Frequenzselektive Filterbänke

3.4.1 Laurent– und trigonometrische Polynome

Sindc(T) ^:= ∑k∈Zc_kT^{k undd}(T) ^:= ∑l∈Zd_lT^l zwei Differenzenoperatoren mit endlichen Koeffizientenfolgenc,d∈`fin(C), so ist die Verknüpfung beider

c(T)◦d(T) =

∑

^m

k=−m

c_kT^k◦

∑

ⁿ

l=−n

d_lT^l = ^m

∑

⁺ⁿ

k=−(m+n)

∑

k l=0

c_k−ld_l

! T^k .

Die Koeffizienten dieser Verknüpfung sind die Glieder der Folge des Faltungsproduktsc∗d.

3.4. Frequenzselektive Filterbänke 91

Definition 3.4.1 Sei R ein Ring und `fin(Z,R) der Raum der endlichen Folgen. Die R^–Algebra Rh^Zi ^der Laurent–Polynomebesteht aus diesem Raum mit der gliedweisen Addition, gliedweisen Multiplikation mit Elementen vonRund Multiplikation durch Faltung.

Die Monome Zⁿentsprechen den einelementigen Folgenδⁿmit Wert1an der Stelle n.

D.h., für jede endlich lange Folgea= {an}n∈Z ∈`fin(R), aufgefasst als Laurent–Polynom, gilt a = ∑_k^N_=−Na_kZ^k mit einem genügend großen N ∈ N. Alternativ läßt sich diese Algebra als Quotientenring (s. Definition 2.2.1)Rh^Zi=R[^Z,Z−1]^:= R[^Z,W]h^ZW−¹idefinieren.

Laurent–Polynome können ausgewertet werden, indem die Monome Zⁿ durch die entspre-chenden Potenzen eines invertierbaren Elements von R ersetzt werden. Ist R1 ein weiterer Ring, so dass ein Ringhomomorphismus ϕ:R → R1besteht, so kann jedes Laurent-Polynom ausRhZiin ein Laurent–Polynom inR1hZiumgewandelt und auf invertierbaren Elementen vonR1ausgewertet werden.

Die Differenzenoperatoren mit komplexen Koeffizienten bilden einen Ring, in welchem die einfache Verschiebung invertierbar ist. Laurent–Polynome aus Ch^Zi können also in T und jeder Potenz davon ausgewertet werden, das Bild dieser Auswertungsabbildung ist der ge-samte Ring der Differenzenoperatoren.

Ein Laurent–Polynom mit komplexen Koeffizienten kann ebenso in jeder von Null verschie-denen komplexen Zahl ausgewertet werden. Nach der Theorie der Fourier–Reihen bzw. der Cauchyschen Integralformel genügt es, die Auswertung des Laurent–Polynoms auf dem Ein-heitskreis zu kennen, um sämtliche Koeffizienten rekonstruieren zu können. Dies läßt sich auf vektorwertige Koeffizientenfolgen verallgemeinern.

Definition 3.4.2 Seien V einC–Vektorraum und c ∈ `fin(V)eine endliche Folge. Für jedes ω ∈ R kann die Linearkombination

ˆ

c(ω)^:=

∑

n∈Z

e^−i(2πω)nc_n

gebildet werden, da nur endlich viele Glieder der Reihe von Null verschieden sind. Die so definierte Funktioncˆ:R→V wirdvektorwertiges trigonometrisches Polynomgenannt.

FürV=Centspricht dieses der Auswertung des Laurent–Polynomsc(Z)inz=e^−i2πω. Aus einem trigonometrischen Polynom kann man auch wieder die Koeffizientenfolge bestim-men. Systematisch erfolgt dies, indem die Orthogonalität der trigonometrischen Monomee_n, ω7→^en(ω):=^ei2πωnausgenutzt wird. Es gilt

Z ¹

2

−¹₂ e^i2πωndω =







1 bein=0, 0 bein6=0 , damit gewinnt man die Koeffizienten durchFourier–Integralezurück,

Z ¹

2

−¹₂ cˆ(ω)^ei2πωndω =

∑

k∈Z

c_k Z ¹

2

−¹₂ e^{i2πω(n−k)}dω =^cn. (3.4)

Man kann diese Beziehung als eine Darstellung der Folge cdurch die elementaren Schwin-gungsfolgen{^en(ω)}n∈Zzu Frequenzenω ∈ −¹₂^,1₂interpretieren. Die elementare Schwin-gungsfolge der Frequenzωist – in dieser Interpretation – in der Folgecmit dem vektorwer-tigen „Gewicht“ ˆc(ω)vertreten. Die Schwingungsfolge zur Frequenzω = 0 ist die konstante Folge mit Gliedern 1, die Schwingungsfolgen zu den Randfrequenzenω =±¹₂ sind identisch und gleich der alternierenden Folge{(−¹)ⁿ}n∈Z. Dieses sind die extremen Möglichkeiten der Oszillationsgeschwindigkeit einer Folge.

