als fachliches Grundkonzept
5 Zahlen und Operationen
5.2 Kompetenzaufbau im Unterricht Wie entwickeln Kinder Kompetenzen im Bereich
Zahlen und Operationen?
Kinder kommen mit vielfältigen Vorerfahrungen zum Bereich Zahlen und Operationen in die Schule, wie die in den letzten Jahren entwickelten diagnos-tischen Instrumente zeigen (vgl. van Luit/van de Rijt/Hasemann 2001). We-gen des unterschiedlichen Ausprägungsgrades der VorerfahrunWe-gen sollte Ma-thematikunterricht vom ersten Schultag an einen vielfältigen Umgang mit Zahlen aufgreifen.
Aufgabenbeispiele (Kl. 1)
Schreibe die Zahlen auf, die du schon schreiben kannst. Lies deine Zahlen einem anderen Kind vor. Sucht eure Zahlen im Rechenbuch. Untersucht ein Kartenspiel nach Zahlen. Zählt die Abbildungen, schreibt die Zahlen auf.
Bildet mit Stäbchen, Plättchen, … Rechnungen. Stellt euch gegenseitig eure Rech-nungen vor. Wer kann schon Rechenaufgaben aufschreiben?
Viele wichtige mathematische Kompetenzen entwickeln sich bereits im Zu-sammenhang mit dem Erwerb der Zahlwortreihe, also im vorschulischen Be-reich (vgl. Hasemann 2007). Mit der wachsenden Zählsicherheit wird der ana-loge Aufbau der ersten Zehner bewusst. Diese Analogien können in Abhängigkeit von der Leistungsfähigkeit des Kindes mitunter recht schnell auf größere Zahlenräume übertragen werden. Damit solche Prozesse wirk-sam werden können, ist es wichtig, trotz der intensiven Arbeit mit einzelnen Zahlen von Anfang an über den Zahlenraum bis 10 hinauszuarbeiten.
In Verbindung mit kardinalen Aktivitäten mit Mengen entsteht ein Teile-Ganzes-Verständnis, das die Kinder in die Lage versetzt, Zahlen in unter-schiedliche „Teilportionen“ zu zerlegen. Dies ist zugleich die Grundlage für geschicktes vereinfachendes Rechnen. So geht es beim gleichsinnigen oder auch gegensinnigen Verändern von Termen zur Erleichterung des Rechnens ja immer um ein geschicktes „Portionieren“, im Sine der Veränderung von Teilen eines gleich bleibenden Ganzen.
Die weitere Entwicklung von Rechenfähigkeiten erfolgt im Zusammenspiel verschiedener Komponenten. Die immer wiederkehrenden Rechenstrategien
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werden zur wichtigen Stütze. Das Rechnen in kleinen und großen Schritten wird erlernt – ein Zerlegen von Zahlen in Abhängigkeit von der konkreten Aufgabe und dem eigenen Rechenvermögen (s. Abb. 4).
Abb. 4: Eine Schülerin am Ende der Klasse 1: „Das kann ich schon rechnen.“
Mit den größer werdenden Zahlenräumen lernen die Kinder, wie man beim mündlichen Rechnen Rechenschritte notieren kann, um der eigenen Kopf-rechenkapazität gerecht werden zu können (halbschriftliches Rechnen; vgl.
Padberg 2005). Die schriftlichen Verfahren eröffnen die Möglichkeit, auch das Rechnen mit großen Zahlen ohne technische Hilfsmittel zu bewältigen. Erst die Gesamtheit der Rechenarten und das flexible Zugreifen auf diese, führen zum Rechnen als Denk- und Alltagsinstrument.
Welcher Unterricht kann zur Kompetenzentwicklung beitragen?
Das Lernen sollte so organisiert werden, dass es möglichst gut an die Vor-kenntnisse der Kinder anknüpft. Aufgabenstellungen, die zur Diagnostik ge-eignet sind, ermöglichen diese Einblicke, z. B. der folgende Auftrag vor der Behandlung des „Großen Einmaleins“ (halbschriftliches Multiplizieren):
Aufgabenbeispiele (Kl. 3)
Notiere Malaufgaben, die du schon rechnen kannst.
Abb. 5: Multiplikationen eines Drittklässlers*
Die bei den Schülern sichtbar werdenden Vorläuferfähigkeiten (vgl. Abb. 5) könnten die Lehrperson beim Start in den „neuen“ Unterrichtsinhalt dazu anregen, den Unterricht auf den vorliegenden Schüleraufgaben aufzubauen.
Eine Auswahl der Aufgaben der Kinder könnte geordnet angeboten werden:
z. B. Multiplikationen aus dem „Kleinen Einmaleins“; Multiplikationen mit Zehner- und Hunderterzahlen; Multiplikationen mit zweistelligen Zahlen;
Multiplikationen mit 1 und 0. Die Kinder, die die „neuen“ Aufgaben schon rechnen können, könnten ihre Rechenwege, Analogieschlüsse, berücksichtig-te Regeln usw. vorsberücksichtig-tellen. Die Lehrperson sberücksichtig-tellt effektive Rechenwege in den Mittelpunkt, erweitert sie evtl., regt zur Veranschaulichung an, bekräftigt We-sentliches und organisiert das festigende Üben.
