Weitere notwendige Bedingungen an Skalierungsfolge und –funktion . 156

J_βm(ω)−^em+1(−^ω₂)^sinc(ω)^m+1δ0

2

`2

≤²(2ω)^2m+2

∑

^∞

n=1

1

(²ⁿ−1)^{2m+2 .}

Da die darin vorkommende Reihe konvergiert, gilt J_βm(ω)−sinc(ω)δ0 = O_`2(ω^m+1). Der B–Spline der Ordnungmerfüllt somit eine Approximationsbedingung der Ordnungm(s. De-finition 4.2.5). Insbesondere ist die Prä–Gramsche Faser nach oben beschränkt.

Die Norm der Prä–Gramschen Faser ist periodisch mit Periode 1, sie ist auf dem Intervall [−¹₂,¹₂]durch sinc(¹₂)^m+1nach unten beschränkt, somit also auch überall.

Nach Satz 5.3.4 erzeugt alsoβmeine Multiskalenanalyse. 2

5.3.3 Weitere notwendige Bedingungen an Skalierungsfolge und –funktion

Wir können nach Lemma 4.2.4 zu jeder Ordnungm∈ Neines B–Splines eine endliche Folge g_m ∈`fin(C)finden, mit welcher für die Fourier–Transformierte vonβmdie Entwicklung

ˆ

gmβˆm = gˆm e₁(−^ω₂)sinc(ω)^m+1=1+o_C(ω^r)

5.3. Multiskalenanalyse 157

gilt. Damit gilt aber auch für die Prä–Gramsche Faser ˆg_mJ_βm−δ0 = ^o`2(ω^r). Für Funktionen, welche eine Approximationsbedingung der Ordnungrnach Definition 4.2.5 erfüllen, erhalten wir somit folgende Charakterisierung.

Satz 5.3.8 ϕ∈ L²(C)erfüllt genau dann eine Approximationsbedingung der Ordnung r∈N, wenn es für jedes m∈Nmit m≥r eine endliche Folge c∈`fin(C)gibt, so dass

J_ϕ(ω)−cˆ(ω)J_βm(ω) =o_`2(ω^r) gilt.

Beweis: Erfüllt ϕ ∈ L²(C) eine Approximationsbedingung der Ordnung r, so gibt es nach Definition eine endliche Folge c₀ ∈ `fin(C) <sup>mit J</sup>ϕ = <sup>cˆ</sup>0δ0+<sup>o</sup>`2(ω^r). Da es nach den eben angestellten Überlegungen für jedes m ∈ N eine endliche Folge g_m ∈ `fin(C)<sup>mit ˆg</sup>mJ<sub>βm</sub> = δ0+<sup>o</sup>`2(ω^m)gibt, gilt gleichfalls

J_ϕ= ^cˆ0gˆ_rJ_βr+^o`2(ω^r)^.

Das Faltungsproduktc:=^c0∗^gr∈`fin(C)erfüllt also die Behauptung.

Gilt andererseits J_ϕ = ^cJˆ _βm +^o`2(ω<sup>r</sup>)für eine endliche Folge c ∈ `fin(C)^{und ein m} ≥ ^{r, so} auch

J_ϕ =c eˆ ₁(−^ω₂)sinc(ω)^m+1δ0+o_`2(ω^r)

Analog zu Lemma 4.2.4 findet man eine endliche Folgec₀ ∈ `fin(C), für welche ˆc₀die gleiche Taylorentwicklung bis zum Gradrwie ˆce_m+1(−^ω₂)^sinc(ω)^{m+1hat. Mitc}0ist dann die

Defini-tion der ApproximaDefini-tionsbedingung der Ordnungrerfüllt. 2

Korollar 5.3.9 Seien m,r ∈ Nmit m ≥ ^{r, c} ∈ `fin(C)eine endlichen Folge undη ∈ ^L2(R) ^eine Funktion mit beschränkter Prä–Gramscher Faser. Dann hat die Funktionϕ= c(T)βm+ (1− T)^r+1η die Approximationsordnung r.

In umgekehrter Richtung kann von einer Funktion ϕmit Approximationsordnungr nur auf die Gestalt ϕ = ^c(T)βm+ (¹− T)^rηmit einer endlichen Folge cund einem η ∈ ^L2(R)^mit Prä–Gramschen Fasern der Ordnungo_{`2</sub>(ω<sup>0</sup>)geschlossen werden. Im Folgenden werden wir aber immer Abschätzungen antreffen, in denen das Landau–Symbol o<sub>`2}(ω^r) aus einer Ab-schätzungO_`2(ω^r+1)folgt. Eine Funktion ϕmit dieser Form der Approximationsbedingung der Ordnungrhat immer die Gestalt

ϕ= c(T)βm+ (1− T)^r+1η (5.6) Lemma 5.3.10 Seien s ∈ N>1ein Skalenfaktor, a∈ `1(C)eine Skalierungsfolge und ϕ ∈ L²(R)∩ L¹(R)eine zulässige Skalierungsfunktion der Approximationsordnung r ∈ N, welche die Verfeine-rungsgleichungϕ=Dsa(T)ϕerfüllt. Ferner sei das verschiebungsinvariante System zuϕein Riesz–

System, d.h.ϕerzeuge eine Multiskalenanalyse.

