Struktur und Inhalt des Kompetenzbereichs Größen und Messen

In Bezug auf den Kompetenzbereich Größen und Messen erwerben und ver-tiefen Kinder im Mathematikunterricht der Grundschule

■Wissen über die Größenbereiche (Länge, Geldwerte, Zeit/Zeitspannen, Masse/Gewicht sowie Flächen- und Rauminhalte) und ihre Repräsentanten, Bezeichnungen und Relationen,

■Fähigkeiten in Bezug auf das Messen und das Schätzen von und Rechnen mit Größen sowie die Klassifizierung von Messinstrumenten,

■Vorstellungen über Größen im Sinne von Stützpunktvorstellungen.

Was ist das Besondere am Kompetenzbereich Größen und Messen?

Das Wissen über Größen und die Einsicht in Messprozesse eröffnen Kindern in der Grundschule die Tür zum Verstehen und zum kritisch-reflexiven Umgang mit ihrer physikalischen Umwelt und diesbezüglichen Daten mit Mitteln der Mathematik. Dieser unmittelbare Bezug zur Lebenswelt macht die Bedeutung des Inhaltsbereichs Größen und Messen im Hinblick auf mathe-matische Grundbildung und die Entwicklung mathemathe-matischer Mündigkeit aus (vgl. Winter/Walther 2006).

Neben den konkret erfahrbaren Lebensweltbezügen hat der Kompetenzbe-reich Größen und Messen im Mathematikunterricht eine besondere Rolle in Bezug auf die Verbindung von arithmetischen und geometrischen Inhalten und Kompetenzen. Größen – und vor allen das Messen – sind im Mathematik-unterricht ein wichtiges Bindeglied zwischen Arithmetik (Zahlen und Opera-tionen) und Geometrie (Raum und Form).

Es ist wichtig, dass Kinder in diesem Kompetenzbereich den sachgerechten Umgang mit Größen und ihren standardisierten Messinstrumenten erlernen, die Struktur von Einheiten und Untereinheiten sowie den Unterschied zwi-schen Zählen und Messen erkennen und verstehen und Vorstellungen über Größen im Sinne von Stützpunktvorstellungen entwickeln.

Größenbereiche und ihre Repräsentanten, Bezeichnungen und Relationen

In der Grundschule erwerben und vertiefen Kinder grundlegende Kompe-tenzen in Bezug auf Größen durch den Umgang mit entsprechenden Reprä-sentanten, direkte und indirekte Vergleiche sowie entsprechende sprachliche und mathematische Bezeichnungen.

Die folgende Übersicht zeigt die in der Grundschule behandelten Größenbe-reiche und ihre entsprechenden Repräsentanten, ihre spezifische Terminolo-gie und die durch den Vergleich von Repräsentanten beschriebenen Relati-onen.

Wegstrecken … lang, kurz (qualitativ) km, m, dm, cm, mm

Münzen, Preise ... viel, wenig (qualitativ)

€, Ct, $, …

Vorgänge … lang, kurz (qualitativ) Jahr, Monat, Woche,

Körper … wenig, viel, (fast) leer bzw. voll (qualitativ)

Größen und Messen als Bindeglied zwischen den Kompetenz- bereichen Zahlen und Operationen und Raum und Form

Im Kontext von Größen werden Zahlen zu Maßzahlen (vgl. Padberg 2005, S. 15) und dienen somit der Beschreibung von Sachverhalten, z. B. der Länge des Schulweges oder dem Gewicht eines neugeborenen Babys. In geome-trischen Kontexten kommen Messprozesse bei der Bestimmung von und beim Umgang mit ebenen und räumlichen Figuren zum Tragen. Maßzahlen in Form von Längen-, Flächen- oder Winkelangaben bzw. Angaben zu Rauminhalten sind bedeutsam, wenn zum Beispiel in der Grundschule eine Strecke der Län-ge 5 cm Län-gezeichnet oder in der Sekundarstufe I mithilfe der Kongruenzsätze die Länge einer Seite eines gegebenen Dreiecks berechnet werden soll. Grund-sätzlich ist es wichtig, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis von Maßzahlen haben und Maßzahlen von Rechenzahlen unterscheiden können.

