Sei f : [a, b]→Reine Treppenfunktion bzgl. der Unterteilung a=x0 < x1 < x2 < . . . < das Integral der Treppenfunktion über [a, b].
6.2 Riemann-Integral
Ausgehend vom Integralbegriff für Treppenfunktionen lässt sich nun das Integral auf einen breite Klasse von Funktionen erweitern. Dabei möchte man sicherstellen, dass das Integral für Treppenfunktionen weiterhin mit obigem Integral übereinstimmt.
Definition 6.4 (Unter-/Obersumme)
Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion und Z ∈ Z(a, b) eine Zerlegung von [a, b].
Dann ist die Untersumme S(Z, f) und dieObersumme S(Z, f) definiert durch S(Z, f) := Anschaulich wird also für die Unter- und Obersumme das Integral einer Treppenfunk-tion gebildet. Dabei wird für die Obersumme die TreppenfunkTreppenfunk-tion so gewählt, dass die Treppenfunktion ganz überhalb des Graphen der Funktion f liegt. Bei der Untersumme hingegen verläuft die Treppenfunktion vollständig unterhalb des Graphen der Funktion f.
Mit Hilfe von Unter- und Obersumme lässt sich nun ein Unter- und Oberintegral defi-nieren. Dazu betrachtet man alle möglichen Zerlegungen.
Definition 6.5 (Unter-/Oberintegral)
Für eine beschränkte Funktion f : [a, b]→ R sind Unterintegral und Oberintegral defi-niert durch
Somit wählt man für die Untersumme die größtmöglich Approximation (das Supremum) des Integrals mit Treppenfunktion, die unterhalb der Funktion liegen, und analog die kleinstmögliche Approximation (das Infimum) des Integrals mit Treppenfunktionen, die oberhalb der Funktion liegen. Für Treppenfunktionen ist diese Approximation identisch mit dem Integral für Treppenfunktionen und Ober- und Untersumme sind identisch. Für beliebige Funktionen definiert man das sogenannte Riemann-Integral.
a b f(x)
a b
f(x)
a b
f(x)
a b
f(x)
a b
f(x)
a b
f(x)
Abbildung 6.3: Approximationen des Integrals einer Funktion f : [a, b] → R durch die Untersumme (links) und Obersumme (rechts)
6.2 Riemann-Integral Anschaulich gesprochen wird die Approximation der Integrationsfläche immer besser, je feiner die Zerlegung gewählt wird. Den Zusammenhang zwischen den Ober-/Untersummen und Ober-/Unterintegralen für beliebig feine Zerlegungen stellt die folgende Aussage dar.
Satz 6.6
Für eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R existieren Ober-/Untersumme für alle Zerlegungen und für jede Folge von Zerlegungen (Zn)n∈N, Zn ∈ Z(a, b) mit Feinheit
Beweis. Da die Funktion f beschränkt ist, existieren untere Schranken infx∈[a,b]f(x) und obere Schranken supx∈[a,b]f(x) und die die Abschätzungen
x∈inf[a,b]f(x)·(b−a)≤S(Zn, f)≤S(Zn, f)≤ sup
x∈[a,b]
f(x)·(b−a)
folgt direkt aus der Definition von Infimum und Supremum. Damit sind auch Ober- und Untersumme beschränkt.
Nun hat jedoch jede der beiden Zerlegungen Z, Z nur endlich viele Teilungspunkte.
Daher kann man die Feinheithn so fein wählen (d.h.n so groß), dass die gesamte Länge der Intervalle von Zn, die einen Teillungspunkt von Z oder Z enthalten insgesamt kleiner als M2 mit M := supx∈[a,b]|f(x)| wird und daher gilt: ist das Supremum von f(x) =x durch xk gegeben und das Infimum durch xk−1. Bildet
man für n∈Neine äquidistante ZerlegungZngegeben durchxk :=b·kn,1≤k ≤n, mit Folglich findet man für Unter- und Oberintegral denselben Wert
b2
der auch mit dem Flächeninhalt des so beschriebenen Dreicks übereinstimmt.
Dadurch motiviert definiert man das sogenannte Riemann-Integral.
Definition 6.8 (Riemann-Integral)
Sind für eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R das Unterintegral und Oberintegral gleich, so bezeichnet man die Funktionf alsRiemann-integrierbar und den gemeinsamen Wert als dasRiemann-Integral von f über [a, b]
Z b
Es stellt sich nun die Frage, welche Funktionen so integriert werden können. Zunächst sind dies natürlich die Treppenfunktionen und für diese stimmt das Riemann-Integral mit dem bereits definierten Integral für Treppenfunktionen überein. Aber viel mehr Funktionen lassen sich so integrieren.
Hilfreich bei der Analyse ist dabei das Integrationskriterium in Form einer -Definition.
6.2 Riemann-Integral Definition 6.9 (Riemannsches Integrationskriterium)
Eine beschränkte Funktion f : [a, b]→R ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem >0eine ZerlegungZ gibt, so dass die Unter- und Obersumme sich höchstens um unterscheiden, d.h.
|S(Z, f)−S(Z, f)|< .
Mittels dieses Kriteriums lässt sich nun die Integrierbarkeit von stetigen Funktionen untersuchen. Dazu benötigt man zunächst die folgende Verschärfung der Stetigkeit.