Dann gilt für die Fourier–Reiheaˆ =∑n∈Zane₋nzum einenaˆ(0) =s und zum anderen hata an denˆ Stellenω = ^j_s, j=1, . . . ,s−1, Nullstellen einer Ordnung größer r, d.h.aˆ(_s^j +ω) =0_C(ω^r).

Beweis: Nach Definition 4.2.5 gibt es einc∈`fin(C), mit welchem für die Prä–Gramsche Faser J<sub>ϕ</sub> =<sup>cˆ</sup>δ0+<sup>o</sup>`2(ω^r)^gilt.

Die Fourier–Transformierte vonϕerfüllt für jedesω∈Rdie aus der Verfeinerungsgleichung abgeleitete Identität

ϕˆ(ω) = ¹ s(D¹

s(^aˆϕ^ˆ))(ω) = ¹

saˆ(^ω_s)ϕ^ˆ(^ω_s). Nach Voraussetzung sind sowohl ˆaals auch ˆϕstetig, und es gilt

s²k^Jϕ(ω)−^cˆ(ω)δ0k²_`2 =^s2

∑

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht ein Ausdruck, welcher in Landau–Symbolik die Größeo_C(ω^2r)hat. Da die Summanden auf der rechten Seite sämtlich nichtnegativ sind, müs-sen auch sie diese Größe haben. Dies ist wegen der Riesz–Bedingung anϕnur möglich, wenn

ˆ

Wird a ∈ `fin(Z)als endliche Folge angenommen, so muss ˆaals trigonometrisches Polynom in den Punkten ¹_s, . . . ,^s−_s¹ jeweils eine Nullstelle vom Grad r+1 haben. Für das Laurent– Dies ist aber gerade, bis auf einen Faktor ¹_s, dasHaar–Polynom H_s.

Wegen ˆa(0) = s muss es eine Faktorisierung a(Z) = sHs(Z)^r+1p(Z)des Laurent–Polynoms zur Folgeageben, wobeipwieder ein Laurent–Polynom ist undp(1) =1 gilt. Dies entspricht der Forderung, dass der(^{s, 1})–periodische Operator a(T) ↑^{s :} `fin(C) → `fin(^C)^eine poly-nomiale Approximationsordnung Abesitzt.

Wir wollen im weiteren auch bei unendlichen Skalierungsfolgen die Struktur a(Z) = sHs(Z)^Ap(Z) mit A ∈ N>0 und p ∈ `1(C)voraussetzen. Für a(Z) = sHs(Z)^A kennen wir schon die B–SplinesβA−1als Lösung der zugehörigen Verfeinerungsgleichung.

5.3.4 Biorthogonale und orthogonale Skalierungsfunktionen

In Satz 5.3.4 zur Konstruktion einer Multiskalenanalyse aus einer zulässigen Skalierungsfunk-tionϕ∈ L²(R)musste vorausgesetzt werden, dass diese ein verschiebungsinvariantes Riesz–

5.3. Multiskalenanalyse 159

System erzeugt. Diesen Nachweis für eine Skalierungsfunktion zu führen bzw. diese Eigen-schaft aus EigenEigen-schaften der Skalierungsfolge abzuleiten ist im allgemeinen schwierig.

Nimmt man jedoch eine zweite Skalierungsfunktion ˜ϕ ∈ L²(R) hinzu, die die Funktion ϕ im Sinne von Satz 4.2.9 zur Überabtastung ergänzt, so kann dieser Nachweis unter gewissen weiteren Komplementaritätsbedingungen sich als trivial erweisen. Diese Komplementarität ist gesichert, wennϕund ˜ϕein biorthogonales Paar bilden.

Definition 5.3.11 Seien ϕ, ˜ϕ ∈ L²(R)zulässige Skalierungsfunktionen zum Skalenfaktor s∈ N>1. Das Paar(ϕ, ˜ϕ)wirdbiorthogonales Paargenannt, wenn

J_ϕ(ω), Jϕ˜(ω)_`2 =1 fast überall gilt.

Ist das Paar(ϕ,ϕ)biorthogonal, so nennt man ϕeineorthogonaleSkalierungsfunktion.

