x−rd(x) x
≤ 1
2 · 2−k·2r
|M| ·2r ≤2−(k+1) (da 1≤ |M|<2). Definition 2.29
Die Zahl eps:= 2−(k+1) heißt relative Maschinengenauigkeit.
Diese kann als kleinste Gleitkommazahl genähert werden, für die in der gewählten Gleitkommadarstellung gilt:
1 + >1.
Dies ist der Abstand zweier benachbarter Fließkommazahlen, es gilt also = 2·eps. Das Python Programm
#!/usr/bin/env python3 eps = 1
while(1):
if 1 + eps <= 1:
break eps = eps / 2
print("eps = {0}".format(eps))
liefert auf einer 64-Bit Architektur beispielsweise das folgende Ergebnis für eps: eps = 1.1102230246251565e-16.
Dies entspricht 2−53 ≈ 1,11 · 10−16 und die Fließkommaarithmetik auf einer 64-Bit Architektur hat somit eine Genauigkeit von 16 Stellen. Für 32-Bit gilt mit k = 23 und 2−24 ≈5,98·10−8 eine Genauigkeit von 8 Stellen.
2.6 Der Körper der komplexen Zahlen C
Die Erweiterungen der Zahlenräume N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R verfolgte das Ziel immer mehr Gleichungen lösen zu können und endete mit dem vollständigen Körper R. Doch noch immer lassen sich nicht alle Gleichungen mit Koeffizienten in den reellen Zahlen lösen.
So hat die bekannte Lösung (p/q-Formel) der Gleichung
x2+px+q= 0, mit p, q ∈R ⇒ x±= p±p
p2−4q 2 nur eine reelle Lösung für p2−4q≥0.
2.6 Der Körper der komplexen ZahlenC Daher sei angenommen, dass ein erneute Erweiterung des Zahlenraums existiert, die wiederum ein Körper ist undRals Teilmenge enthält. In diesem Erweiterungskörper soll die Gleichung x2 + 1 = 0 eine Lösung besitzen und diese Lösung sei mit i bezeichnet (d.h. es gilt i2 =−1). Mitisind dann auchz :=x+iy undw:=u+iv mitx, y, u, v ∈R Elemente dieses Körpers und somit ergibt sich
z+w=x+iy+u+iv = (x+u) +i(y+v),
z·w= (x+iy)·(u+iv) = xu+ixv+iyu+i2yv= (xu−yv) +i(xv+yu), und somit sind solche Elemente unter Addition und Multiplikation abgeschlossen. Dies motiviert die Einführung der komplexen Zahlen.
Definition 2.30 (komplexe Zahl)
Diekomplexen Zahlensind geordnete Paarez := (x, y)∈R×R, für die die Multiplikation und Addition definiert werden durch
(x, y) + (x0, y0) := (x+x0, y+y0), (x, y)·(x0, y0) := (xx0−yy0, xy0+x0y).
Diese Zahlen werden auch notiert alsz =x+iymit der Lösungi2 =−1. Man bezeichnet x=: Rez als Realteil und y=: Imz als Imaginärteil und i alsimaginäre Einheit.
Satz 2.31 (C ist ein Körper)
Die Menge der komplexen Zahlen bildet einen Körper C mit neuralen Elementen (0,0) und (1,0). In diesem Körper hat die Gleichungz2+ (1,0) = (0,0)zwei Lösungen ±i:=
(0,±1). Zu einem Element z = (x, y)ergeben sich die inversen Elemente zu
−z := (−x,−y), z−1 = 1
z :=
x
x2+y2, −y x2+y2
.
Beweis. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz ergibt sich durch direktes Nachrechnen. Für a = (a1, a2), b = (b1, b2)∈C ergibt sich die Lösung von a+z =b zu z = (b1−a1, b2−a2)und somit ist (0,0)das neutrale Element als Lösung vona+z =a.
Das neutrale Element (1,0) bzgl. der Multiplikation zeigt man durch direktes Nachre-chen von (1,0)·z =z für allez ∈C. Ebenso rechnet man direkt nach, dassa·1a = (1,0)
gilt und z = 1a ·b eine Lösung von a·z =b ist.
Die kürzere Notation einer imaginären Zahl z = x+iy kann man folglich als (x, y) = (x,0) + (0,1)·(y,0) lesen. Eine reelle Zahl x ∈ R wird mit der komplexen Zahl (x,0) identifiziert. Eine komplexe Zahl (0, y) heißtrein imaginär.
