4.2 Approximation in verschiebungsinvarianten Teilräumen
4.2.5 Approximation mittels gestauchtem Transferoperator
Definition 4.2.5 Seien ϕ∈L2(R)und r∈N. ϕhat eineApproximationsordnungr, wenn es ein c∈`1(Z)mitcˆ(0) =1gibt, so dass für die Prä–Gramsche Faser Jϕ:
−12,12
→`2(Z) Jϕ=cδˆ 0+o`2(ωr)
gilt. Wir sagen dann auch, dassϕeine Approximationsbedingung (der Ordnung r∈ N) erfüllt.
4.2. Approximation in verschiebungsinvarianten Teilräumen 137
Als direkte Konsequenz dieser Eigenschaft erhalten wir, dass Tnϕˆ = oC(ωr)für jedes n ∈ Z\ {0}und ˆϕ= cˆ+oC(ωr)gilt.
Lemma 4.2.6 Erfüllen ϕ, ˜ϕ ∈ L2(R)eine Approximationsbedingung der Ordnung r, so erzeugen beide Funktionen jeweils ein verschiebungsinvariantes Bessel–System. Sind c, ˜c ∈ `1(Z)Folgen, mit welchen Jϕ =cδˆ 0+o`2(ωr)und Jϕ˜ =cδˆ˜ 0+o`2(ωr)gelten, und gilt weiterhincˆcˆ˜ =1+oC(ωr), so folgt
ϕˆ(ω)Jϕ(ω) =δ0+o`2(ωr).
Beweis: Nach Definition der Landau–Notation folgt aus der Voraussetzung, dass die Gram-schen FasernJϕundJϕ˜beschränkt sind. Somit sind die vonϕbzw. ˜ϕerzeugten verschiebungs-invarianten Systeme Bessel–Systeme.
Gilt Jϕ˜ = cδˆ˜ 0+o`2(ωr), so auch ˆ˜ϕ(ω) = cˆ˜+oC(ωr), mit der zweiten Beziehung Jϕ = cδˆ 0+ o`2(ωr)also
ϕˆ Jϕ= cˆ˜cˆδ0+o`2(ωr) =δ0+o`2(ωr)
2
Jedem TransferoperatorPϕ,ϕ˜ können wir eine Familie{PS:S∈R+}dilatierter Operatoren zu-ordnen, indem wir zunächst die zu transformierende Funktion strecken, dann abtasten und rekonstruieren und danach wieder stauchen. D.h. für einen gegebenen FaktorS>1 transfor-mieren wir eine Funktion f ∈ L2(R)zu
PS(f):= DS◦Pϕ,ϕ˜ ◦ D−S1(f).
Die so entstehende Funktionenfamilie{PS(f): S>1}soll nun daraufhin untersucht werden, ob sie eine Approximation von f darstellt, d.h. ob limS→∞PS(f) = f für die Konvergenz in L2(R)gilt.
Sei dazu f zunächst als bandbeschränkt gewählt, f ∈ PW([−Ω,Ω])für einΩ> 0. Nach den Rechenregeln (B.4) gilt D−S1f ∈ PW([−S−1Ω,S−1Ω]) für jedesS > 0. Für S > 2Ω gilt also DS−1f ∈ PW([−12,12]). Unter den Voraussetzungen des vorhergehenden Lemmas 4.2.6 und nach Ungleichung (4.9) können wir den Abstand von PS(f) = (DSPϕ, ˜ϕD−S1)(f) zu f durch eine Potenz vonS−1abschätzen, wenn f genügend oft differenzierbar undSgroß genug ist.
Die Beispielklasse der bandbeschränkten Funktionen ist beliebig oft stetig diffenzierbar. Für jedes f ∈ PW([−Ω,Ω]),Ω>0 liegen die Ableitungen vonf sämtlich wieder inPW([−Ω,Ω]), denn es gilt
d
dxf(x) = d dx
Z Ω
−Ω
fˆ(ω)ei2π ωxdω =Z Ω
−Ω(i2πω)fˆ(ω)ei2π ωxdω und pfˆ∈ L2([−Ω,Ω])für jedes Polynomp∈ C[ω].
