4. Empirische Methodenüberprüfung und -entwicklung
4.3. Neue methodische Herangehensweisen 1. Paarvergleichsmodelle
4.3.4. Multilevel Modelling: vom f,xed effects model zum multilevel growth curve model
Ziele:
Es wird untersucht, ob es standortbezogen unterschiedliche Einflüsse der Teilzufriedenheitsitems auf die Gesamtzufriedenheit mit dem Kinobesuch gibt.
In den longitudinalen Modellen werden mehrere Ebenen zur Verbesserung der Bestimmung der Gesamtzufriedenheit über die Zeit hinweg eingeführt.
Variablen:
Wie beurteilen Sie Ihre Zufriedenheit mit diesem Kino in Bezug auf ... ? (gemessen in den 12 Monaten Oktober 2006 bis September 2007);
ltems (# 11 ): Technik/Bild/Ton, Komfort, Servicepersonal, Preis/Leistung, Buffet, Atmosphäre, Standort/Erreichbarkeit, Filmangebot, Informationsangebot, Reservierungsmöglichkeiten, Erscheinungsbild/Image;
Skalierung: 6-stufige-Likert-Skala: 6 (sehr zufrieden) bis 1 (nicht zufrieden), -1 (keine Erfahrung);
Bitte machen Sie folgende Angaben zu Ihrem Kinobesuch: Gesamtzufriedenheit (gemessen in den 12 Monaten Oktober 2006 bis September 2007);
Skalierung: 6-stufige-Likert-Skala: 6 (sehr zufrieden) bis 1 (nicht zufrieden);
Bitte machen Sie folgende Angaben zu Ihrem Kinobesuch: Kino (gemessen in den 12 Monaten Oktober 2006 bis September 2007);
Skalierung: 53 unterschiedliche Kinostandorte (nominal);
Programm:
MLwiN2.02;
Modell:
Luke (2004) bietet einen Überblick zu den multilevel models (MLM), auch hierarchical linear mode/s, random coefficient mode/s oder mixed ejfects models genannt. Es existieren zwei Lösungsansätze, nämlich die multiple Regression und structural equation models (SEM). Das ordinary least squares (OLS) Regressionsmodell verletzt Annahmen der klassischen Regression sobald Multileveleffekte auftreten. Wird das OLS-Verfahren für Daten mit korrelierten Fehlerstrukturen verwendet, sind die Fehlerwerte kleiner als sie sein sollten. In MLM werden die brauchbaren Teile der Fehler berücksichtigt. In den Programmen HLM und R/S-Plus (package: nlme, library: mixed-effects) wird ein ML-Schätzer verwendet, um Probleme wie korrelierte Fehlerwerte zu
umgehen, indem die Unabhängigkeitsannahme aufgeweicht und korrelierte Fehlerstrukturen erlaubt werden. Probleme, wie die in longitudinalen Daten auftretende Autokorrelation, können ebenfalls berücksichtigt werden. In MLM beeinflussen Effekte höherer Levels, die auf niedrigeren Levels. Es werden Einflüsse auf aggregierter Ebene, strukturelle Gegebenheiten auf der Beziehungsebene und globale Eigenheiten, die nicht aus dem Individuum herrühren, berücksichtigt. Die Betrachtung auf disaggregierter Ebene weist die nicht im Modell enthaltene Information als Fehler des Individuums aus. Dies führt zu korrelierten Fehlern, was die Annahmen der multiplen Regression verletzt. Wird der gruppenspezifische Kontext nämlich ausgegrenzt, werden Individuen in unterschiedlichen Umgebungen gleich behandelt. Dies kann nicht gerechtfertigt werden. Ein frxed ejfect -Einfluss kann unter dem Umstand der zufälligen Variabilität nicht gewährleistet werden. MLM bieten zusätzlich besseren Umgang mit fehlenden Werten.
In den MLM gibt es deshalb einen frxed ejfect und einen random ejfect. Diese werden meist in mehreren Gleichungen angeschrieben, also in einem System an Gleichungen oder alle in die Level-l-Ebene implementiert, mixed-ejfects-Modell genannt. Tabelle 44 listet die drei Basismodelle auf.