Beim Rechnen mit Maßzahlen ergeben sich Besonderheiten. Während beim Addieren und Subtrahieren von Größen, d. h. beim Aneinanderfügen bzw.

Abtrennen von Repräsentanten einer Größe, Maßzahlen miteinander ver-rechnet werden (z. B. bei der Berechnung des Größenunterschiedes von zwei Kindern), werden Größen aus dem gleichen Größenbereich in der Regel nicht mit Größen, sondern mit Zahlen multipliziert oder dividiert¹ (z. B. bei der Er-mittlung des Gesamtgewichts von 3 Stück Butter à 250 g oder des Umfangs eines Quadrats mit der Seitenlänge 2 cm). Auch bei der Umwandlung von ei-ner Einheit in eine andere (Wie viele m sind 3 km? Wie viele min sind 3½ h?) wird mit einer Rechenzahl operiert. Zudem kann zwischen zwei verschie-denen Maßzahlen stets eine weitere gefunden werden, hingegen existiert zwi-schen zwei benachbarten natürlichen Zahlen keine weitere natürliche Zahl.

Zu bedenken gilt, dass die Beziehung zwischen Größen und ihrer mathema-tischen Darstellung (Symbolisierung) immer der Interpretation des Kontextes und der mathematischen Zeichen durch die Kinder bedarf – sie ergibt sich nicht von selbst. Dafür brauchen sie entsprechende Grundlagen und Kompe-tenzen im Umgang mit Größen (vgl. dazu 6.2).

Des Weiteren stellen wir uns Zahlen häufig in Verbindung mit Abständen vor, z. B. anhand eines Zahlenstrahls. Hier entfaltet die Größe „Längen“ ihre Kraft. Es sind im Gegensatz zu den anderen Größen vor allem die Längen, die von Geburt an wichtig sind und auch bereits von Säuglingen wahrgenommen werden. Längen stellen eine Denkform für andere mathematische Inhalte wie die Zeit („dauert nicht mehr lang“, „lange Zeit“, „der Winter ist noch weit weg“) oder für Zahlbeziehungen („die Hälfte einer Zahl“ kann man sich als Mitte

1 Ausnahmen bilden hier bezogen auf die Grundschule die abgeleiteten Größen, Geschwindigkeiten sowie Flächen- und Rauminhalte.

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zwischen der Zahl und der Null vorstellen) dar. Die Bedeutung der Länge wird auch daran deutlich, dass sie in Form der Skalierung bei den Messinstrumen-ten anderer Größen verwendet wird, z. B. bei einer analogen Waage oder Uhr, beim Thermo- oder Tachometer. Allerdings kann eine naive Übernahme der arithmetischen Vorstellungen zum Zählen in den Bereich des Messens zu Schwierigkeiten führen (vgl. dazu Kapitel 6.2, „Erfahrungen und Kompe-tenzen von Kindergartenkindern“).

Grundstruktur eines Mess-Systems

Messen ist nicht gleichzusetzen mit Zählen, sondern folgt drei zentralen Kern-ideen. Unabhängig von den verschiedenen Größenbereichen folgt jedes Mess-System einer einheitlichen Grundstruktur: Es muss eine Einheit gefun-den wergefun-den. Diese muss wiederholt benutzt und dabei gezählt wergefun-den, wenn das zu Messende größer ist als die Maßeinheit. Die Einheit muss systematisch untergliedert werden, wenn keine Maßzahl aus den natürlichen Zahlen das zu Messende völlig erfassen kann.

Am Beispiel der Größe „Längen“ sollen diese für ein Verständnis des Mess-vorgangs grundlegenden Kernideen erläutert werden.