Satz 6.10 (Gleichmäßige Stetigkeit)
Sei [a, b]⊂R ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall. Dann ist jede stetige Funktion f : [a, b]→Rsogar gleichmäßig stetig, d.h. zu jedem >0gibt es einδ >0, so dass für alle x, x0 ∈[a, b] gilt:
|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−f(x0)|< .
Beweis. Widerspruchsbeweis. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es ein >0 so, dass für allen ∈NPunkte xn, x0n∈[a, b]derart existieren, dass gilt
|xn−x0n|< 1
n, aber |f(xn)−f(x0n)| ≥.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge (xn)n∈N (denn das Intervall ist beschränkt) eine konvergente Teilfolge (xnk)k∈N mit einem Grenzwert x ∈ [a, b]. Dies ist auch der Grenzwert der Folge (x0nk)k∈N, denn es gilt |xn−x0n| < 1n. Somit folgt wegen der Stetigkeit von f
|f(xnk)−f(x0nk)| → |f(x)−f(x)|= 0, (k → ∞), im Widerspruch zu |f(xn)−f(x0n)| ≥.
Der Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit besteht darin, dass man für stetige Funktionen die δ-Umgebung bei jedem Punkt unterschiedlich wäh-len darf. Bei gleichmäßig stetigen Funktionen hingegen muss man zu jedem die δ-Umgebung für alle Punkte im Definitionsbereich simultan wählen können.
Satz 6.11 (Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar) Jede stetig Funktion f : [a, b]→R ist Riemann-integrierbar.
Beweis. Auf dem abgeschlossenen, beschränkten Intervall ist die Funktion gleichmäßig stetig, d.h. es gibt zu jedem >0 ein δ >0, so das gilt
|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−f(x0)|< .
Daher kann man nun jede ZerlegungZ ∈Z(a, b)wählen, die eine Feinheith < δ besitzt.
Denn dann gilt
|S(Z, f)−S(Z, f)| ≤ Xn k=1
|sup
x∈Ik
f(x)− inf
x∈Ikf(x)|(xk−xk−1)≤≤ Xn k=1
(xk−xk−1) = (b−a).
Satz 6.12 (Monotone Funktionen sind Riemann-integrierbar)
Jede beschränkte, monotone Funktion f : [a, b]→R ist Riemann-integrierbar.
Beweis. Sei f monoton steigend (monoton fallend analog). Dann gilt f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)für alle x∈[a, b]. Wählt man eine Zerlegung mit Feinheith, so folgt
S(Z, f)−S(Z, f) =
Für die Ermittelung des Wertes muss man sich nicht einmal auf Ober- und Untersummen festlegen, sondern kann den Wert der Funktion irgendwo innerhalb der Teilintervalle auswerten. Dies ist definiert als Riemannsche Summe.
Definition 6.13 (Riemannsche Summe) alsRiemannsche Summe von f.
Satz 6.14 (Riemann-Integral über Riemann-Summe)
Eine beschränkte Funktionf : [a, b]→Rist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es für jede Folge von Zerlegungen (Zn)n∈N, Zn ∈ Z(a, b) mit hn :=h(Zn) → 0, (n → ∞) alle zugehörigen Riemannschen Summen mit demselben Grenzwert konvergieren:
S(Zn, f)→ Z b
a
f(x)dx (n → ∞).
Satz 6.15 (Eigenschaften des Riemann-Integrals)
Seien f, g: [a, b]→R Riemann-integrierbare Funktionen und α∈R.
(i) (Linearität) Die Funktionenf +g und αf sind integrierbar mit Z b
6.2 Riemann-Integral
a b
f(x)
a b
f(x)
Abbildung 6.4: Approximationen des Integrals einer Funktion f : [a, b] → R durch die Riemannsche Summe
(ii) (Monotonie) Gilt f(x)≤g(x) für alle x∈[a, b], so folgt Z b
a
f(x)dx≤ Z b
a
g(x)dx.
(iii) (Definitheit) Giltf(x)≥0 für alle x∈[a, b], so gilt Z b
a
f(x)dx= 0 ⇒ f ≡0.
Satz 6.16
Sei a < c < b. Eine Funktionf : [a, b]→Rist genau dann integrierbar, wennf : [a, c]→ R und f : [c, b]→R integrierbar sind und es gilt in diesem Fall
Z b a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx.
Definition 6.17 Man definiert
Z a a
f(x)dx:= 0, Z b
a
f(x)dx:=− Z a
b
f(x)dx (falls b < a).
Satz 6.18 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Seien f, g : [a, b]→R stetige Funktionen und gelte g ≥0. Dann gibt es ein ξ∈[a, b], so
dass Z b
a
f(x)g(x)dx=f(ξ) Z b
a
g(x)dx,
und im Speziellen
Z b a
f(x)dx=f(ξ)·(b−a)für ein ξ ∈[a, b].
Beweis. Schreibt manm := infx∈[a,b]f(x)und M := supx∈[a,b]f(x), so gilt direktmg ≤ f g≤M g und somit wegen der Monotonie des Integrals
m Z b
a
g(x)dx≤ Z b
a
f(x)g(x)dx≤M Z b
a
g(x)dx.
Daher gibt es auch einen Wert µ∈[m, M]mit Z b
a
f(x)g(x)dx=µ Z b
a
g(x)dx,
und nach dem Zwischenwertsatz auch einξ ∈[a, b] mit f(ξ) =µ.