Das unconstrained-Modell, auch Null-Modell genannt, hat keine Level-l- oder Level-2-Prädiktoren und wird meist als Startpunkt für komplexere Modelle verwendet. Es ist trotzdem ein MLM und liefert das gleiche Ergebnis wie das one-way random effects-ANOVA-Modell, also einen Gesamtmittelwert über alle Probanden, eine Variabilität zwischen den Level-2-Gruppen und eine Variabilität innerhalb der Gruppen. Das random intercept-Modell geht von Level-1-intercepts aus, welche über Level 2 variieren. Im random intercepts- and s/opes-Modell wird diese Variation zusätzlich für die slopes aufgenommen. Auch ein f,xed intercept random s/ope-Modell ist denkbar, beispielsweise für den Vergleich einer Kontrollgruppe und einer treatment-Gruppe, welche mit gleichen Startwerten nach unterschiedlicher Behandlung einen unterschiedlichen Einfluss widerfahren.
Zur Schätzung wird ML oder restricted-ML (REML) verwendet. Die frxed ejfects werden in beiden Methoden gleich geschätzt, die random effects sind bei REML weniger verzerrt. Wenn die Anzahl an Level-2-Einheiten 30 oder mehr übersteigt werden die Unterschiede in den Ergebnissen verschwindend klein. ML hat den Vorteil der möglichen Verwendung der deviance-Statistik für den Vergleich zwischen frxed und random ejfects zweier Modelle. Deshalb wird REML nur bei einer geringen Anzahl an Level 2 Gruppen empfohlen.
187
Class System of
Equations Model Mixed-EfTects Model Description Notes 1. LI: l'.1 = ßo1 +,;1 yij = Yoo +uoJ +rij One-way Often used as
Un- Li: ßo1 = Yoo +uoJ random a null model to
con- effects estimate
stra- ANOVA
between-ined groups effects
with an ICC
2. LI: l'.1 = ßo1 +,;1 Meansas Here the
Ran- L2: Yij = Yoo + Yo,W1 + outcomes emphasis is on dom ßo1 = Yoo + Yo,W1 + Uo1 +uoJ +,;1 L2 predictors
Inter-cepts LI: One-way
yij = ßo1 + ß,1x ij + rij Yü =roo+r,oXij+ random Li: ßo1 = Yoo + UoJ +u01 +rij effects
ß,1 = Y,o ANOVA
3. LI: Random Intercepts and
Ran- yij = ßo1 + ß,jxj +rij Yu =roo+r10Xu+ coefficients slopes of LI dom Li: ßo1 = r 00 + Uo1 +uoJ +uijxij +fi1 regression model are
Inter- ßlf = Y10 +u,1 model allowed to
cepts vary across L2
and units, but we
slopes are not
modeling that variability
with L2
predictors LI: ½1 = Yr,, + Yo,W1 + Intercepts Level-!
yij = ßo1 + ß,1X J + rij and intercept and
L2: +r,oXij +r11W1Xij + slopes as slopes are
ßo1 = Yoo + Yo,WJ + Uo1 +u01 +u11 Xij +,;1 outcomes modeled using Level-2
ß,1 = Y,o + r 11 W1 + u,1 predictor(s ).
Note the cross-level interaction component:
(r11W1Xij) Tabelle 44: Multilevel Modelle
Zur Bestimmung, ob dieftxed effects-Parameter signifikant sind wird die t-ratio, ein x'-Quadrat Test der Residuen unter der Annahme, dass diese nicht normalverteilt sein müssen, oder der ML-Wa/d-Test verwendet, welcher einer Z-statistic mit Standardnormalverteilung folgt. Zur Bestimmung des Model-Fit kann die ML-statistic nicht herangezogen werden, jedoch zum Modellvergleich, wenn die Modelle mit den gleichen Daten gerechnet wurden und eines der Modelle ein Teilmodell mit weniger Parametern des anderen ist. Sie gibt an, wie nahe das Modell an die Daten herankommt. Weitere Modellvergleiche werden über goodness-offit-Messungen, Devianz, AIC oder BIC durchgeführt. Durch Multiplikation des natürlichen Logarithmus der likelihood mit -2 kann die likelihood als deviance transformiert werden. Die Differenz der deviance ist x' -Quadrat verteilt, wobei der Unterschied in den Freiheitsgraden dem Unterschied an geschätzten Parametern entspricht. Je geringer die deviance desto besser der Fit. Ist die Differenz nicht signifikant, wird das komplexere Modell verworfen.
