3.5 Wavelet–Filterbänke
3.6.2 Faktorisierung symmetrischer semi–unitärer Operatoren
Lemma 3.6.3 Seien V ein euklidischer Vektorraum mit Symmetrie J :V →V und a∈ V+, b ∈ V−
je ein gerader und ungerader Einheitsvektor. Mit P:= 1
2(a+b)(a∗+b∗)und R= R(a,b):= I+P(T −1) +JPJ(T−1−1).
ist P ein orthogonaler Projektor auf V, R : `fin(V)→ `fin(V)ist unitär und es giltτνRτν = JRJ = R(a,−b) =R−1für jedesν∈Z.
Beweis: Daa undborthogonal zueinander sind, giltha+b, a+bi = 2. Somit gilt P2 = P, nach Konstruktion gilt P∗ = P. Weiter ist τνTτν = T−1, woraus aus der Struktur vonRdie IdentitätτνRτν = JR(a,b)Jfolgt. Um die Orthogonalität nachzuweisen, sei als erstes bemerkt, dass mit J(a+b) = a−bauch JPJ = 12(a−b)(a∗−b∗)ist. Wegenha+b, a−biV = 0 gilt nun JPJP=0, somit ist
(I−P(T −1))(I−JPJ(T−1−1)) =R.
Jeder Faktor für sich ist jedoch unitär, somit auch die Verknüpfung. Da die Projektoren selbst-adjungiert sind, istR(a,b)−1 =R∗= τνRτν = JRJ= R(a,−b). 2
Satz 3.6.4 (vgl. [Tur94]) Seien V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und J : V→ V eine lineare Abbildung mit J2=1. Sei F :`fin(R)→`fin(V)eine lineare Abbildung, die
a) (1, 1)–periodisch, b) semi–unitär und
c) symmetrisch in dem Sinne ist, dass fürν =0oderν =1die Identitätτν◦F◦τν = JF gilt.
Dann gibt es ein M ∈ Nund gerade Einheitsvektoren a1, . . . ,aM,c ∈ V+sowie ungerade Einheits-vektoren b1, . . . ,bM,d∈V−, so dass fürν=0
F= R(aM,bM)· · · · ·R(a1,b1)·c und fürν=1
F= R(aM,bM)· · · · ·R(a1,b1)· 12(1+T)c+ 12(1− T)d gilt.
Beweis: Seien M,N ∈ N und f−M, . . . ,fN−M ∈ V, fN−M 6= 0 die Vektoren, mit welchen F= f−MT−M+· · ·+ fN−MTN−M gilt. Aus der Symmetrie laut Voraussetzung c) ergibt sich, dass dann fk = J fν−k gilt, insbesondere muss für die IndexgrenzenN = ν+2Mgelten. DaJ unitär aufVist, gilt ebensokfkkV =kfν−kkV.
Die nur die jeweils äußeren beiden Glieder betreffenden Bedingungen aus der Semi–Unitarität vonFlauten
0=hf−M, fν+MiV =hJ fν+M, fν+MiV und 0=hf−M, fν+M−1iV+hf−M+1, fν+MiV
=hJ fν+M, fν+M−1iV+hJ fν+M−1, fν+MiV .
Da der VektorraumVreell ist, ist das Skalarprodukt symmetrisch, somit stehtfν+Msowohl zu J fν+Mals auch zu J fν+M−1senkrecht. Seienr,s> 0 unda ∈V+,b∈ V+Einheitsvektoren mit fν+M =ra+sb. DaJ fν+M = ra−sbgilt, folgt nebenkfν+Mk2V =r2+s2auchkrakV = ksbkV, d.h.r= s.
MitP= 12(a+b)(a∗+b∗)gelten also
P(fν+M) =r2(a+b)(a∗+b∗)(a+b) = fν+M
JPJ(fν+M) =r2(a−b)(a∗−b∗)(a+b) =0
JPJ(fν+M−1) =2r1(a−b)hJ(fν+M), fν+M−1iV =0 .
Die Verknüpfung vonR(a,−b) = I+JPJ(T −1) +P(T−1−1)mitFergibt somit einen semi–
unitären, symmetrischen Differenzenoperator
F˜ := R(a,−b)◦F = f˜−M+1T−M+1+· · ·+ f˜dν+M−1Tν+M−1
mit ˜fk =P fk+1+ (I−P−JPJ)fk+JPJ fk−1,
3.6. Zur Vervollständigung von Waveletfilterbänken 117
welcher in beiden Richtungen einen Summanden weniger aufweist. Wir setzen also aM := a und bM = b und wiederholen diesen Schritt, bis Einheitsvektoren a1, . . . ,aM ∈ V+ und b1, . . . ,bM ∈V−gefunden sind, mit welchen
R(a1,−b1)·. . .·R(aM,−bM)F =
g0 beiν=0 g0+g1T beiν=1
gilt. Bei ν = 0 muss g0 = Jg0 gelten. Da die Verknüpfung weiter semi–unitär ist, gilt auch kg0kV = 1; c := g0 ist also der noch fehlende gerade Einheitsvektor. Beiν = 1 ist g1 = Jg0, analog zur Argumentation oben sindc := g0+g1 ∈ V+ undd := g0−g1 ∈ V− Einheitsvek-toren, es gilt g0+g1T = 12(1+T)c+12(1− T)d. DaR(a,−b)invers zu R(a,b)ist, folgt die
Behauptung des Satzes. 2
Abtastung und Interpolation
In vielen Problemen der Natur– und Ingenieurwissenschaften wird ein zeitkontinuierlicher physikalischer Prozess mittels in der Zeit stetiger Funktionen modelliert. Die Räume derarti-ger Funktionen sind aber stets unendlich-dimensional.