Diese Bedingung ist nicht so einschränkend, wie es scheinen mag; nach Satz 6.3.3 im An-schluss an die Lösungstheorie der Verfeinerungsgleichung werden solche Paare von Skalie-rungsfunktionen von biorthogonalen Paaren von Skalierungsfolgen erzeugt, sofern diese Ska-lierungsfolgen auf die im weiteren definierte Art nicht zu groß sind.

Lemma 5.3.12 Seien ϕ, ˜ϕ ∈ ^L2(R)Funktionen, deren Prä–Gramsche Fasern J_ϕ,J_ϕ˜ : R → `2(C) essentiell beschränkt sind. Dann gilt

J_ϕ(ω)^{, J}ϕ˜(ω)_`2 =¹ fast überall genau dann, wenn

h Tⁿϕ, ˜ϕi=δ0,n(Kronecker–Delta) für alle n ∈Zgilt.

Beweis: Die erste Aussage ist äquivalent dazu, dass für beliebige c ∈ `2(C) ^{und deren} Fourier–Reihe ˆc= ∑n∈Zc_ne_−n

cˆϕ, ˆ˜ˆ ϕ

L² =^{Z 1}

0

cˆ(ω)^Jϕ(ω)^{, J}ϕ˜(ω)_`2 ^dω=^{Z 1}

0 cˆ(ω)^dω =^c0

gilt. Nach den Rechenregeln der Fourier–Transformation und dem Satz von Plancherel gilt weiter

c₀= ^cˆϕ, ˆ˜^ˆ ϕ

L² = h^c(T)ϕ, ˜ϕi_L2 .

Dass dies für beliebigec∈`2(C)gilt, ist äquivalent zur zweiten Aussage. 2

Eine andere Formulierung dieser Eigenschaft ist, dass die Kombination des Synthese–Operators E_ϕmit dem Analyse–OperatorE_ϕ^∗_˜ die Identität auf`2(C)ergibt, denn

E_ϕ^∗_˜Eϕ(^c) =E_ϕ^∗_˜(

∑

n∈Z

c_nTⁿϕ) ={

∑

n∈Z

c_nD

Tⁿϕ,T^kϕ^˜E

}k∈Z=^c.

Satz 5.3.13 Seien ϕ, ˜ϕ ∈ ^L1(R)∩^L2(R) zulässige Skalierungsfunktionen zu einem gemeinsamen Skalenfaktor s∈N>1, die ein biorthogonales Paar(ϕ, ˜ϕ)bilden. Dann erzeugen sowohl ϕals auchϕ˜ eine Multiskalenanalyse.

Beweis: Da sowohl ϕ als auch ˜ϕeine Approximationsbedingung erfüllen, erzeugen beide je ein verschiebungsinvariantes Bessel–System. Um die Voraussetzungen des Satzes 5.3.4 zu erfüllen, müssen diese auch Riesz–Systeme sein. Sei c ∈ `2(C) beliebig. Dann gilt für das Skalarprodukt der mitcgebildeten Funktionenreihen

E_ϕ(c),Eϕ˜(c)_L2 =^DE_ϕ^∗_˜E_ϕ(c),cE

L² = kck²_`2 .

Andererseits gilt für das Skalarprodukt die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung, und mit der Schranke√

B˜ für die AbbildungEϕfolgt

Eϕ(^c), Eϕ˜(^c)_L2 ≤ kEϕ(^c)k_L²kEϕ˜(^c)k_L² ≤ kEϕ(^c)k_L^2pB˜k^ck`2 . Zusammengefasst gilt also für beliebigesc∈`2(C)

1

B˜k^ck²_`2 ≤ kEϕ(^c)k²_L2 .

Somit ist {Tⁿϕ : n ∈ Z}ein Riesz–System und ϕerzeugt eine Multiskalenanalyse. Analog

argumentiert man für ˜ϕ. 2

Die Funktionenϕ, ˜ϕ∈ ^L2(R)bilden nach Lemma 5.3.12 genau dann ein biorthogonales Paar, wennE_ϕ^∗_˜Eϕ =^id_`2(C)gilt. Für den Synthese–Operator zu ϕerhalten wir unter Benutzung der

Weiter ista(T) ↑^sein(^{s, 1})–periodischer linearer Operator und hat die Polyphasendarstel-lung Skalierungsfolgen eines biorthogonalen Paares auch in die Form

s id_`2(C)= ↓s

5.3. Multiskalenanalyse 161

gebracht werden. Dass aus dieser Identität unter bestimmten Umständen wiederum auf die Biorthogonalität von(ϕ, ˜ϕ)geschlossen werden kann, wird im Anschluss an die Lösungstheo-rie der Skalierungsgleichung in Abschnitt 6.3 gezeigt.

Im Dokument Wavelet-Konstruktion als Anwendung der algorithmischen reellen algebraischen Geometrie (Seite 166-171)