Für genestete Modelle hat das Modell mit der höheren Anzahl an Parametern immer den niedrigeren Wert. Dies stellt einen Nachteil dieser Berechnung. Da das Ziel auch Sparsamkeit ist, beziehen AIC und BIC Bestrafungen für die Anzahl an geschätzten Parametern in Formel 16 mit ein.
AIC = -2ll + 2p Formel 16: AIC und BIC BIC= -2ll+ pln(N)
p ist die Anzahl an Parametern, n die Samplegröße, wobei bei letzterer jene aus Level I empfohlen wird. AIC und BIC ermöglichen zusätzlich die Vergleichbarkeit nicht genesteter Modelle. AIC ist für kleine Samplegrößen nicht reliabel, da meist ein penalized quasi-likelihood (PQL) Schätzverfahren verwendet wird, welches eine asymptotische Annäherung an die likelihood darstellt.
Anleitungen zu den folgenden Modelltests finden sich in Luke (2004). Für den Modell-Fit der OLS wird normalerweise das
If
berechnet, welches den %-anteil der durch die Prädiktoren erklärten Varianz angibt. Im Mehrebenenmodell gibt es für jeden Level ein eigenes R2 • Die Einführung zusätzlicher Parameter kann zu einem kleineren oder sogar negativen J.f führen. Im Mehrebenenmodell wird dasIf
als proportionale Reduktion des vorhergesagten Fehlers interpretiert. Für den Fehler auf Level I bedeutet dies, Fitverbesserung der individuellen Werte, für Level 2 auf Gruppenebene. Zur Verfügung stehen graphische Modelltests wie der boxplot der Residuen für die Gruppen, ein scatterplot der standardisierten Residuen gegen die gefitteten Werte um Heteroskedastizität zu prüfen, der normal quantile-quantile plot bzw. QQ-plot der Level- )-Residuen, um die 189Normalität der Daten zu prüfen, ein Plot der Level 2 random effects, um die Normalverteilung mit Mittelwert null zu prüfen, oder eine scatterp/ot-Matrix, um die random effects durch Betrachtung der Korrelation auf Unabhängigkeit und Verteilung um null zu untersuchen. Weitere Modellbewertungen stellen die Prüfungen der Unabhängigkeit und Normalverteilung der Level-1-Residuen, oder die Normalverteilung und Unabhängigkeit der Zufallseffekte zwischen den Gruppen dar. Auch der random-Teil, also die Variabilität zwischen Level 2 Einheiten auf intercepts und s/opes des Level 1 Modells, kann mit Hilfe der empirical Bayes estimation untersucht werden. Je weniger reliabel die prognostizieren Werte der Abhängigen für die Gruppen sind, desto eher empfiehlt sich die Verwendung des Gesamtmittelwertes als Schätzung für die Gruppen.
Weitere zu beachtende Punkte betreffen centering bzw. reparameterization der Level-1-Prädiktoren, wenn es einen random s/ope gibt. Diese können Teile des Modells und die Interpretation aufgrund der Transformierung der Skala ändern.
Es besteht die Möglichkeit einer Zentrierung über den Gesamtmittelwert, grand mean, oder auch über den Gruppenmittelwert. Letzterer wird häufig für Wachstumskurvenmodelle, growth curve modeling, longitudinaler Daten verwendet.