Seien V und W zwei C–Vektorräume und f ∈ `fin Hom(^V,W) eine endliche Folge von linearen Abbildungen. Dann gibt es auch zu f ein trigonometrisches Polynom ˆf : R → Hom(V,W).

3.4.2 Darstellung der elementaren periodischen Operatoren

Für die elementaren periodischen Operatoren gelten folgende Transformationsregeln trigono-metrischer Polynome:

Satz 3.4.3 Seien V,W zweiC–Vektorräume, a ∈ `fin(^V)eine endliche vektorwertige Folge, a derenˆ trigonometrisches Polynom.

i) Ist f ∈ `fin Hom(V,W)eine endliche Folge linearer Abbildungen und f deren trigonometri-ˆ sches Polynom, so gilt für das trigonometrische Polynom der Bildfolge b:= f(T)(a)∈`fin(W)

bˆ(ω) = ^fˆ(ω) ^aˆ(ω) ∀ω ∈R.

ii) Seien q∈N>0und b:= ↓q

(a). Dann gilt für die trigonometrischen Polynome die Beziehung

bˆ(ω) = ¹ q

q−1 j

∑

=0

ˆ

a(^ω_q^+j) ∀ω∈ R.

iii) Seien q∈N>0und b:= ↓^q(^a). Dann gilt für die trigonometrischen Polynome die Beziehung bˆ(ω) =aˆ(sω) ∀ω∈R.

Beweis: zu i)Das Bild einer endlichen Folgea∈ `fin(^V)^{unter f}(T)ist die ebenfalls endliche Folge b = ^f(T )(^a) = ∑n∈Z∑k∈Z f_k(^an−k)δⁿ. Dieser ist das vektorwertige trigonometrische Polynom

bˆ(ω) =

∑

n∈Z

∑

k∈Z

f_k(^an−k)^e−n(ω) =

∑

k∈Z

e_−k(ω)^fk

∑

n∈Z

a_n−ke_k−n(ω)

!

=

∑

k∈Z

fˆ(ω)(^aˆ(ω))

zugeordnet.

zu ii) Die Folgeb = ↓q

(a) ist eine Teilfolge von a, kann also höchstens so viele von Null verschiedene Glieder wie a besitzen. Für die Beziehungen zwischen den trigonometrischen

3.4. Frequenzselektive Filterbänke 93

Polynomen muss das Weglassen der restlichen Folgenglieder inaberücksichtigt werden. Dazu können die Summen derq–ten Einheitswurzeln verwendet werden, denn es gilt

q−1

q wennnein Vielfaches vonqist, und 0 sonst.

Benutzen wir dies, um die weggelassenen Folgenglieder auszublenden, so folgt bˆ(ω) =

∑

woraus sich nach Definition des vektorwertigen trigonometrischen Polynoms ˆa die Behaup-tung ergibt.

zu iii) Dab = ↑^q(^a)neben den Gliedern der Folge a nur aus Nullvektoren aufgebaut ist, bleibt die Anzahl von Null verschiedener Glieder endlich. Aus demselben Grund ist ˆb(ω) =

∑n∈Zane₋sn=a^ˆ(sω). 2 so gilt f(T)^∗ = ^f∗(T). Für deren abbildungswertiges trigonometrisches Polynom ergibt sich für jedesω∈ R

3.4.3 Darstellung symmetrischer Folgen

Die definierenden Beziehungen einer symmetrischen oder antisymmetrischen Folge stellen Abhängigkeiten zwischen ihren Koeffizienten dar. Für eine im Index Null symmetrische Folge a ∈`fin(^V)^gilta−n =^an. Für das trigonometrische Polynom dieser Folge ergibt sich somit

ˆ

a(ω) =^a0+

∑

^∞

k=1

a_k(^e−k(ω) +^ek(ω)) =^a0+²

∑

^∞

k=1

a_kcos(2πkω)^.