1. Auswahl einer Einheit:

Grundlage eines jeden Messprozesses sind geeignete und passende Ein-heiten. Beim Messen von Längen sind dies Strecken oder Objekte, die kons-tant gleich groß bleiben und linear gedeutet werden. Grundsätzlich lassen sich standardisierte Einheiten, wie z. B. Meter und Zentimeter von willkür-lich gewählten, sogenannten nicht-standardisierten Einheiten, wie z. B.

Schritten oder Stäben unterscheiden.

2. Vervielfachen von bzw. Zerlegen in Einheiten:

Ein Repräsentant für die ausgewählte Einheit, z. B. Zentimeter, muss ohne Zwischenräume und Überlappungen hintereinander abgetragen werden.

Dabei verlangt der Messkontext im Hinblick auf die Präzision einerseits feinere Einheiten (wenn das zu messende Objekte z. B. länger als 3 cm und kürzer als 4 cm ist), andererseits ein situatives Verständnis und konventio-nelle Entscheidungen über die Grenzen der Präzision.

3. Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten:

Jeder Messprozess ist dadurch gekennzeichnet, dass die abgetragenen Ein-heiten mitgezählt bzw. bei verschiedenen EinEin-heiten verrechnet werden.

Anders als bei der geläufigen kardinalen Interpretation von Null als „nichts“, muss die Null beim Messen als Startpunkt erkannt werden. Wenn keine natürliche Maßzahl das zu Messende vollständig erfassen kann, muss die Einheit systematisch untergliedert werden können. Durch die Verwendung standardisierter Einheiten wird sichergestellt, dass das Messergebnis

un-abhängig von der messenden Person ist² und dass kleinere bzw. größere Einheiten in systematischer Beziehung zur Basiseinheit stehen.

Der Prozess des Messens erfordert also grundsätzlich die Verbindung von Raum- und Zahlvorstellungen mit der Idee von wiederholbaren, zerlegbaren und zählbaren Einheiten. Nicht zuletzt weil der Größenbereich Länge die Kernideen des Messens besonders deutlich widerspiegelt, kommt dieser Grö-ße im Grundschulunterricht groGrö-ße Bedeutung zu. Längen sind in der Regel der erste Größenbereich, der im Unterricht systematisch erarbeitet wird.

Klassifizierung von Messinstrumenten

Die beim Messen eingesetzten Instrumente lassen sich dahingehend unter-scheiden, ob sie auf standardisierten (normierten) oder auf willkürlichen (nicht-normierten) Einheiten basieren. Die folgende Abbildung veranschau-licht am Beispiel des Größenbereichs Längen eine entsprechende Klassifizie-rung von Messinstrumenten, wie sie Kindern im Unterricht sowie in ihrem Alltag begegnen.

Neben dem Erwerb von Wissen und Fähigkeiten im Umgang mit Größen beim Messen und Rechnen, ist auch der Aufbau von Größenvorstellungen wesent-liche Grundlage dieses Kompetenzbereichs wie die folgenden Ausführungen verdeutlichen.

2 Man stelle sich die unterschiedlichen Längenangaben vor, wenn ein Grundschulkind mit Schuh-größe 32 und ein erwachsener Mann mit SchuhSchuh-größe 43 die Länge einer Wand mithilfe ihrer Füße messen.

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Größenvorstellungen

Vorstellungen zu Größen haben ihren Ursprung stets in konkreten Handlungs-erfahrungen, die zu individuellen Vorstellungsbildern ausgebaut werden. Die-se Bilder sind die eigentlichen geistigen Träger der Bedeutungen, die ein Kind zu einer Größe, einer Maßeinheit oder einer Messoperation entwickelt. Die Vorstellungen müssen inhaltsreich und bildlich fassbar sowie zugleich auch vage und unpräzise sein, um flexibel in Beziehung zu anderen Vorstellungen sowie zu realen Gegebenheiten gesetzt werden zu können.