Luke (2004) erwähnt Erweiterungen, wie beispielsweise generalized hierarchical linear models (GHLM) für kontinuierliche oder nicht-normalverteilte Daten, also binäre Daten, proportions, Zähldaten oder ordinale abhängige Variablen, welche die Normalitätsannahmen und Homo-skedastizitätsannahmen der Fehler verletzen. Auch Level-3-Modelle, bei welchen die Level-1-intercepts und -s/opes zufällig auf Level 2 und 3 variieren können, sind denkbar.
Auch ein Kapitel zu den später folgenden longitudinalen Untersuchungen ist angeführt. Dabei werden die Zeitpunkte als genestet über die Personen in der hierarchischen Betrachtungsweise gesehen. Auch zusätzliche Kovariate können verarbeitet werden. Die repeated-measures-MANOVA weist Probleme bei der Analyse von ungleichmäßigen Beobachtungen bzw. regelmäßigen Be-obachtungen mit Fehlerwerten auf. Somit ist diese nicht zu empfehlen. MLM können die Daten ohne Personen- oder Informationsverlust verarbeiten und erlauben time slopes über Personen zu variieren. Diese Variation kann zusätzlich über Prädiktoren, welche den Personenlevel beeinflussen, erklärt werden. Für einen Modellvergleich wird BIC empfohlen, vor allem bei einer großen Samplegröße, da diese zur Berechnung miteinbezogen wird. Nicht longitudinale
Studien gehen von Normalverteilung und Unabhängigkeit der Fehler aus. Diese Annahmen können für longitudinale Analysen oft nicht vorausgesetzt werden und es muss eine Fehlerkovarianzstruktur vordefiniert werden. Die bekannteste ist die unrestricted- bzw. unstructured-Fehlerstruktur, welche keine Annahmen beinhaltet und somit jede erdenkliche Fehlerkorrelation über die Beobachtungen zulässt. Dieses Modell weist die höchste Anzahl an random-Parametem auf, da jeder lag eine eigene geschätzte Kovarianz besitzt. Es ist das am wenigsten sparsame Modell und wird oft als Ausgangsmodell zu weiteren Modell-vergleichen herangezogen. Aber auch konstante Kovarianzen über alle Wellen können im homogeneous error-Modell angenommen werden. Es ist das sparsamste und beschreibt die selbigen, aber in der Realität kaum rechtfertig-baren Annahmen, welche auch hinter der repeated-measures univariate-ANOV A unter dem Begriff compound symmetry bekannt sind. Auch eine autoregressive Struktur z.B. erster Ordnung,jirst-order autoregressive structure, ist denkbar. Die Fehlerterme sind dann über jirst-order /ags korreliert. Die Korrelation zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten ist folglich immer gleich.
Da eine zeitliche Veränderung möglich ist, erlaubt das Modell über geringere Korrelation weiter entfernter Zeitpunkte erweiterten Spielraum. Im Vergleich zum homogeneous error-Modell wird ein zusätzlicher Parameter, die Korrelation erster Ordnung rho, geschätzt.
4.3.4. 1. Random intercept ftxed slope model -Kinodaten
Die Abhandlung dieses Kapitels folgt grob dem Aufbau des User's Guide for MLwiN von Rasbash et al. (2005). Es existieren zwei Levels, die Probanden auf Level I und Kinostandorte auf Level 2, wobei der Zusammenhang in die Berechnung miteinbezogen wird. In den einzelnen Gruppen können unterschiedliche Effekte entstehen. Im Zuge herkömmlicher Clusterverfahren sind die Personen innerhalb eines Clusters voneinander abhängig. Die Cluster selbst sind voneinander unabhängig. Diese Unabhängigkeit wird normalerweise nicht berücksichtigt. Die Zufallsvarianz wird folglich unterschätzt, da zwei unterschiedliche Gruppen, verglichen mit nur einer Stichprobe, eine größere zufällige Streuung besitzen können. MLM werten einzelne Gruppen deshalb als unabhängig. Es werden einerseits Abweichungen zum Gesamtmittelwert aller Kinostandorte in die Berechnung miteinbezogen, andererseits auch Abweichungen innerhalb eines Standortes zu dessen Mittelwert. So wird die Varianz zwischen und innerhalb der einzelnen Kinos berücksichtigt. Beide Varianzarten zusammen bilden die Gesamtvarianz. Je höher der Anteil der Varianz auf Kinostandortebene an der Gesamtvarianz, desto unterschiedlicher sind die Standorte bzw. desto ähnlicher die Probanden innerhalb eines Standortes. Die Streuung der einzelnen Cluster und die Form der Verteilung
innerhalb der Cluster werden nicht beachtet. Unterschiede ergeben sich lediglich durch die unterschiedlichen Mittelwerte der Cluster. Ein Grund für die Verwendung von MLM liegt auch in der Schätzung wesentlich weniger Parameter, welche für die einzelnen Kinostandorte geschätzt werden müssten.