Lemma 4.2.7 Es seienϕ, ˜ϕ∈ L2(R)so gegeben, dass deren Prä–Gramsche Fasern Jϕ,Jϕ˜ :
−12,12
→
`2(Z)beschränkt sind und ϕˆ(ω)Jϕ(ω) = δ0+o`2(ωr)gilt. Sei{PS : S > 0}, die Familie der ge-stauchten Transferoperatoren PS:= DSPϕ˜,ϕDS−1.
Dann gibt es zu jedemε>0einδ >0, so dass für jede bandbeschränkte Funktion f ∈PW([−Ω,Ω]) mit höchster FrequenzΩ>0und jedes S≥ δ−1Ωgilt:
kPS(f)− fkL2 ≤εS−rkf(r)kL2 .
Beweis: Nach Definition der Landau–Notation gibt es für jedesεeinδ > 0, so dass für alle ω ∈[−δ,δ] SdieL2–Norm lediglich um den konstanten Faktor√
Sändert, erhalten wir kPSf− fkL2 =DSPϕ, ˜ϕg− DSg
L2 ≤εkDSg(r)kL2 =εS−rkf(r)kL2 .
2
Beispiel: Wir betrachten Abtastung und Rekonstruktion mit der Rechteckfunktion χI über dem Intervall I =h−12,12i
, d.h. den Transfer–Operator zuϕ= ϕ˜ =χI. Dieser ist auch der Projektor auf den Unterraum V0der Multiskalenanalyse der Haar–Wavelets, s. Abschnitt 5.2.
Es gilt ϕˆ = ϕˆ˜ = sincund damit Jϕ(ω) = Jϕ˜(ω) =S(ω) := {sinc(n+ω)}n∈Z. Damit haben diese Prä– Für den relativen Fehler erhalten wir beispielsweiseq
1−sinc(372)2 < 101 undq
1−sinc(1821 )2< 1001 . Es sei daran erinnert, dass nach dem WKS–Abtasttheorem 4.1.5 Funktionen in PW([−1821 ,1821 ]) durch ihre Funktionswerte an den Stellen{91n}n∈Zeindeutig bestimmt sind. Um einen relativen Fehler kleiner als1%
zu sichern, müssen bei der Abtastung mittelsχI also90mal mehr Abtastwerte bei gleichem Zeitintervall bestimmt werden.
4.2. Approximation in verschiebungsinvarianten Teilräumen 139
Andererseits ergibt sich bei Abtastung mittels ϕ = ϕ˜ = sinc für beliebige f ∈ PW(I) der Fehler Null, da der zugehörige Transfer–Operator auf PW(I) die Identität ist. Dies ergibt sich ebenfalls aus der Un-gleichung (4.8), denn es gilt für jedes ω ∈ I sowohl ϕˆ˜(ω) = χI(ω) = 1 als auch Jϕ(ω) = δ0, somit ϕˆ˜Jϕ−δ0=0.
Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Fourier–Transformation erlaubt es, Klassen dif-ferenzierbarer Funktionen inL2(R)zu identifizieren.
Definition 4.2.8 DerSobolew–Raumder r–fach in L2(R)differenzierbaren Funktionen ist definiert als
Satz 4.2.9 (Überabtasttheorem) Seienϕ, ˜ϕ∈ L2(R)derart gewählt, dass sie eine Approximations-ordnung r ∈ N haben und die Folgen c, ˜c ∈ `1(Z), mit welchen die Approximationsbedingungen Jϕ = cδˆ 0+o`2(ωr) bzw. Jϕ˜ = cδˆ˜ 0+o`2(ωr) gelten, zusätzlich cˆ˜cˆ = 1+oC(ωr) erfüllen. Sei {PS:S>0}, die Familie der gestauchten Transferoperatoren PS := DSPϕ,ϕ˜ D−S1.
Dann gilt für jedes f ∈ Hr(R)
Slim→∞Srkf−PS(f)kL2(R) =0 .
