = max f (∂Ω) bzw. für alle x ∈ Ω :

f (x) ∈ [min f (∂Ω), max f (∂Ω)] ≡ conv hull(∂Ω)

-1.0 -0.5

0.0 0.0

0.5 1.0 0

1 2 3

f (x, y) = x

− y

+ 2

Beweis

•

Mittelwerteigenschaft: f (x) =

B(x,r)

f (y)dy .

•

Sei x ∈ Ω sodass f(x) ∈ / [min f (∂Ω), max f (∂Ω)] globales Maximum (Minimum) ist, dann folgt aus der Mittelwerteigenschaft dass f konstant ist in B (x, r) ⊂ Ω .

•

Wiederholtes Anwenden liefert, dass f im gesamten

zusammenhängenden Gebiet um x konstant ist, Widerspruch!

Convex Hull Property

•

Verallgemeinerung auf nicht-homogenes Problem:

∆f(x) = h(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω (Maximumprinzip)

•

Verallgemeinerung auf weitere (z. B. elliptische o. nicht-lineare) PDG's, z. B. p -Laplace-Gleichung:

∆

f = 0

Ω

f = g

∂Ω ⇔

1

p |∇f |

→ min

g + W

(Ω) (1) mit ∆

f := ∇ · |∇f |

∇f

.

•

Verallgemeinerung auf vektorwertige Lösungen: Convex Hull Property:

Satz (Convex Hull Property für die p-Laplace-Gleichung) Sei f (vektorwertige) Lösung zu (1). Dann gilt

(CHP)

Warum die konvexe Hülle?

Lemma

Sei K ⊂

abgeschlossen und konvex. Deniere die orthogonale Projektion Π

:

→ K durch Π

x := arg min

|x − y| . Für alle x ∈

und alle z ∈ K gilt

(x − Π

x) · (z − Π

x) ≤ 0 (2)

Warum die konvexe Hülle?

Lemma

Sei K ∈

abgeschlossen, konvex und f :

→

. Dann gilt ∀x ∈

:

|∇Π

f(x)| ≤ |∇f(x)|

|Π_Kf(x)−Π_Kf(y)|²= (Π_Kf(x)−f(x)+f(x)−f(y) +f(y)−Π_Kf(y))

·(ΠKf(x)−ΠKf(y))

≤(f(x)−f(y))·(ΠKf(x)−ΠKf(y))

C−S≤|f(x)−f(y)||ΠKf(x)−ΠKf(y)|

⇒lim

y→x

|Π_Kf(x)−Π_Kf(y)|

|x−y| ≤ lim

y→x

|f(x)−f(y)|

|x−y|

Beweis: CHP für p-Laplace

•

Existenz einer eindeutigen schwachen Lösung (ohne Beweis)

•

Wähle K = conv hull (∂Ω) , dann gilt für J [f ] ≡

p

|∇f |

J [f ] ≤ J [Π

f ]

•

Wegen Monotonität von J [f ] in |∇f| und |∇ (Π

f)| ≤ |∇f | : J [Π

f] ≤ J [f ]

⇒ Π

f ≡ f

Verallgemeinerung des CHP

Benutzt:

•

Existenz und Eindeutigkeit der Lösung

•

Monotonität von F in J [f] =

Ω

F (x, |∇f (x)|) im zweiten Argument Satz (Convex Hull Property)

Sei f eindeutiger Minimierer der Energie J [f ] =

Ω

F (x, |∇f (x)|) wie oben. Dann gilt

f (x) ∈ conv hull(∂Ω), ∀x ∈ Ω ⊂

(3)

Finite Elemente

Sei T eine konforme Triangulierung von Ω in n-Simplexe T . Sei N die Menge der Ecken in T .

Sei

(T ) der Raum der an-linearen Funktionen auf T ∈ T . Denition (Finite Lagrange Elemente)

Der Raum der niten Lagrange Elemente ist deniert als

V

(T ) :=

V ∈ C Ω

V

∈

(T) f ¨ ur alle T ∈ T . (4)

V(T)

wird aufgespannt von der nodalen Lagrange Basis

∈ N :

∈ N

⇒

z∈N

ϕ_z

≡

Finite Elemente

Sei T eine konforme Triangulierung von Ω in n-Simplexe T . Sei N die Menge der Ecken in T .

Sei

(T ) der Raum der an-linearen Funktionen auf T ∈ T . Denition (Finite Lagrange Elemente)

Der Raum der niten Lagrange Elemente ist deniert als

V

(T ) :=

V ∈ C Ω

V

∈

(T) f ¨ ur alle T ∈ T . (4)

V

(T ) wird aufgespannt von der nodalen Lagrange Basis ϕ

, z ∈ N :

y, z ∈ N

ϕ

(y) = δ

⇒

z∈N

ϕ

≡ 1

Triangulierung, nodale Basis

1

CHP für nite Elemente

I. A. gilt für V ∈

(T ) , dass Π

V ∈ /

(T ) !

Deniere den Projektionsoperator P

:

(T )

→

(T )

mit (P

V)(Ω) ⊂ K durch

(5)

CHP für nite Elemente

I. A. gilt für V ∈

(T ) , dass Π

V ∈ /

(T ) !

Deniere den Projektionsoperator P

:

(T )

→

(T )

mit (P

V)(Ω) ⊂ K durch

(5)

Nicht-Stumpfwinkligkeit

Denition (nicht-Stumpfwinkligkeit)

Ein Simplex T ∈ T heiÿt nicht-stumpf wenn die Winkel zwischen allen Paaren von Seiten kleiner oder gleich π/2 sind.