Auch die Standardabweichungen der Regressionskoeffizienten würden ohne Gruppenannahme unterschätzt werden. Die Kinostandorte werden als Zufallsstichproben einer zugrunde liegenden Population gewertet. Die OLS-Technik wird erweitert und die Variation zwischen den Standorten der Stichprobe dazu genutzt, Aussagen zur Variation in der Grundgesamtheit zu machen.
In der Formelstruktur Yu
=
a + bx;J + u 1 + eif stellt a + bx lj den fixen Teil dar. i steht für die Variation auf Besucherebene und J für die Variation auf Standortebene. a. J besteht aus a + u., J nämlich ein fixer intercept a mit einer standortabhängigen Variation u .. u. und e beschreiben die zufälligen Teile mit Mittelwert null. Es gibt in diese~ Beispiel hur eine erklärende Variable und eine abhängige. a und b , der intercept und slope sind fix und werden ebenfalls geschätzt. Ebenso werden die Varianzen der zufälligen Teile u ',, und u 2,geschätzt. Die einzigen zufälligen Parameter sind die intercept-Varianzen auf Ebene der Besucher und auf Ebene der Standorte. Dieses Modell wird auch variance component-Modell genannt. Um das Modell für komplexere Beschreibungen verständlicher zu machen, wird eine erklärende Variable x0 durchgehend mit dem Wert eins für alle Besucher eingefügt. ßo, ß,, usw. stehen für die fixen Parameter und die Indizes 1, 2, usw. geben die Nummerierung der erklärenden Variablen an. Die Zufallsparameter erhalten den Index 0. Daraus ergibt sich die Gleichung Yij = ßoxo + ß,x,ij + Uo1Xo + eoijxo. Die Koeffizienten ergeben sich aus Yij = ßoijxo + ß,x,ij mit zugehörigen Abweichungen ßoij = ßo + ua1 + eoij. Die zufällige Variation der abhängigen Variablen, wird durch die zufälligen Koeffizienten der erklärenden Variablen beschrieben. Der Koeffizient x0 ist zufällig auf Level I und 2. Der Index O der Level-1- und -2-Zufallsvariablen bedeutet, dass diese zu x0 gehören. Die abhängige Variable wird vorerst als normalverteilt und intervallskaliert behandelt y _ N(XB,O.).
n
steht für die Varianzen und Kovarianzen der Zufallsterme über die einzelnen Levels. XB beschreibt den fixen Part des Modells, [ß0xo,1 ßoxo,1 + + ß,x,21 ß,xu,
l
... + ... . ... + ... .
Im Kinobeispiel werden zur Erklärung der Varianz zwei Prädiktoren aufgenommen, die Bewertungen der Zufriedenheit auf Level 1 und die
Kinostandorte auf Level 2. Der Bewertungszeitpunkt spielt vorerst keine Rolle.