Der Aufbau realistischer Vorstellungen von Größen, sogenannte Stütz-punktvorstellungen (Winter 1992), ist für diesen Kompetenzbereich ein zen-trales Unterrichtsziel, sodass in Messsituationen entweder die passenden Messinstrumente bzw. Maßeinheiten gewählt oder in Abwesenheit von Mess-werkzeugen geeignete Schätzungen vorgenommen werden können.

Die Entwicklung von Stützpunktvorstellungen bedarf eines Zusammen-spiels zwischen konkreten Messprozessen einerseits und verinnerlichten Messerfahrungen andererseits. Wesentlich ist hierbei die bewusste Auseinan-dersetzung mit den jeweiligen konkreten Aktivitäten, die im Unterricht erör-tert, diskutiert und reflektiert werden sollten. Winter (1992) weist darauf hin, dass realistische Größenvorstellungen sich nicht von selbst entwickeln und auch nicht über viele formale Einheitenumwandlungen.

Während in Bezug auf Längen, Zeitspannen, Gewichte oder Rauminhalte konkrete Messungen durchgeführt werden können, kann der Geldwert eines Objektes nicht gemäß der drei Kernideen gemessen werden. So nimmt Geld nicht nur aufgrund der spezifischen gesellschaftlichen Wahrnehmung eine besondere Stellung bei der Arbeit mit Größen ein.

Welche Bedeutung hat der Kompetenzbereich Größen und Messen?

Die Bedeutung des Kompetenzbereichs Größen und Messen für Grundschul-kinder liegt im Wesentlichen in seiner alltäglichen Nützlichkeit im Hinblick auf den Zugang zu ihrer Umwelt und deren Erschließung mithilfe der Mathe-matik. Kaum ein mathematischer Inhaltsbereich hat so konkrete und direkte Verknüpfungen zur Lebenswelt. Bereits seit dem frühen Kindesalter beobach-ten Kinder ihre Eltern und andere Erwachsene beim Messen – seien es genaue Abmessungen mithilfe von Messinstrumenten, z. B. beim Abwiegen von Mehl mit der Küchenwaage, oder mithilfe von Stützpunktvorstellungen, und/oder dem Einsatz willkürlicher Einheiten, z. B. bei der Bestimmung der Breite eines Raumes durch Schrittlängen. Sie entwickeln Neugier am Umgang mit ver-schiedenen Messwerkzeugen und bauen bereits vor Schulbeginn

diesbezüg-lich erste subjektive Vorstellungen und Kenntnisse auf (s. 6.2, „Erfahrungen und Kompetenzen von Kindergartenkindern“), die dann im Unterricht syste-matisiert und vertieft werden. Die zentrale Bedeutung des Größenbereichs liegt für Kinder darin, dass sie den Unterschied zwischen Zählen und Messen erkennen und verstehen.

Besondere Bedeutung kommt dem Größenbereich „Geldwerte“ zu – im Le-bensalltag wie auch im Mathematikunterricht. Schon früh erleben Kinder wie ihre Eltern, Geschwister oder andere Menschen in Geschäften ihre Einkäufe mit Bargeld (oder auch EC- oder Kreditkarten) bezahlen und Wechselgeld bekommen. Diesbezügliche Beobachtungen des Umgangs mit Geld werden von Kindern, lange bevor sie selbst mit Geld umgehen, häufig in ihrem Spiel nacherlebt. Man denke nur an das beliebte Spiel mit dem Kaufladen.

Im Mathematikunterricht wird darüber hinaus die Tatsache, dass sich das dezimale Stellenwertsystem in einer für Kinder meist leicht zugänglichen Form mit Geld modellieren lässt, genutzt. Besonders beim (Ent-)Bündeln bei der Erarbeitung des Stellenwertsystems sowie zur Veranschaulichung der schriftlichen Rechenverfahren wird an geeigneten Geldsorten ihre dezimale Struktur und die in ihnen „verkörperte“ Bündelungsidee bewusst herangezo-gen.