Einen Teil der mathematischen Zusammenhänge, die beim Rechnen, Pro-bieren und Knobeln nützlich sind, entdecken Grundschulkinder bei der Be-gegnung mit Zahlen und beim Rechnen selbst. Die Aufgabe der Lehrenden muss es sein, diese Entdeckungen aufzugreifen und auf weitere ableitbare oder noch nicht entdeckte Beziehungen aufmerksam zu machen. Das Be-wusstwerden dieser Prozesse erfolgt in engem Zusammenhang mit der münd-lichen und schriftmünd-lichen Sprache der Kinder.
Aufgabenbeispiele (Kl. 3/4)
Baue ein Zahlenhaus mit einer zweistelligen Zahl im Dach. Finde alle Zahlenpaare, die die von dir gewählte Zahl als Summe ergeben.
■Vergleiche die gefundenen Terme miteinander. Was stellst du fest? Erkläre.
■Errechne den Unterschied zwischen den Zahlen, die ein Paar ergeben. Notiere die Differenz hinter jedem Paar. Was stellst du fest? Vergleiche deine Erkenntnisse mit denen eines anderen Kindes. Fasst eure Entdeckungen zusammen und stellt sie den anderen vor.
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Zur Planung des Unterrichts, bei dem die obige Aufgabe im Mittelpunkt stehen soll, könnte die Lehrperson zum Beispiel folgende Zusammenhänge mit Blick auf die Lernenden durchdenken:
„Summanden können vertauscht werden. Man findet also zu jeder gefundenen Aufgabe eine zweite (ausgenommen gleiche Summanden). Ordnet man die Terme nach der Größe, gelingt es besser, alle möglichen Zahlenpaare zu finden. Wenn man die Zahlenpaare miteinander in Beziehung setzt, kann entdeckt werden: Ein Summand wird immer um 1 kleiner, der andere dann um 1 größer, die Summe bleibt gleich. Auch diese Erkenntnis würde bei der vollständigen Suche nach Zahlenpaaren helfen.
Was kann entdeckt werden, wenn der Unterschied (die Differenz) zwischen den Zahlen-paaren untersucht wird? Wenn die Terme schon geordnet sind, wird die Differenz immer um 2 größer (oder kleiner) – Warum eigentlich? (Ein Summand wird um 1 kleiner, der andere um 1 größer. Kommt hier die 2 her?)
Bei einem Zahlenhaus zur 25 entsteht als Differenz immer eine ungerade Zahl. Es in-teressiert also, wie ist das mit den Häusern bei einer geraden Zahl im Dach, ...“
Anregungen für Aufgabenformate, die zum Entdecken mathematischer Zu-sammenhänge Anlass geben, findet man auch in Wittmann/Müller 1992.
Welche Merkmale muss ein Unterricht aufweisen, der zu Erkenntnissen dieser Art anregt?
■Zunächst: Man muss inhaltlich nicht alles ausschöpfen, was möglich ist, und man kann solche mathematischen Ideen über mehrere Schuljahre tragen.
■Das Wichtigste ist vielleicht eine eher „lockere“ Herangehensweise: Was könnt ihr erkennen, was kannst du formulieren? Die zu erwartenden Ant-worten sind unvollständig, nicht perfekt.
■Man kann das Erlernen mathematischer Zusammenhänge nicht so syste-matisch entwickeln wie Unterrichtsinhalte, bei denen vorgegebene Abläufe befolgt werden können. Die neue Erkenntnis muss auf dem eigenen Vermö-gen der Kinder beruhen, kann nicht von „oben“ aufgesetzt werden. Vieles bleibt individuelles Lernen – dem Einen sind diese Erkenntnisse möglich, dem Anderen nicht bzw. nur ein Stück weit.
Abb. 6: Ausschnitte aus Zahlenhäusern als Grundlage für Entdeckungen
■Bis zum Ende der Grundschulzeit sollte ein (kleiner) mathematischer Wort-schatz (z. B. Summe, Summand, Gleichung; wenn, ..., dann usw.) aufgebaut werden. Erkannte Zusammenhänge müssen sonst aufwändig und um-ständlich beschrieben werden.
Mit Intensität und Systematik sollte am Grundwissen gearbeitet werden. Ohne dieses sind anspruchsvolle mathematische Inhalte kaum zu bewältigen. Das kleine Einspluseins und Einmaleins muss trainiert werden, ebenso das Ver-doppeln/Halbieren, das Zerlegen von Zahlen usw. Unterrichtsabschnitte, die zum Lernen anleiten und die Gelerntes prüfen, gehören ebenso zum Mathe-matikunterricht wie Phasen des Entdeckens und Diskutierens mathematischer Zusammenhänge.