Es werden alle Kinobesuchsbewertungen der zwölf Monate verwendet. Die Fallzahl wird in den jeweiligen Modellberechnungen angeführt. Zuerst wird in Modell 1 untersucht, innerhalb welcher Variablen es signifikante Unterschiede der intercepts auf Level 2 Ebene in Bezug auf die Gesamtzufriedenheit gibt, indem eine Regression unter Miteinbeziehung des Kinostandortlevels durchgeführt wird. Zur Interpretation der Prädiktoren wird die Division der Koeffizienten durch deren jeweils in Klammer zugehörigen Standard-abweichungen herangezogen. Diese müssen bei einem Signifikanzniveau von 95
% über dem Wert 1,96 der T-Verteilung liegen.
ges1 - N(XB,O) gesii = ßc,ycons
ß11'1 = 5,013(0,027)+ u11 ; +e11,;
[ u111 ] -N(0,Q,,) n,, = [0,012(0,005)]
[e
111 ] -N(0,n,.) n,. =[I,51 I(0,017)]-2 • loglikelihood( IGLS Deviance) = 54471, 160(16747 of 16747 cases in use) Modell 1: Interceptvariation - Gesamtzufriedenheit
Tabelle 45 listet die Ergebnisse für die Gesamt- und Teilzufriedenheitsitems auf.
Hier muss angemerkt werden, dass die Level-1-Varianzen, verglichen mit den Level 2 Varianzen, in allen Zufriedenheitsvariablen deutlich überwiegen.
ltem Koeffizient Standardabweichune
Gesamtzufriedenheit 0,012 0,005
Technik/Bild/fon 0,090 0,024
Komfort 0,128 0,033
Servicepersonal 0,026 0,009
Preis/Leistung 0,070 0,021
Buffet 0,045 0,015
Atmosphäre 0,068 0,020
Standort/Erreichbarkeit 0,038 0,012
Filmangebot 0,088 0,024
Informationsangebot 0,065 0,018
Reservierungsmöglichkeiten 0,062 0,018
Erscheinungsbild/Image 0,075 0,021
Tabelle 45: lnterceptvariation - Gesamt- und Teilzufriedenheiten
Signifikante Unterschiede auf Kinostandortebene, Level 2, zeigen sich in allen Items, sofern deren Einflüsse einzeln betrachtet werden. Nun wird untersucht, 193
wie sich die Teilzufriedenheitsitems auf Kinostandortebene in Bezug zur Gesamtzufriedenheit verhalten. Modell 2, ohne geschätzte Werte, dient zuvor nochmals der detaillierten Symbolerklärung.
yij ~ N(XB,O.) Y1, == ßoijXo + ß1X1iJ ßoiJ::::: ßo +uoJ +eo/J
[u0j] ~ N(O,O.,,): 0.,, = [0-;0 ]
[e0ij]~ N(0,0.,):0.,, =[0-;0 ]
Modell 2: Teilzufriedenheiten und Gesamtzufriedenheit XB Mittelwert, durch den fixen Teil spezifiziert
n
zufälliger Teil, durch Kovarianzmatrixn
beschrieben, beinhaltet die Kovarianzmatrizen aller Levelsy Gesamtzufriedenheit
X
a2„o
2 -(j eO
-Zufriedenheit mit Teilzufriedenheitsitem Index auf Level 1 (Personenebene) Index auf Level 2 (Standortebene)
fixer Parameter (durchgehend 1) für den intercept, zufällig auf Besucher und Standortebene
Regressionsparameter für den intercept, für die Standorte unter-schiedlich
Regressionsparameter für den slope, für alle Standorte einheitlich Level 2 Residuen, Wert um welchen der Standort um den allgemeinen intercept variiert
Level I Residuen, Wert um welchen die Besucher um den Standort-mittelwert variieren
Varianz des Standortlevel-Zufalleffektes, normalverteilte Zufallsab-weichungen auf Standortebene mit Mittelwert null
Varianz des Besucherlevel-Zufalleffektes, normalverteilte Zufallsab-weichungen auf Besucherebene mit Mittelwert null
In Modell 3 werden die Ergebnisse für Technik/Bild/Ton eingefügt. Geschätzt wird mit iterative generalized least squares (IGLS). Das Modell konvergiert, wenn die Änderung sämtlicher Parameter kleiner 10-2 ist.