Lemma 3.4.4 Sei V einC–Vektorraum und a∈`fin(<sup>V</sup>)eine endliche, zum Index Null symmetrische Folge. Dann gibt es eine endliche Folge b = {<sup>b</sup>k}k∈N0 ∈ `fin(N,V), mit welcher sich das trigonome-trische Polynom von a als polynomialer Ausdruck incos(2πω)darstellen läßt,

ˆ

a(ω) =^b(^cos(2πω))^:=

∑

^∞

k=0

b_kcos(2πω)^k.

Beweis: Dies folgt aus den trigonometrischen Additionstheoremen und findet eine Formulie-rung in der Existenz der Tschebyscheff–PolynomeT_k ∈ Q[^X]. Mit diesen gilt für jedesn ∈ Z die Identität cosnα = ^Tn(^cos(^a)). Die Tschebyscheff–Polynome sind rekursiv definiert durch T₀ =^1,T1= ^XundTn+1=^2TnX−^Tn−1für allen∈N>0. Letztere Rekursionsvorschrift folgt aus der Summation der beiden Identitäten

cos((ⁿ±¹)α) =^cosnαcosα∓^sinnαsinα.

Es gilt somit ˆa(ω) = ^a0+²∑^∞k=1a_kT_k(^cos(2πω)), durch Zusammenfassen gleicher Potenzen

ergibt sich die Folgeb. 2

Entwickelt man das Polynombim Punkt 1 und beachtet, dass für endliche Folgen vom trigo-nometrischen Polynom zum Laurent–Polynom übergegangen werden kann, so ergibt sich als Folgerung:

Korollar 3.4.5 Für jede endliche, zum Index Null symmetrische symmetrische Folge a∈`fin(C)^gibt es ein Polynom b∈C[X], so dass für das Laurent–Polynom zu a gilt

a(^Z) =^{b 1}− ¹₂(^Z+^Z−1)^.

Satz 3.4.6 Seien a ∈ `fin(C)eine symmetrische Folge mit Verzögerung d ∈ Z, a = τda und X := 1−¹₂(^Z+^Z−1)∈ Qh^Ziein symmetrisches Laurent–Polynom. Dann gibt es ein Polynom b ∈C[^X]^, so dass das Laurent–Polynom a(Z)∈ChZi

• bei gerader Verzögerung d=2m eine Darstellung a(Z) =Z^mb(X),

• bei ungerader Verzögerung d=2m+1eine Darstellung a(^Z) =^Zm(1+^Z)^b(^X)

3.4. Frequenzselektive Filterbänke 95

besitzt.

Beweis: Bei gerader Verzögerung gilt a(^Z) = ^Z2ma(^Z−1), also hat Z^−ma(^Z)Verzögerung 0 und damit eine ParametrisierungZ^−ma(Z) =b(X).

Bei ungerader Verzögerung istz= −1 eine Nullstelle vona(^Z), denn es gilta(−¹) =−^a(−¹)^. Nach Abspalten des Faktors(^Z+¹)der Verzögerung 1 erhalten wir ein symmetrisches

Poly-nom gerader Verzögerung 2m. 2

3.4.4 Tiefpassfilter und Haar–Polynom

Für die weitere Entwicklung der Interpretation des vektorwertigen trigonometrischen Poly-noms als Gewichtsfunktion elementarer Schwingungsfolgen seiVmit einer Normk · k ausge-stattet; fürV = Ckann der Absolutbetrag als Norm gewählt werden. Man kann nun Folgen danach bewerten, ob sie eher dem „langsamen“ Typ der konstanten Folge oder dem „schnel-len“ Typ der alternierenden Folge entsprechen. D.h. danach, ob die Funktionkcˆk, die ja peri-odisch mit Periode 1 ist, ihre Maxima eher nahe Null oder eher in der Nähe von±¹₂ ^besitzt.

Je nach Anwendungsgebiet muss diese vage Begriffsbildung in genauen Definitionen konkre-tisiert werden. Uns genügt im Folgenden die Betrachtung des lokalen Verhaltens von ˆcin 0 bzw. in den extremen Frequenzen±¹₂.

SeienVundWzweiC–Vektorräume,p,q∈N>0undF :`fin(V)→`fin(W)ein(p,q) -periodi-scher Operator, der durch eine endliche Folge von Koeffizientenabbildungen f ∈ `fin Hom(^V,W) ^{als F} = ↓^q◦^f(T)◦ ↑^p gegeben ist. Man nennt F ein Tiefpassfil-ter, wenn die Bildfolgen vonF eher dem langsamen Typ angehören. Insbesondere soll eine langsame Folge awieder eine langsame Folgeb= F(a)als Bild haben. Nach Gleichung (3.5) gilt

bˆ

ω+ ^kq_p= ¹_q^fˆk_p +^ω_q ^aˆpω_q + ¹_q^q

∑

⁻¹

j=1

fˆ

k

p+ ^ω_q^{+j aˆp(ω}_q^{+j) .}

Die langsame Komponente von a soll einen Einfluss auf die langsame Komponente von b haben. Betrachtet man den Fallk = 0 undω ≈ 0, so ergibt sich als Bedingung, dass ˆf(0)von Null verschieden sei. Hat die Norm k^aˆ(ω)kein Maximum in ω = 0 und ist außerhalb des Intervalls