Beweis: Sei für jedes R > 0 mit πR : L2(R) → PW([−R,R]) die orthogonale Projektion auf den Unterraum bandbeschränkter Funktionen mit höchster Frequenz Rbezeichnet, f 7→
πR(f):=F∗(χ[−R,R]F(f)). Nach den Lemmata 4.2.6 und 4.2.7 gibt es für jedesε>0 einδ >0, gemeinsame obere Schranke der Prä–Gramschen FasernJϕund Jϕ˜, dann istBauch eine obere Schranke für Pϕ, ˜ϕ, und damit auch für jeden der skalierten OperatorenPS. Mit der Dreiecks-ungleichung erhalten wir für die uns interessierende Differenz
SrkPS(f)− fkL2 ≤Sr(B+1)kf −πδS(f)kL2+SrkPS(πδS(f))−πδS(f)kL2 .
Den ersten Summanden können wir wieder mit Hilfe der Plancherel–Identität gegen dier–te Ableitung abschätzen,
Zusammenfassend erhalten wir die Abschätzung
SrkPS(f)− fkL2 ≤(1+B)(2πδ)−rf(r)−πδS(f(r))
L2 +ε f(r)
L2 .
BeiS → ∞konvergiert der erste der Summanden auf der rechten Seite gegen Null, da f(r) ∈ L2(R)vorausgesetzt war. Da aberε>0 beliebig war, kann auch der zweite Summand beliebig klein gehalten werden. Somit konvergiert die linke Seite gegen Null. 2
Kapitel 5
Multiskalenanalyse
Um bandbeschränkte Prozesse zu analysieren bzw. beliebige Prozesse auf die Modellannah-me der Frequenzbeschränktheit mit niedriger höchster Frequenz zu prüfen, könnte man ver-suchen, eine Messapparatur zu konstruieren, welche einen auf dem Kardinalsinus basieren-den Abtastoperator realisiert. Eine gegenüber der zu testenbasieren-den Grenzfrequenz genügend ho-he Abtasttaktrate vorausgesetzt, kann die Messreiho-he dann gemäß einer Oktavbandzerlegung der Zeit–Frequenzebene (s. Abschnitt 5.1) in die Koeffizienten der Reihenentwicklung der Frequenzbänder umgerechnet werden. An diesen kann dann abgelesen werden, welche Fre-quenzbänder einen Beitrag zum gemessenen Prozess leisten, bzw. ob der Anteil über der Grenzfrequenz klein genug ist, um als Störung vernachlässigt zu werden.
Es gibt einige Probleme bei einem solchen Vorgehen. Der Kardinalsinus hat einen unbeschränk-ten Träger, womit eine praktische Realisierung dieser Funktion als Messprozess unmöglich ist.
Dieses Problem kann durch Wechsel der Funktion im Abtastmodell und Anpassung der Ab-tastrate reduziert werden. Wählen wir beispielsweise die technisch einfach zu realisierende BlockfunktionχI, I := [0, 1]in der Abtastung und behalten den Kardinalsinus in der Rekon-struktion bei, so wird die Kombination von Abtastung und RekonRekon-struktion im Allgemeinen nicht fehlerfrei sein. Der Fehler kann aber mittels Überabtastung (s. Satz 4.2.9), d.h. mittels Bestimmung der Zeitreihe mit wesentlich verkleinertem Zeitschritt, umgangen werden. Im Beispiel würde ein gegenüber dem idealen Modell um den Faktor 8 reduzierter Zeitschritt zu einem relativen Fehler kleiner 1% führen.
An diesem Punkt erwartet uns das nächste Problem, nämlich dass die Auswertung der mittels dieser Abtastung gewonnenen Folge die Bestimmung unendlich vieler Reihen erfordert. Auch hierfür kann eine in endlicher Zeit bestimmbare Näherung gefunden werden. Diese wird, da die in den Reihen vorkommenden Koeffizienten jedoch nur linear nach Unendlich abfallen, immer noch sehr aufwendig sein. Nachfolgend stellt sich dann die Frage einer frequenzbe-schänkten Rekonstruktion. . .
An diesem Punkt angekommen, kann es sinnvoll erscheinen, den Begriff des Frequenzbandes in der Oktavbandzerlegung etwas „aufzuweichen“, um die Endlichkeit der Berechnungen und bessere, praktisch einfacher zu realisierende Funktionen für Abtastung und Rekonstruk-tion zu gewinnen. Der theoretische Rahmen für diese KonstrukRekonstruk-tion wird durch die
Multiska-lenanalysegelegt.