Eine konforme Triangulierung T von Ω heiÿt nicht-stumpf, wenn alle Simplexe T ∈ T nicht-stumpf sind.

Mit anderen Worten:

Lemma

Ein

-Simplex

∈ T ist nicht-stumpf genau dann wenn

∇ϕ

· ∇ϕ

≤

∀z, y ∈

∩ N

6=

(6) Eine konforme Triangulierung T von

ist nicht-stumpf genau dann wenn

∇ϕ · ∇ϕ ≤

∀z, y ∈ N

6=

(7)

Nicht-Stumpfwinkligkeit

Denition (nicht-Stumpfwinkligkeit)

Ein Simplex T ∈ T heiÿt nicht-stumpf wenn die Winkel zwischen allen Paaren von Seiten kleiner oder gleich π/2 sind.

Eine konforme Triangulierung T von Ω heiÿt nicht-stumpf, wenn alle Simplexe T ∈ T nicht-stumpf sind.

Mit anderen Worten:

Lemma

Ein n -Simplex T ∈ T ist nicht-stumpf genau dann wenn

∇ϕ

· ∇ϕ

≤ 0 ∀z, y ∈ T ∩ N mit z 6= y (6) Eine konforme Triangulierung T von Ω ist nicht-stumpf genau dann wenn

∇ϕ · ∇ϕ ≤ 0 fast ¨ uberall in Ω, ∀z, y ∈ N mit z 6= y (7)

Lemma

Lemma

Sei T eine nicht-stumpfe, konforme Triangulierung von Ω und sei K ∈

abgeschlossen und konvex. Für alle V ∈

(T )

und fast überall in Ω gilt

∇V : ∇P

V ≥ |∇P

V|

und (8)

|∇V| ≥ |∇P

V|, (9)

d.h. unter diesen Bedinungen gilt (CHP)

Beweis

•

∇V : ∇P

V ≥ |∇P

V|

:

V|T =

n

X

i=1

V(zi)ϕi|T mit {zi}_i=1...n=N

∇V|T:∇PKV|T =

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

(V(zi)·ΠKV(zj))

=

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

V(zi)· ΠKV(zj)−ΠKV(zi)

| {z }

P j→0

Lemma 1

∇ϕ_i·∇ϕ_j≤0 ≥

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

ΠKV(zi)· ΠKV(zj)−ΠKV(zi)

| {z }

P j→0

=∇(PKV)_|T:∇(PKV)_|T =

∇(PKV)_|T

2

: Cauchy-Schwarz:

Beweis

•

∇V : ∇P

V ≥ |∇P

V|

:

V|T =

n

X

i=1

V(zi)ϕi|T mit {zi}_i=1...n=N

∇V|T:∇PKV|T =

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

(V(zi)·ΠKV(zj))

=

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

V(zi)· ΠKV(zj)−ΠKV(zi)

| {z }

P j→0

Lemma 1

∇ϕ_i·∇ϕ_j≤0 ≥

n

X

i=1 n

X

j=1

∇ϕi|T· ∇ϕj|T

ΠKV(zi)· ΠKV(zj)−ΠKV(zi)

| {z }

P j→0

=∇(PKV)_|T:∇(PKV)_|T =

∇(PKV)_|T

2

: Cauchy-Schwarz:

Existenz&Eindeutigkeit ( p -Laplace FE)

Satz

J [V] =

Ω

1

p |∇V|

→ min

G +

(T )

Hat eine eindeutige Lösung.

•

J ist durch 0 nach unten beschränkt und eine inmale Folge {V

}

durch

nach oben

V(T)^m

endlich-dimensional ⇒ {V

}

ist präkompakt in

⇒ Es gibt

→

∈

, Minimierer

•

Angenommen, es gibt mehrere Minimierer

6=

^∇U+∇V₂

p < ^|∇U|₂ ^p +^|∇V|₂ ^p

für

⇒ J

J

, Widerspruch!

Existenz&Eindeutigkeit ( p -Laplace FE)

Satz

J [V] =

Ω

1

p |∇V|

→ min

G +

(T )

Hat eine eindeutige Lösung.

•

J ist durch 0 nach unten beschränkt und eine inmale Folge {V

}

durch C > 0 nach oben

V

(T )

endlich-dimensional ⇒ {V

}

ist präkompakt in

(T )

⇒ Es gibt V

→ U ∈ G +

(T )

, Minimierer

•

Angenommen, es gibt mehrere Minimierer U 6= V, dann

^∇U+∇V₂

p

<

+

für p > 1

⇒ J [

] <

+

= J [U] , Widerspruch!

Existenz&Eindeutigkeit (allgemein)

Satz

Sei das Funktional J :

(T )

→

stetig und sei F : Ω ×

→

streng konvex im zweiten Argument, d. h. für alle θ ∈ (0, 1) und

s, t ≥ 0, s 6= t gilt fast überall in Ω

F (·, θs + (1 − θ)t) < θF (·, s) + (1 − θ)F (·, t)

(2)

koerzitiv, d. h. es gibt eine stetige, monotone Funktion F :

→

mit g(t) → ∞ für t → ∞ , sodass fast überall in Ω gilt:

F (·, t) ≥ g(t) für alle t ≥ 0.

Dann existiert ein eindeutiges U ∈ G +

(T )

sodass

J (U) = min {J (V) : V ∈ G +

(T )

}

Diskussion

Ob ein Mensch klug ist, erkennt man an seinen Antworten.

Ob ein Mensch weise ist, erkennt man an seinen Fragen.

(Nagib Mahfuz)