−_2q^1,_2q¹klein relativ zum Maximum, so ergibt sich fürω≈ ^{0 undk}= ^{1, . . . ,p}−¹ der wesentliche Anteil an ˆb

ω+^kq_paus dem ersten Summanden. Um diesen Anteil klein zu halten, kann ˆf(^k_p) =0 fürk=1, . . . ,p−1 gefordert werden.

Seien die Folgen komplexwertig, es gelte alsoV = ^W = Cund damit auch Hom(^V,W) = C.

Dann kann die Nullstellenbedingung an das trigonometrische Polynom ˆf : R → Cgenauer gefasst werden: Hat ˆf Nullstellen in den Punkten ^k_p, k = 1, . . . ,p−1, so hat das Laurent–

Polynom f(^Z) =∑k∈Z f_kZ^kNullstellen in den nichttrivialen p–ten Einheitswurzelne^i(2πp−1)k, k=1, . . . ,p−1. Das Minimalpolynom dieser Nullstellen ist

H_p(^Z)^:= ¹_p¹+^Z+· · ·+^Zp−1= ¹ p

Z^p−¹

Z−1 . (3.6)

Der Vorfaktor wurde so gewählt, dassH_p(¹) =^{1 gilt.}

Definition 3.4.7 Für jedes p∈N>1wird H_p(^Z)Haar–Polynomder Ordnung p genannt.

Die Vielfachheit, mit welcher das Haar–Polynom Hp(Z)in einem beliebigen Laurent–Polynom f(Z), f ∈`fin(C), vorkommt, heißtpolynomiale Approximationsordnungvon f , bzw. des mit f gebilde-ten(^p,q)–periodischen Operators ↓^{q f}(T) ↑^pbei beliebigem q∈N_>1.

Der Begriff der polynomialen Approximationsordnung hat seinen Ursprung in der Betrach-tungpolynomialer Folgen, d.h. von Folgen a ∈ `(C), zu denen es ein Polynom p ∈ C[X]gibt mita= {p(n)}n∈Z. Sei der RaumPm(C)der polynomialen Folgen zum Gradmdefiniert als

Pm(C):={{p(n)}n∈Z: p∈C[X]& degp≤m}.

Dieser Raum ist eindeutig charakterisiert als Raum aller Folgen, die durch den Differenzen-operator(1− T)^m+1auf die Nullfolge abgebildet werden.

Lemma 3.4.8 Seien p,q∈N_>1und f ∈`fin(C)eine Folge, für die der Operator F := ↓^{q f}(T) ↑^p eine Approximationsordnung A ∈ N_>0hat. Dann bildet F jeden Raum P_m(C)polynomialer Folgen mit m< A auf sich selbst ab.

Beweis: Nach Voraussetzung gibt es eine Folge g ∈ `fin(C) mit f(Z) = Hp(Z)^Ag(Z). Sei a ∈ Pm(C)mitm< Aeine polynomiale Folge; es gilt also(1− T)^m+1c=0. Zu prüfen ist das Verschwinden von(¹− T)^m+1F(^a)^{. Wegen}(¹−^Z)^Hp(^Z) = ¹_p(¹−^Zp)^undm+¹≤ ^{Agilt für} diesen Ausdruck

(¹− T)^m+1F(^a) =(¹− T)^m+1( ↓^qf(T) ↑^p)(^c)

= ↓^qqm+1Hq(T)^m+1(¹− T)^m+1f(T) ↑^p(^c)

=^q_p^m+1 ↓^qHq(T )^m+1gm(T) (¹− T^p)^m+1 ↑^p(^c)

=^q_p^m+1 ↓^qHq(T )^m+1gm(T) ↑^s(¹− T)^{m+1c .}

mitg_m(^Z) = ^Hp(^Z)^A−m−1g(T). Da nach Voraussetzung der letzte Faktor schon die Nullfolge

ist, gilt das für den gesamten Ausdruck. 2

Im Dokument Wavelet-Konstruktion als Anwendung der algorithmischen reellen algebraischen Geometrie (Seite 100-106)