Analog zur Darstellung der reellen Zahlen auf einer Geraden, lässen sich die komple-xen Zahlen als Ebene darstellen. Dabei entsprecht ein Punkte (x, y) dieser Ebene der komplexen Zahl z = (x, y)∈C.
z =x+iy y
1 x 1
i i
imagin¨are Achse
reelle Achse
Abbildung 2.5: Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Zahlenebene.
Definition 2.32 (Komplexe Konjugation)
Für eine komplexe Zahl z = (x, y) =x+iy ist die komplexe konjugierte Zahl gegeben durch
z = (x,−y) =x−iy.
Definition 2.33 (Betrag einer komplexen Zahl)
Der Betrag einer komplexen Zahl z = (x, y) =x+iy ist gegeben durch
|z|:=√
z·z =p
x2+y2. Bemerkung 2.34
Die komplexen Zahlen lassen sich nicht anordnen, d.h. es lässt sich auf C keine klei-ner/größer Relation einführen.
Mit den komplexen Zahlen kommt die Erweiterung des Zahlenraums zu einem Ende. In diesem Körper lassen sich nun alle algebraischen Gleichungen lösen.
Satz 2.35 (Fundamentalsatz der Algebra) Jede Gleichung
zn+an−1zn−1+. . .+a1z+a0 = 0, (n >0), mit Koeffizienten ai ∈C hat mindestens eine Lösung inC.
2.6 Der Körper der komplexen ZahlenC
z = x+iy y
x
imagin¨are Achse
reelle Achse
z = x iy
|z|
y
Abbildung 2.6: Graphische Interpretation von Betrag und Konjugation einer komplexen Zahl: Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung, die komplexe Konju-gation bewirkt eine Spiegelung an der reellen Achse.
3 Konvergenz, Folgen und Reihen
Für die Einführung der reellen Zahlen waren Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen von großer Bedeutung. Ganz Allgemein lassen sich Folgen von Elementen in einer beliebigen Menge A betrachten.
Definition 3.1 (Folgen)
Unter einerFolge(an)n∈N= (a0, a1, a2, ...)in einer MengeAversteht man eine Abbildung N→A. Jeder natürlichen Zahl n ∈N wird dabei einFolgenlied an∈A zugeordnet.
Beispiele 3.2
(a) Mit der Vorschrift an = n (n ∈ N) erhält man die Folge (an)n∈N = (0,1,2,3, ...) und es gilt an ∈N (n ∈N).
(b) Für an = n+11 (n ∈ N) erhält man die Folge (an)n∈N = (1,12,13, ...) und es gilt an∈Q (n∈N).
(c) Es sei eine Population gegeben, die in jedem Jahr um einen festen Faktor wächst (z.B. um 10%). Ausgehend von einer Anfangspopulationa0 ∈Rist somit die Größe nach 1 Jahr a0·q (q= 1,1 für 10%), nach Jahr 2 beträgt sie a0·q·q, usw. . . Dies definiert die sogenannte geometrische Folge an =a0·qn (n ∈N).
(d) Ein Guthaben G0 sei jährlich um einen Zinssatz p verzinst, d.h. nach einem Jahr erhält man das GeldG1 =G0·(1+p)zurück (z.B.p= 0,05bei 5% Zinsen). Addiert man die Zinsen bereits nach einem halben Jahr (mit halbem Zinssatz) und verzinst diese am Ende des Jahres mit, so erhält man G2 = G0 ·(1 + p2)2. Teilt man das Jahr in drei Teile, so ergibt sich eine Verzinsung von G3 =G0·(1 +p3)3. Allgemein strebt die Folgean= (1 +np)ngegen den Faktor für kontinuerliche Verzinsung (d.h.
beliebig kleine Verzinsungsintervalle).
3.1 Konvergenz
Von der Konvergenz einer Folge gegen einen Grenzwert (Limes) spricht man, wenn die Folgenglieder diesem Grenzwert ab einem Folgenglied beliebig nahe kommen. Dazu benö-tigt man eine Möglichkeit den Abstand zwischen dem Grenzwert und den Folgengliedern messen zu können. Für die Körper Q,R und C kann man den Betrag definieren und der Abstand zwischen zwei Elemente dieser Körper z, z0 lässt sich über die Abstands-funktion |z −z0| ermitteln. Daher macht die Definition der Konvergenz für alle dieser
KörperK=Q,R,CSinn. Im Folgenden wird der wichtige Spezialfall des KörpersK=R betrachtet. Fast alle dieser Aussagen lassen sich jedoch direkt auf die anderen Körper übertragen, z.B. indem manR durch C ersetzt.