Ändert sich die Technik/Bild/Ton-Zufriedenheitsbewertung, wird bei Vorliegen von Signifikanz der Wert des zugehörigen Prädiktors zur Gesamtzufriedenheit hinzugezählt bzw. abgezogen. Die Steigung ist für alle Kinostandorte gleich, 0,388, und mit einer Standardabweichung von 0,011 hoch signifikant. Die
intercepts betreffend gibt es Unterschiede. Ihr Mittelwert beträgt 2,977 mit einer Standardabweichung von 0,064. Die intercepts der jeweiligen Standorte, welche den Level 2 Residuen entsprechen, schwanken signifikant um ihren Mittelwert mit 0,016 und einer zugehörigen Standardabweichung von 0,006. Die Personenbewertungen schwanken um ihren Standortmittelwert mit 1,404 und zugehöriger Standardabweichung von 0,015. Diese sind deutlich höher, verglichen mit den Schwankungen auf Level 2. Die durchschnittliche Abweichung einer Person beträgt 0,016+ 1,404= 1,420. Die standortbezogene Abweichung stellt somit einen Anteil von 0,016/1,404=1,13% dar, die Intra-Standort-Korrelation. Dies stellt ein Ähnlichkeitsmaß für Besucher innerhalb eines Standortes im Vergleich zu anderen Standorten dar. Je höher sie ist, desto größer ist der Unterschied zwischen den Standorten.
gesmp.hno - N(XB,0.)
ges~,p.linu = ßowp.bnocons + 0, 388(0, 011 )tbtMp.kow ßowp.fo,u = 2, 977(0, ()64) + Ullkinu + ellwp.kioo
[u11.,.,,,)-N(0,0...) 0.,, =(0,016(0,006)) [e11,,,P,,,.,J-N(0,0...): 0., = [1,404(0,015))
-2 • loglikelihood(IGLS Deviance) = 53245,550(16747 of 16747cases in use)
Modell 3: Technik/Bild/Ton-Zufriedenheit bezogen auf Gesamtzufriedenheit
Diagramm 81 veranschaulicht das random intercept-Modell. Die dicke Linie in der Mitte aller Linien zeigt die vorhergesagte Schätzung der fixen Parameter ohne die standortspezifische Variation des intercepts (yij
= d
0cons+ d
1tbtij).Die dünneren Linien zeigen die vorhergesagten Regressionsgeraden aller Standorte unter Miteinbeziehung des Parameters u01 (yij
= d
0jcons+ d
1tbtij).Der s/ope-Koeffizient ß, ist für alle Standorte gleich. Die Standortlevelresiduen modifizieren lediglich den intercept
p
0 • Der Unterschied zwischen den Standorten bleibt über die gesamte Spanne der Gesamtzufriedenheit konstant und nennt sich aufgrund dieser gleichbleibenden Veränderung simple level 2 variation. Es gibt Standorte, welche bei gleicher Technik/Bild/Ton-Zufriedenheit unterschiedliche Gesamtzufriedenheiten aufweisen. Die Abszissenachse zeigt die Technik/Bild/Ton-Zufriedenheit auf einer Skala von ,sehr zufrieden (6)' bis ,nicht zufrieden ( 1 )'. Diese stellen die Spanne der ursprünglichen Antworten dar.Die Ordinatenachse gibt die prognostizierten Werte an.
Hier ändert sich die Stärke der Auswirkung der Technik/Bild/Ton-Zu-friedenheitsunterschiede auf die Gesamtzufriedenheit über deren Spanne hinweg nicht. Deshalb ergeben sich standortspezifisch parallele Verläufe.
195
Technik/Bild/Ton
Diagramm 81: Random Intercept-Modell -Technik/Bild/Ton
4.3.4.2. Random intercept random slope model -Kinodaten
Es stellt sich aber die Frage, ob die Technik/Bild/Ton-Zufriedenheitssprünge zu standortspezifisch unterschiedlichen Veränderungen der Gesamtzufriedenheit führen. Im Modell 4 wird ein random slope-Modell geschätzt. Zusätzliche standortspezifische Abweichungen den slope betreffend werden für p1
mitgeschätzt. Der zuvor fixierte Parameter für die slope-Werte ist somit von Standort zu Standort, also auf Level 2 Ebene unterschiedlich.