Wir werden mit denHaar–Waveletszunächst ein weiteres Beispiel einer Multiskalenanalyse be-trachten, das in gewisser Weise den Gegenpol zur Oktavbandzerlegung bildet. Um die Mul-tiskalenanalyse in der benötigten Allgemeinheit definieren zu können, benötigen wir noch einige funktionalanalytische Grundbegriffe. Aus den Forderungen an eine Multiskalenanaly-se und deren Anwendung zur Konstruktion von Wavelet–Systemen ergeben sich analytische sowie algebraische Anforderungen an die Koeffizientenfolge derVerfeinerungsgleichung.
5.1 Zerlegungen der Zeit–Frequenz–Ebene
Unter einer Zerlegung der Zeit–Frequenz–Ebene wollen wir eine orthogonale Zerlegung des L2(R)in UnterräumePW(An)bandbeschränkter Funktionen mit Frequenzbändern mitAn⊂ R,n∈ Nbezeichnet (Nkann durch andere abzählbare Indexmengen wieZersetzt werden).
Jedes Ansei abgeschlossen und beschränkt, der Schnitt An∩Am zweier beliebiger Teilmen-gen sei eine Menge vom Maß Null. Der Raum PW(An) besteht aus denjenigen Funktionen
f ∈ L2(R), deren Fourier–Transformierte ˆf :=F(f)ihren Träger in ¯Anhat.
Die ZerlegungL2(R) =Ln∈NPW(An)ist genau dann eine orthogonale Zerlegung, wenn die TeilmengenAneine Zerlegung vonRdefinieren, d.h.R=Sn∈NAngilt, wobei dieAnbis auf Mengen vom Maß Null paarweise disjunkt sind. Damit kann jede Funktion f ∈L2(R)auf die UnterräumePW(An)projiziert werden. Bezeichnen wir die Projektionen mit fn ∈ PW(An), so gilt f = ∑n∈Nfn. Wird zu jedem An eine Bandbreite Bn > 0 gewählt, so kann f aus den Werten fn(Bmn),(m,n)∈Z×N, rekonstruiert werden.
Eine allgemeine Klasse von Zerlegungen vonL2(R,C)wird durch streng monotone, beidseitig unbeschränkte Folgena = {an}n∈Z ⊂ Rdefiniert. Dabei sind die Frequenzbänder durch die ganzen Zahlen indiziert und als An := [an,bn], bn := an+1, definiert. Offensichtlich wirdR durch diese Intervalle zerlegt.
Die TeilräumePW([an,bn])⊂ L2(R)stehen nach der Plancherel–Identität und der Definition der Intervalle senkrecht zueinander. Mit der BandbreiteBn:= (bn−an)hat jedesPW([an,bn]), n∈Z, die Hilbert–Basis, die aus den Funktionen
ϕn,m := 1
BnTBnm F−1(χ[an,bn]) =Tbnm−an ean+bn
2 Dbn−ansinc ,
m ∈ Z, besteht. Die Charakterisierung eines f ∈ L2(R)durch die Funktionswerte{fn(Bmn) : (m,n)∈Z2}der Projektionen fnvon f auf die Teilräume ist dann eineindeutig und es gilt
f =
∑
m,n∈Z
fn
m bn−an
ϕn,m
Die erzeugenden Funktionen ϕn,m ∈ L2(R), m ∈ Z, bilden bei konstantemneine Hilbert–
Basis von PW([an,bn]); das gesamte System {Ln,m : m,n ∈ Z} ist eine Hilbert–Basis des L2(R).
Jedem Indexpaar (m,n) ∈ Z2 sei in der Zeit–Frequenz–Ebene der Punkt (bnm−an, an+2bn) ∈ R2 zugeordnet. Dieser liegt in der Mitte des Rechtecks 2m−1
2(bn−an),2(2mb +1
n−an)
×[an,bn], alle
der-5.1. Zerlegungen der Zeit–Frequenz–Ebene 143
art definierten Rechtecke zusammen bilden eine Zerlegung des R2. Diese Zerlegung desR2 als Zeit–Frequenz–Ebene in Rechtecke kann als symbolische Darstellung der Hilbert–Basis {Ln,m : (m,n)∈Z2}verstanden werden.