Man sagt, dass eine Eigenschaft für fast alle Elemente einer Folge gilt, sofern die Ei-genschaft auf alle bis auf höchstens endlich viele Elemente zutrifft. In diesem Sinne konvergiert eine Folge gegen einen Grenzwert, falls fast alle Folgenglieder beliebig nahe an dem Grenzwert liegen, oder formal:
Definition 3.3 (Konvergenz)
Eine Folge (an)n∈N in R heißt konvergent gegen den Grenzwert (Limes) a ∈R, falls zu jeder (beliebig kleinen) reellen Zahl >0 ein n ∈N existiert, so dass gilt:
|an−a|< für alle n ≥n.
Es ist zu beachten, dass die Zahl n vom jeweils gewählten abhängt. Entscheidend ist dabei nicht der genaue Wert vonn, sondern lediglich die Existenz eines Wertes, ab dem die obige Bedingung bei vorgegebenem gilt.
Konvergiert(an)n∈N gegen a so schreibt man
nlim→∞an =a oder an →a (n → ∞).
Konvergiert eine Folge fürn → ∞nicht gegen einen Grenzwert so nennt man die Folge divergent.
Beispiele 3.4
(a) Für jedes a ∈ R konvergiert die konstante Folge an = a (n ∈ N) gegen den Grenzwertlimn→∞an=a.
(b) Die Folgean = n+11 (n ∈N) konvergiert gegen Null, denn: Zu jedem >0 gibt es ein N ∈N mit N > 1. Somit gilt für alle n≥N: |an−0|= n+11 < n1 < N1 < . (c) Die Folge an = (−1)n (n ∈N)divergiert, denn der Abstand zwischen zwei
Folgen-gliedern ist|an−an+1|= 2. Somit kann der Abstand zwischen zu einem Grenzwert nicht beliebig klein werden.
Eigenschaften konvergenter Folgen
Definition 3.5 (Beschränkte Folgen) Eine Folge (an)n∈N reeller Zahlen heißt
(i) beschränkt, falls alle |an| ≤M (n∈N) für ein M ∈R,
(ii) von oben beschränkt, falls alle an ≤M (n ∈N) für ein M ∈R, (iii) von unten beschränkt, falls alle an ≥M (n ∈N) für ein M ∈R.
3.1 Konvergenz Zudem sei an die Cauchy-Folge erinnert. Diese dient dazu Konvergenz zu definieren, ohne dass man den Grenzwert explizit kennen muss.
Definition 3.6 (Cauchy-Folge)
Eine Folge (an)n∈N heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem >0 einn ∈Nexistiert, so dass
|an−am|< für alle n, m≥n. Für konvergente Folgen besitzen die folgenden Eigenschaften.
Satz 3.7
(i) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
(ii) Der Grenzwert einer konvergenten Folge bleibt gleich, wenn man endlich viele Fol-genglieder ändert.
(iii) Eine konvergente Folge ist beschränkt.
(iv) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis.
(i) Sei(an)n∈N eine konvergente Folge mit den Grenzwertena undb. Dann gilt jedoch
|a−b|=|a−an|+|an−b| →0(n→ ∞) und die Grenzwerte müssen gleich sein.
(ii) Für die konvergente Folge(an)n∈Ngibt es zu jedemeinn mit|an−a|< , n≥n. Die Folge wird nun an endlich vielen Stellen abgeändert. Das letzte geänderte Folgenglied sei ar, r ∈ N. Dann wählt man für die Abschätzung |an−a| < die Schranken = max(n, r)und erhält erneut konvergenz gegen denselben Grenzwert.
(iii) Mit= 1 gilt für n≥n1 ∈N:|an| ≤ |an−a|+|a| ≤1 +|an|. Da nur endlich viele Folgengliederan, n < n1 existieren gilt:
|an|<max(|a0|,|a1|, ...,|an1−1|,1 +|a|) für alle n ∈N.
(iv) Sei (an)n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert a ∈R. Dann existiert zu jedem > 0 ein n ∈ N mit |an−a| < 2 für alle n ≥ n. Insbesondere gilt für n, m ∈ N, n, m≥N :
|an−am|=|an−a+a−am| ≤ |an−a|+|am−a|<
2 + 2 < .
Bemerkung 3.8
Umgekehrt müssen beschränkte Folgen nicht notwendigerweise konvergieren. Ein Beispiel ist die Folge ((−1)n)n∈N.
Bemerkung 3.9
Für Folgen im vollständigen Körper R gilt die Umkehrung: Jede Cauchy-Folge in R konvergiert (mit Grenzwert a ∈ R). Denn gemäß Konstruktion ist R so gewählt, dass jede Cauchy-Folge in R einen Grenzwert hat.