Um Berechnungen mit dem Modell – welcher Art auch immer – durchführen zu können, bedarf es endlich–dimensionaler Räume, d.h. das berechenbare Modell darf nur von endlich vielen Parametern abhängen.
Will man die Tauglichkeit eines Modells am real ablaufenden Prozess überprüfen, braucht man eine Methode, die es gestattet, die Parameter zu bestimmen. Dazu sind für den Prozess typische Größen zu messen. Dies kann auch nur in endlicher Weise geschehen, d.h. es kom-men nur endlich viele Werte mit endlicher Präzision in Frage.
Um den Verlauf des Prozesses in der Zeit zu erfassen, wiederholt man die Messung der Grö-ßen mehrfach zu aufeinander folgenden Zeitpunkten. Auf diese Weise entsteht eine Messrei-he,Zeitreihegenannt.
Die Aufstellung einer Zeitreihe nennt man in der SignaltheorieAbtastungdes Prozesses.
Im Allgemeinen ist der Messwert zu einem gewissen Zeitpunkt eine Funktion des Zustandes eines vorliegenden Prozesses in diesem Zeitpunkt. Lassen wir das Problem der Rekonstruk-tion des Zustandes aus den Messwerten außer acht und nehmen vereinfachend an, dass ein einfacher Messwert schon den Zustand charakterisiert. Nehmen wir weiter idealisierend an, dass fehlerfrei gemessen werden kann. So bleibt immer noch das Problem, den endlich vie-len Paaren (bestehend jeweils aus Zeitpunkt und Messwert),Stützstellengenannt, eine stetige Funktion zuzuordnen.
Zu dessen Lösung wurden verschiedenste Interpolationsverfahren entwickelt. Die ersten und einfachsten Verfahren nach Newton und Lagrange bestimmen ein Polynom genügend hohen Grades, welches durch die Stützstellen verläuft. Sollen jedoch neue Messwerte hinzugefügt werden, so muss die interpolierende Funktion völlig neu bestimmt werden. Außerdem kann sich die Interpolationsfunktion bei solch einer Änderung sehr stark ändern.
4.1. Interpolation 119
Abhilfe für Messzeitpunkte gleichen Abstands schafft die Interpolation mit dem Kardinalsi-nus. Die Betrachtung der mit diesem konstruierten Kardinalreihen führt auf die Untersuchung von Fourier–Reihen, der Fourier–Transformation und die Zerlegung der Zeit–Frequenz–Ebene auf verschiedene Arten.
Mit Hilfe dieser Werkzeuge wurde die moderne digitale Nachrichtentechnologie geschaffen ([Sha49]). Das Grundprinzip der digitalen Kommunikation läßt sich folgendermaßen skiz-zieren: Eine endliche Folge von Zahlen (meist aus einem endlichen Wertevorrat) wird einem ebensolangen Abschnitt einer Folge äquidistanter Zeitpunkte als Werte zugeordnet. Der zeitli-che Abstand in der Folge wird auch als Taktlänge bezeichnet. Zu diesen Paaren von Zeitpunkt und Wert wird eine Interpolationsfunktion konstruiert, die als Spannung eines elektrischen Leiters oder drahtlos als Amplitude eines hochfrequenten elektromagnetischen Feldes reali-siert wird. Am anderen Ende des Leiters oder einem anderen Ort in Reichweite des elektro-magnetischen Wechselfeldes wird diese Funktion dann in Form einer Folge von Messwerten gemessen, abgetastet.
Dabei können in der Zeit–Frequenz–Ebene Frequenzbänder festgelegt werden, die als unab-hängige Kommunikationskanäle dienen. Denn sind (bis auf Randpunkte) disjunkte Intervalle auf der Frequenzachse festgelegt, so kann durch Modulation der Kardinalreihe eine Inter-polationsfunktion geschaffen werden, deren Fourier–Transformierte auf dieses Intervall be-schränkt bleibt, d.h. deren Darstellung in der Zeit–Frequenz–Ebene nur den diesem Intervall entsprechenden Streifen belegt. Es gibt für jedes Intervall eine von dessen Breite abhängige minimale Taktlänge. Durch diese wird die in Frequenzbänder zerlegte Ebene auch in der Zeit unterteilt.
Es wird sich herausstellen, dass man zur idealen Umsetzung dieser Theorie für jeden Mess-wert Integrale bestimmen oder approximieren muss, die sich über die gesamte Zeitachse er-strecken. Aus Methoden, diesen Nachteil bzw. den Fehler bei der Approximation systematisch zu fassen und daraus den Vorteil schneller Algorithmen zu gewinnen, entstanden verschie-dene Verfahren der gefensterten Fourier–Transformation und schließlich die Wavelet–Theorie mit ihren Methoden insbesondere der Multi–Skalen–Analyse (s. [Mal89, Mey89, Dau96]).
4.1 Interpolation
Die Problemstellung, auf welche Interpolationsverfahren eine Antwort geben, ist die folgende:
Seien N ∈ N Paare (xn,yn) ∈ K2, n = 1 . . . ,N gegeben, wobei K = R der Körper der reellen Zahlen oder K = C der Körper der komplexen Zahlen sein kann sowie x1, . . . ,xN paarweise verschieden sind. Zu diesen soll eine Funktion F : K → K gefunden werden, welcheF(xn) =ynfür jedesn=1 . . . ,Nerfüllt.